Conexión (haz vectorial)

Define una noción de transporte paralelo en un haz.

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y teoría de gauge , una conexión en un fibrado es un dispositivo que define una noción de transporte paralelo en el fibrado; es decir, una forma de "conectar" o identificar fibras sobre puntos cercanos. El caso más común es el de una conexión lineal en un fibrado vectorial , para el cual la noción de transporte paralelo debe ser lineal . Una conexión lineal se especifica de manera equivalente mediante una derivada covariante , un operador que diferencia secciones del fibrado a lo largo de direcciones tangentes en la variedad base, de tal manera que las secciones paralelas tienen derivada cero. Las conexiones lineales generalizan, a fibrados vectoriales arbitrarios, la conexión de Levi-Civita en el fibrado tangente de una variedad pseudo-riemanniana , que proporciona una forma estándar de diferenciar campos vectoriales. Las conexiones no lineales generalizan este concepto a fibrados cuyas fibras no son necesariamente lineales.

Las conexiones lineales también se denominan conexiones de Koszul en honor a Jean-Louis Koszul , quien proporcionó un marco algebraico para describirlas (Koszul 1950).

En este artículo se define la conexión en un fibrado vectorial utilizando una notación matemática común que resta importancia a las coordenadas. Sin embargo, también se utilizan con regularidad otras notaciones: en la relatividad general , los cálculos de fibrados vectoriales suelen escribirse utilizando tensores indexados; en la teoría de calibración , se enfatizan los endomorfismos de las fibras del espacio vectorial. Las diferentes notaciones son equivalentes, como se analiza en el artículo sobre conexiones métricas (los comentarios realizados allí se aplican a todos los fibrados vectoriales).

Motivación

Sea M una variedad diferenciable , como el espacio euclidiano . Una función con valores vectoriales puede considerarse como una sección del fibrado vectorial trivial. Se puede considerar una sección de un fibrado vectorial diferenciable general y, por lo tanto , es natural preguntarse si es posible diferenciar una sección, como una generalización de cómo se diferencia una función en M. ${\displaystyle M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}\to M.}$

Una sección de un fibrado puede considerarse como una función generalizada desde la base hasta las fibras del fibrado vectorial. Esto puede visualizarse mediante el gráfico de la sección, como en la figura anterior.

El caso modelo consiste en diferenciar una función en el espacio euclidiano . En este caso, la derivada en un punto de la dirección puede definirse mediante la fórmula estándar ${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dX}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(x+tv)-X(x)}{t}}.}$

Para cada , esto define un nuevo vector ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dX(v)(x)\in \mathbb {R} ^{m}.}$

Al pasar a una sección de un fibrado vectorial sobre una variedad , uno encuentra dos problemas clave con esta definición. En primer lugar, dado que la variedad no tiene estructura lineal, el término no tiene sentido en . En cambio, se toma un camino tal que y se calcula ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x+tv}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma '(0)=v}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$

Sin embargo, esto todavía no tiene sentido, porque y son elementos de espacios vectoriales distintos y Esto significa que la resta de estos dos términos no está definida naturalmente. ${\displaystyle X(\gamma (t))}$ ${\displaystyle X(\gamma (0))}$ ${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle E_{x}.}$

El problema se resuelve introduciendo la estructura adicional de una conexión al fibrado vectorial. Hay al menos tres perspectivas desde las que se pueden entender las conexiones. Cuando se formulan con precisión, las tres perspectivas son equivalentes.

