Conjetura de Szpiro

Conjetura en teoría de números

En teoría de números , la conjetura de Szpiro se relaciona con el conductor y el discriminante de una curva elíptica . En una forma ligeramente modificada, es equivalente a la conocida conjetura abc . Recibe su nombre de Lucien Szpiro , quien la formuló en la década de 1980. La conjetura de Szpiro y sus formas equivalentes han sido descritas como "el problema no resuelto más importante en el análisis diofántico " por Dorian Goldfeld , ^[1] en parte debido a su gran número de consecuencias en la teoría de números, incluido el teorema de Roth , la conjetura de Mordell , la conjetura de Fermat-Catalan y el problema de Brocard . ^{[2] [3] [4] [5]}

Declaración original

La conjetura establece que: dado ε > 0, existe una constante C (ε) tal que para cualquier curva elíptica E definida sobre Q con discriminante mínimo Δ y conductor f ,

${\displaystyle \vert \Delta \vert \leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

Conjetura de Szpiro modificada

La conjetura de Szpiro modificada establece que: dado ε > 0, existe una constante C (ε) tal que para cualquier curva elíptica E definida sobre Q con invariantes c ₄ , c ₆ y conductor f (usando la notación del algoritmo de Tate ),

${\displaystyle \max\{\vert c_{4}\vert ^{3},\vert c_{6}\vert ^{2}\}\leq C(\varepsilon )\cdot f^{6+\varepsilon }.}$

abecedarioconjetura

La conjetura abc se originó como resultado de los intentos de Joseph Oesterlé y David Masser de comprender la conjetura de Szpiro, ^[6] y luego se demostró que era equivalente a la conjetura de Szpiro modificada. ^[7]

Consecuencias

Se sabe que la conjetura de Szpiro y su forma modificada implican varios resultados y conjeturas matemáticas importantes, incluido el teorema de Roth , ^[8] el teorema de Faltings , ^[9] la conjetura de Fermat-Catalan , ^[10] y una solución negativa al problema de Erdős-Ulam . ^[11]

Pruebas reclamadas

En agosto de 2012, Shinichi Mochizuki afirmó haber demostrado la conjetura de Szpiro desarrollando una nueva teoría llamada teoría interuniversal de Teichmüller (IUTT). ^[12] Sin embargo, la comunidad matemática no aceptó los artículos como una prueba de la conjetura, ^{[13] [14] [15]} y Peter Scholze y Jakob Stix concluyeron en marzo de 2018 que la brecha era "tan grave que... pequeñas modificaciones no salvarán la estrategia de prueba". ^{[16] [17] [18]}

Véase también

• Teoría de Arakelov

Referencias

1. Goldfeld, Dorian (1996). "Más allá del último teorema". Math Horizons . 4 (septiembre): 26–34. doi :10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR  25678079.
2. Bombieri, Enrico (1994). "El teorema de Roth y la conjetura abc". Preimpresión . ETH Zürich.
3. Elkies, ND (1991). "ABC implica Mordell". International Mathematics Research Notices . 1991 (7): 99–109. doi : 10.1155/S1073792891000144 .
4. Pomerance, Carl (2008). "Teoría de números computacionales". The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press . págs. 361–362.
5. Dąbrowski, Andrzej (1996). "Sobre la ecuación diofántica x ! + A = y ² ". Nieuw Archief voor Wiskunde, IV . 14 : 321–324. Zbl  0876.11015.
6. Fesenko, Ivan (2015), "Teoría de la deformación aritmética a través de grupos fundamentales aritméticos y funciones theta no arquimedianas, notas sobre el trabajo de Shinichi Mochizuki" (PDF) , European Journal of Mathematics , 1 (3): 405–440, doi : 10.1007/s40879-015-0066-0.
7. Oesterlé, Joseph (1988), "Nouvelles approches du" théorème "de Fermat", Astérisque , Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN  0303-1179, SEÑOR  0992208
8. Waldschmidt, Michel (2015). "Conferencia sobre la conjetura abc y algunas de sus consecuencias" (PDF) . Matemáticas en el siglo XXI . Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Vol. 98. págs. 211–230. doi :10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN . 978-3-0348-0858-3.
9. Elkies, ND (1991). "ABC implica Mordell". International Mathematics Research Notices . 1991 (7): 99–109. doi : 10.1155/S1073792891000144 .
10. Pomerance, Carl (2008). "Teoría de números computacionales". The Princeton Companion to Mathematics . Princeton University Press. págs. 361–362.
11. Pasten, Hector (2017), "Definibilidad de las órbitas de Frobenius y un resultado en conjuntos de distancias racionales", Monatshefte für Mathematik , 182 (1): 99–126, doi :10.1007/s00605-016-0973-2, MR  3592123, S2CID  7805117
12. Ball, Peter (10 de septiembre de 2012). «Prueba de conexión profunda entre primos». Nature . doi : 10.1038/nature.2012.11378 . Consultado el 19 de abril de 2020 .
13. Revell, Timothy (7 de septiembre de 2017). "La desconcertante prueba matemática del ABC ahora tiene un 'resumen' impenetrable de 300 páginas". New Scientist .
14. Conrad, Brian (15 de diciembre de 2015). «Notas sobre el taller del IUT en Oxford por Brian Conrad» . Consultado el 18 de marzo de 2018 .
15. Castelvecchi, Davide (8 de octubre de 2015). «El mayor misterio de las matemáticas: Shinichi Mochizuki y la prueba impenetrable». Nature . 526 (7572): 178–181. Bibcode :2015Natur.526..178C. doi : 10.1038/526178a . PMID  26450038.
16. Scholze, Peter ; Stix, Jakob . "Por qué abc sigue siendo una conjetura" (PDF) . Archivado desde el original el 8 de febrero de 2020.(versión actualizada de su informe de mayo)
17. Klarreich, Erica (20 de septiembre de 2018). "Los titanes de las matemáticas se enfrentan por una prueba épica de la conjetura ABC". Revista Quanta .
18. "Discusiones de marzo de 2018 sobre IUTeich" . Consultado el 2 de octubre de 2018 .Página web de Mochizuki que describe los debates y enlaza las publicaciones posteriores y el material complementario

Bibliografía

• Lang, S. (1997), Estudio de la geometría diofántica, Berlín: Springer-Verlag , p. 51, ISBN 3-540-61223-8, Zbl  0869.11051
• Szpiro, L. (1981). "Propiétés numériques du faisceau dualisant rélatif". Seminario sobre las pinzas de los cursos de género au moins deux (PDF) . Astérisco. vol. 86, págs. 44–78. Zbl  0517.14006.
• Szpiro, L. (1987), "Présentation de la théorie d'Arakelov", Contemp. Matemáticas. , Matemáticas contemporáneas, 67 : 279–293, doi :10.1090/conm/067/902599, ISBN 9780821850749, Zbl  0634.14012