El algoritmo de Tate

En la teoría de curvas elípticas , el algoritmo de Tate toma como entrada un modelo integral de una curva elíptica E sobre , o más generalmente un cuerpo de números algebraicos , y un primo o ideal primo p . Devuelve el exponente f _p de p en el conductor de E , el tipo de reducción en p , el índice local ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle c_{p}=[E(\mathbb {Q} _{p}):E^{0}(\mathbb {Q} _{p})],}$

donde es el grupo de puntos cuyo módulo de reducción p es un punto no singular . Además, el algoritmo determina si el modelo integral dado es mínimo en p y, si no lo es, devuelve un modelo integral con coeficientes integrales para los cuales la valoración en p del discriminante es mínima. ${\displaystyle E^{0}(\mathbb {Q} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

El algoritmo de Tate da también la estructura de las fibras singulares dada por el símbolo de Kodaira o símbolo de Néron, para lo cual, véase superficies elípticas : esto a su vez determina el exponente f _p del conductor E .

El algoritmo de Tate se puede simplificar en gran medida si la característica del campo de clase de residuo no es 2 o 3; en este caso, el tipo y c y f se pueden leer a partir de las valoraciones de j y Δ (definidas a continuación).

El algoritmo de Tate fue introducido por John Tate  (1975) como una mejora de la descripción del modelo de Néron de una curva elíptica de Néron (1964).

Notación

Supóngase que todos los coeficientes de la ecuación de la curva se encuentran en un anillo de valoración discreto completo R con un cuerpo de residuos perfecto K y un ideal máximo generado por un primo π. La curva elíptica está dada por la ecuación

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.}$

Definir:

${\displaystyle v(\Delta )=}$la valoración p-ádica de en , es decir, el exponente de en la factorización prima de , o infinito si ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta =0}$

${\displaystyle a_{i,m}=a_{i}/\pi ^{m}}$

${\displaystyle b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2}}$

${\displaystyle b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4}^{}}$

${\displaystyle b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6}}$

${\displaystyle b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+4a_{2}a_{6}+a_{2}a_{3}^{2}-a_{4}^{2}}$

${\displaystyle c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4}}$

${\displaystyle c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}}$

${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}+9b_{2}b_{4}b_{6}}$

${\displaystyle j=c_{4}^{3}/\Delta .}$

El algoritmo

• Paso 1: Si π no divide a Δ entonces el tipo es I ₀ , c = 1 y f = 0.
• Paso 2: Si π divide a Δ pero no a c _4, entonces el tipo es I _v con v = v(Δ), c =v y f =1.
• Paso 3. De lo contrario, cambie las coordenadas de modo que π divida a ₃ , a ₄ , a _6. Si π ² no divide a ₆ , entonces el tipo es II, c = 1 y f = v(Δ);
• Paso 4. De lo contrario, si π ³ no divide a b ₈ , entonces el tipo es III, c = 2 y f = v(Δ) −1;
• Paso 5. De lo contrario, sea Q ₁ el polinomio

${\displaystyle Q_{1}(Y)=Y^{2}+a_{3,1}Y-a_{6,2}.}$.

Si π ³ no divide a b ₆ entonces el tipo es IV, c = 3 si tiene dos raíces en K y 1 si tiene dos raíces fuera de K, y f = v(Δ)−2. ${\displaystyle Q_{1}(Y)}$

• Paso 6. De lo contrario, cambie las coordenadas de modo que π divida a ₁ y a ₂ , π ² divida a ₃ y a ₄ , y π ³ divida a _6. Sea P el polinomio

${\displaystyle P(T)=T^{3}+a_{2,1}T^{2}+a_{4,2}T+a_{6,3}.}$

Si tiene 3 raíces distintas módulo π entonces el tipo es I ₀ ^* , f = v(Δ)−4, y c es 1+(número de raíces de P en K ). ${\displaystyle P(T)}$

• Paso 7. Si P tiene una raíz simple y una doble, entonces el tipo es I _ν ^* para algún ν>0, f =v(Δ)−4−ν, c =2 o 4: hay un "subalgoritmo" para tratar este caso.
• Paso 8. Si P tiene una raíz triple, cambia las variables de modo que la raíz triple sea 0, de modo que π ² divida a ₂ y π ³ divida a ₄ , y π ⁴ divida a _6. Sea Q ₂ el polinomio

${\displaystyle Q_{2}(Y)=Y^{2}+a_{3,2}Y-a_{6,4}.}$.

Si tiene dos raíces distintas módulo π, entonces el tipo es IV ^* , f = v(Δ)−6, y c es 3 si las raíces están en K , 1 en caso contrario. ${\displaystyle Q_{2}(Y)}$

• Paso 9. Si tiene una raíz doble, cambia las variables para que la raíz doble sea 0. Entonces π ³ divide a ₃ y π ⁵ divide a _6. Si π ⁴ no divide a ₄ , entonces el tipo es III ^* y f = v(Δ)−7 y c = 2. ${\displaystyle Q_{2}(Y)}$
• Paso 10. De lo contrario, si π ⁶ no divide a ₆ , entonces el tipo es II ^* y f = v(Δ)−8 y c = 1.
• Paso 11. De lo contrario, la ecuación no es mínima. Divida cada a _n por π ⁿ y vuelva al paso 1.

Implementaciones

El algoritmo se implementa para campos de números algebraicos en el sistema de álgebra computacional PARI/GP , disponible a través de la función elllocalred.

Referencias

• Cremona, John (1997), Algoritmos para curvas elípticas modulares (2.ª ed.), Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-59820-6, Zbl  0872.14041 , consultado el 20 de diciembre de 2007
• Laska, Michael (1982), "Un algoritmo para encontrar una ecuación de Weierstrass mínima para una curva elíptica", Matemáticas de la computación , 38 (157): 257–260, doi : 10.2307/2007483 , JSTOR  2007483, Zbl  0493.14016
• Néron, André (1964), "Modèles minimaux des variétés abèliennes sur les corps locaux et globaux", Publications Mathématiques de l'IHÉS (en francés), 21 : 5–128, doi :10.1007/BF02684271, MR  0179172, Zbl  0132.41403
• Silverman, Joseph H. (1994), Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 151, Springer-Verlag , ISBN 0-387-94328-5, Zbl0911.14015 ​
• Tate, John (1975), "Algoritmo para determinar el tipo de una fibra singular en un lápiz elíptico", en Birch, BJ ; Kuyk, W. (eds.), Funciones modulares de una variable IV , Lecture Notes in Mathematics, vol. 476, Berlín / Heidelberg: Springer, págs. 33–52, doi :10.1007/BFb0097582, ISBN 978-3-540-07392-5, ISSN  1617-9692, SEÑOR  0393039, Zbl  1214.14020