En matemáticas , un punto de Heegner es un punto de una curva modular que es la imagen de un punto imaginario cuadrático del semiplano superior . Fueron definidos por Bryan Birch y recibieron su nombre en honor a Kurt Heegner , quien utilizó ideas similares para demostrar la conjetura de Gauss sobre cuerpos cuadráticos imaginarios de clase número uno.
Teorema de Gross-Zagier
El teorema de Gross-Zagier (Gross y Zagier 1986) describe la altura de los puntos de Heegner en términos de una derivada de la función L de la curva elíptica en el punto s = 1. En particular, si la curva elíptica tiene rango (analítico) 1, entonces los puntos de Heegner pueden usarse para construir un punto racional en la curva de orden infinito (por lo que el grupo de Mordell-Weil tiene rango al menos 1). De manera más general, Gross, Kohnen y Zagier (1987) demostraron que los puntos de Heegner podían usarse para construir puntos racionales en la curva para cada entero positivo n , y las alturas de estos puntos eran los coeficientes de una forma modular de peso 3/2. Shou-Wu Zhang generalizó el teorema de Gross-Zagier de las curvas elípticas al caso de las variedades abelianas modulares (Zhang 2001, 2004, Yuan , Zhang y Zhang 2009).
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Posteriormente, Kolyvagin utilizó puntos de Heegner para construir sistemas de Euler , y los utilizó para demostrar gran parte de la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer para curvas elípticas de rango 1. Brown demostró la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer para la mayoría de las curvas elípticas de rango 1 sobre campos globales de característica positiva (Brown 1994).
Cálculo
Los puntos de Heegner se pueden utilizar para calcular puntos racionales muy grandes en curvas elípticas de rango 1 (consulte (Watkins 2006) para obtener una encuesta) que no se podrían encontrar con métodos ingenuos. Las implementaciones del algoritmo están disponibles en Magma , PARI/GP y Sage .
Referencias
- Birch, B. (2004), "Puntos de Heegner: los comienzos", en Darmon, Henri ; Zhang, Shou-Wu (eds.), Puntos de Heegner y serie L de Rankin (PDF) , Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol. 49, Cambridge University Press, págs. 1–10, doi :10.1017/CBO9780511756375.002, ISBN 0-521-83659-X, Sr. 2083207.
- Brown, ML (2004), Módulos de Heegner y curvas elípticas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1849, Springer-Verlag, doi :10.1007/b98488, ISBN 3-540-22290-1, Sr. 2082815.
- Darmon, Henri; Zhang, Shou-Wu, eds. (2004), Puntos de Heegner y serie L de Rankin, Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol. 49, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511756375, ISBN 978-0-521-83659-3, Sr. 2083206
- Gross, Benedict H. ; Zagier, Don B. (1986), "Puntos de Heegner y derivadas de series L", Inventiones Mathematicae , 84 (2): 225–320, Bibcode :1986InMat..84..225G, doi :10.1007/BF01388809, MR 0833192, S2CID 125716869.
- Bruto, Benedict H .; Kohnen, Winfried; Zagier, Don (1987), "Puntos de Heegner y derivadas de la serie L. II", Mathematische Annalen , 278 (1–4): 497–562, doi :10.1007/BF01458081, MR 0909238, S2CID 121652706.
- Heegner, Kurt (1952), "Diophantische Analysis und Modulfunktionen", Mathematische Zeitschrift , 56 (3): 227–253, doi :10.1007/BF01174749, MR 0053135, S2CID 120109035.
- Watkins, Mark (2006), Algunas observaciones sobre los cálculos de puntos de Heegner , arXiv : math.NT/0506325v2.
- Brown, Mark (1994), "Sobre una conjetura de Tate para superficies elípticas sobre cuerpos finitos", Proc. London Math. Soc. , 69 (3): 489–514, doi :10.1112/plms/s3-69.3.489.
- Yuan, Xinyi ; Zhang, Shou-Wu; Zhang, Wei (2009), "El teorema de Gross-Kohnen-Zagier sobre cuerpos totalmente reales", Compositio Mathematica , 145 (5): 1147–1162, doi : 10.1112/S0010437X08003734 , S2CID 17981061.
- Zhang, Shou-Wu (2001), "Fórmula de Gross-Zagier para GL2", Asian Journal of Mathematics , 5 (2): 183–290, doi : 10.4310/AJM.2001.v5.n2.a1.
- Zhang, Shou-Wu (2004), "Fórmula de Gross-Zagier para GL(2) II", en Darmon, Henri ; Zhang, Shou-Wu (eds.), Puntos de Heegner y serie L de Rankin , Mathematical Sciences Research Institute Publications , vol. 49, Cambridge University Press , págs. 191–214, doi :10.1017/CBO9780511756375, ISBN 978-0-521-83659-3, Sr. 2083206.
