Teorema de Roth

Los números algebraicos no están cerca de muchos racionales

En matemáticas , el teorema de Roth o teorema de Thue-Siegel-Roth es un resultado fundamental en la aproximación diofántica a los números algebraicos . Es de tipo cualitativo, y afirma que los números algebraicos no pueden tener muchas aproximaciones racionales que sean "muy buenas". Durante más de medio siglo, el significado de muy bueno aquí fue refinado por varios matemáticos, comenzando con Joseph Liouville en 1844 y continuando con el trabajo de Axel Thue  (1909), Carl Ludwig Siegel  (1921), Freeman Dyson  (1947) y Klaus Roth  (1955).

Declaración

El teorema de Roth establece que todo número algebraico irracional tiene exponente de aproximación igual a 2. Esto significa que, para cada , la desigualdad ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}}$

puede tener sólo un número finito de soluciones en los números enteros coprimos y . La prueba de Roth de este hecho resolvió una conjetura de Siegel. De ello se deduce que todo número algebraico irracional α satisface ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C(\alpha ,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon }}}}$

con un número positivo que depende únicamente de y . ${\displaystyle C(\alpha ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \alpha }$

Discusión

El primer resultado en esta dirección es el teorema de Liouville sobre aproximación de números algebraicos, que da un exponente de aproximación de d para un número algebraico α de grado d  ≥ 2. Esto ya es suficiente para demostrar la existencia de números trascendentales . Thue se dio cuenta de que un exponente menor que d tendría aplicaciones para la solución de ecuaciones diofánticas y en el teorema de Thue de 1909 estableció un exponente que aplicó para demostrar la finitud de las soluciones de la ecuación de Thue . El teorema de Siegel mejora esto a un exponente alrededor de 2 √ d , y el teorema de Dyson de 1947 tiene un exponente alrededor de √ 2 d . ${\displaystyle d/2+1+\varepsilon }$

El resultado de Roth con exponente 2 es en cierto sentido el mejor posible, porque esta afirmación fallaría si se estableciera : por el teorema de Dirichlet sobre aproximación diofántica hay infinitas soluciones en este caso. Sin embargo, hay una conjetura más sólida de Serge Lang que dice que ${\displaystyle \varepsilon =0}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}\log(q)^{1+\varepsilon }}}}$

puede tener sólo un número finito de soluciones en los números enteros p y q . Si se permite que α se extienda a todo el conjunto de números reales , no sólo a los reales algebraicos, entonces tanto la conclusión de Roth como la de Lang son válidas para casi todos los . Por lo tanto, tanto el teorema como la conjetura afirman que un cierto conjunto numerable no tiene un cierto conjunto de medida cero . ^[1] ${\displaystyle \alpha }$

El teorema no es actualmente efectivo : es decir, no hay un límite conocido para los posibles valores de p , q dados . ^[2] Davenport y Roth (1955) demostraron que las técnicas de Roth podrían usarse para dar un límite efectivo para el número de p / q que satisfacen la desigualdad, usando un principio de "brecha". ^[2] El hecho de que en realidad no conozcamos C (ε) significa que el proyecto de resolver la ecuación, o limitar el tamaño de las soluciones, está fuera de nuestro alcance. ${\displaystyle \alpha }$

Técnica de prueba

La técnica de demostración implica la construcción de un polinomio multivariante auxiliar en un número arbitrariamente grande de variables que dependen de , lo que lleva a una contradicción en presencia de demasiadas aproximaciones buenas. Más específicamente, uno encuentra un cierto número de aproximaciones racionales al número algebraico irracional en cuestión, y luego aplica la función sobre cada una de estas simultáneamente (es decir, cada uno de estos números racionales sirve como entrada a una variable única en la expresión que define nuestra función). Por su naturaleza, fue ineficaz (ver resultados efectivos en teoría de números ); esto es de particular interés ya que una aplicación importante de este tipo de resultado es limitar el número de soluciones de algunas ecuaciones diofánticas. ${\displaystyle \varepsilon }$

Generalizaciones

Existe una versión de dimensiones superiores, el teorema del subespacio de Schmidt , del resultado básico. También existen numerosas extensiones, por ejemplo, utilizando la métrica p -ádica , ^[3] basada en el método de Roth.

William J. LeVeque generalizó el resultado al demostrar que se cumple un límite similar cuando los números aproximados se toman de un cuerpo numérico algebraico fijo . Defina la altura H (ξ) de un número algebraico ξ como el máximo de los valores absolutos de los coeficientes de su polinomio mínimo . Fije κ>2. Para un número algebraico α y un cuerpo numérico algebraico K dados , la ecuación

${\displaystyle |\alpha -\xi |<{\frac {1}{H(\xi )^{\kappa }}}}$

tiene sólo un número finito de soluciones en elementos ξ de K . ^[4]

Véase también

• Teorema de Davenport-Schmidt
• Conjetura de Granville-Langevin
• Teorema de Størmer
• Geometría diofántica

Notas

1. También está estrechamente relacionada con la conjetura de Manin-Mumford .
2. Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Geometría diofántica: una introducción , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 201, págs. 344-345, ISBN 0-387-98981-1
3. Ridout, D. (1958), "La generalización p -ádica del teorema de Thue–Siegel–Roth", Mathematika , 5 : 40–48, doi :10.1112/s0025579300001339, Zbl  0085.03501
4. LeVeque, William J. (2002) [1956], Temas de teoría de números, volúmenes I y II, Nueva York: Dover Publications, págs. II:148–152, ISBN 978-0-486-42539-9, Zbl1009.11001 ​

Referencias

• Davenport, H. ; Roth, Klaus Friedrich (1955), "Aproximaciones racionales a números algebraicos", Mathematika , 2 (2): 160–167, doi :10.1112/S0025579300000814, ISSN  0025-5793, MR  0077577, Zbl  0066.29302
• Dyson, Freeman J. (1947), "La aproximación a los números algebraicos mediante racionales", Acta Mathematica , 79 : 225–240, doi : 10.1007/BF02404697 , ISSN  0001-5962, MR  0023854, Zbl  0030.02101
• Roth, Klaus Friedrich (1955), "Aproximaciones racionales a números algebraicos", Mathematika , 2 : 1–20, 168, doi :10.1112/S0025579300000644, ISSN  0025-5793, MR  0072182, Zbl  0064.28501
• Wolfgang M. Schmidt (1996) [1980], Aproximación diofántica , Lecture Notes in Mathematics , vol. 785, Springer, doi :10.1007/978-3-540-38645-2, ISBN 978-3-540-09762-4
• Wolfgang M. Schmidt (1991), Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas , Lecture Notes in Mathematics , vol. 1467, Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0098246, ISBN 978-3-540-54058-8, Número de identificación del sujeto  118143570
• Siegel, Carl Ludwig (1921), "Aproximación algebraischer Zahlen", Mathematische Zeitschrift , 10 (3): 173–213, doi :10.1007/BF01211608, ISSN  0025-5874, MR  1544471, S2CID  119577458
• Thue, A. (1909), "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1909 (135): 284–305, doi :10.1515/crll.1909.135.284, ISSN  0075-4102, S2CID  125903243

Lectura adicional

• Baker, Alan (1975), Teoría de números trascendentales , Cambridge University Press , ISBN 0-521-20461-5, Zbl  0297.10013
• Baker, Alan ; Wüstholz, Gisbert (2007), Formas logarítmicas y geometría diofántica , Nuevas monografías matemáticas, vol. 9, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88268-2, Zbl1145.11004 ​
• Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006), Alturas en geometría diofántica , Nuevas monografías matemáticas, vol. 4, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-71229-3, Zbl1130.11034 ​
• Vojta, Paul (1987), Aproximaciones diofánticas y teoría de la distribución de valores , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1239, Springer-Verlag , ISBN 3-540-17551-2, Zbl0609.14011 ​