1. ( Transporte paralelo ) Una conexión puede ser vista como la asignación a cada camino diferenciable de un isomorfismo lineal para todos Usando este isomorfismo uno puede transportar a la fibra y luego tomar la diferencia; explícitamente, Para que esto dependa solo de y no de la extensión del camino es necesario poner restricciones (en la definición) en la dependencia de en Esto no es sencillo de formular, y por eso esta noción de "transporte paralelo" usualmente se deriva como un subproducto de otras formas de definir conexiones. De hecho, la siguiente noción de "conexión de Ehresmann" no es más que una formulación infinitesimal de transporte paralelo. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle P_{t}^{\gamma }:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle X(\gamma (t))}$ ${\displaystyle E_{x}}$ $${\displaystyle \nabla _{v}X=\lim _{t\to 0}{\frac {P_{t}^{\gamma }X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle P_{t}^{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma .}$
2. ( Conexión de Ehresmann ) La sección puede verse como un mapa suave de la variedad suave a la variedad suave Como tal, se puede considerar el empuje hacia adelante que es un elemento del espacio tangente En la formulación de Ehresmann de una conexión, se elige una forma de asignar, a todos y cada uno, una descomposición de suma directa de en dos subespacios lineales, uno de los cuales es la incrustación natural de Con estos datos adicionales, se define proyectando que se valorará en Para respetar la estructura lineal de un fibrado vectorial, se imponen restricciones adicionales sobre cómo se mueve la descomposición de suma directa de a medida que e varía sobre una fibra. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle dX(v),}$ ${\displaystyle T_{X(x)}E.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e\in E_{x},}$ ${\displaystyle T_{X(x)}E}$ ${\displaystyle E_{x}.}$ ${\displaystyle \nabla _{v}X}$ ${\displaystyle dX(v)}$ ${\displaystyle E_{x}.}$ ${\displaystyle T_{e}E}$
3. ( Derivada covariante ) La derivada estándar en contextos euclidianos satisface ciertas dependencias , siendo la más fundamental la linealidad. Una derivada covariante se define como cualquier operación que imite estas propiedades, junto con una forma de la regla del producto . ${\displaystyle dX(v)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle (v,X)\mapsto \nabla _{v}X}$

A menos que la base sea de dimensión cero, siempre hay infinitas conexiones que existen en un fibrado vectorial diferenciable dado, y por lo tanto siempre hay una elección correspondiente de cómo diferenciar secciones. Dependiendo del contexto, puede haber elecciones distinguidas, por ejemplo aquellas que se determinan al resolver ciertas ecuaciones diferenciales parciales . En el caso del fibrado tangente , cualquier métrica pseudo-riemanniana (y en particular cualquier métrica riemanniana ) determina una conexión canónica, llamada conexión de Levi-Civita .

Definición formal

Sea un fibrado vectorial real liso sobre una variedad lisa . Denotemos el espacio de secciones lisas de por . Una derivada covariante de es cualquiera de las siguientes estructuras equivalentes: ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle E\to M}$

1. una - función lineal tal que la regla del producto se cumple para todas las funciones suaves en y todas las secciones suaves de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)}$ $${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E.}$
2. una asignación, a cualquier sección suave s y cada , de una función -lineal que depende suavemente de x y tal que para cualesquiera dos secciones suaves y cualesquiera números reales y tal que para cada función suave , está relacionada con por para cualquier y ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\nabla s)_{x}:T_{x}M\to E_{x}}$ $${\displaystyle \nabla (a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2})=a_{1}\nabla s_{1}+a_{2}\nabla s_{2}}$$ ${\displaystyle s_{1},s_{2}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla (fs)}$ ${\displaystyle \nabla s}$ $${\displaystyle {\big (}\nabla (fs){\big )}_{x}(v)=df(v)s(x)+f(x)(\nabla s)_{x}(v)}$$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle v\in T_{x}M.}$

Más allá de utilizar la identificación canónica entre el espacio vectorial y el espacio vectorial de aplicaciones lineales, estas dos definiciones son idénticas y difieren solo en el lenguaje utilizado. ${\displaystyle T_{x}^{\ast }M\otimes E_{x}}$ ${\displaystyle T_{x}M\to E_{x},}$

Es típico denotar con con estando implícito en Con esta notación, la regla del producto en la segunda versión de la definición dada anteriormente se escribe ${\displaystyle (\nabla s)_{x}(v)}$ ${\displaystyle \nabla _{v}s,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v.}$

${\displaystyle \nabla _{v}(fs)=df(v)s+f\nabla _{v}s.}$

Observación. En el caso de un fibrado vectorial complejo, la definición anterior sigue siendo significativa, pero se suele considerar que se modifica cambiando "real" y " " en todos los lugares donde aparecen por "complejo" y " ". Esto impone restricciones adicionales, ya que no todas las funciones lineales reales entre espacios vectoriales complejos son lineales complejas. Hay cierta ambigüedad en esta distinción, ya que un fibrado vectorial complejo también puede considerarse un fibrado vectorial real. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Conexiones inducidas

Dado un fibrado vectorial , existen muchos fibrados asociados a los cuales se pueden construir, por ejemplo, el fibrado vectorial dual , las potencias tensoriales , las potencias tensoriales simétricas y antisimétricas y las sumas directas . Una conexión en induce una conexión en cualquiera de estos fibrados asociados. La facilidad de pasar entre conexiones en fibrados asociados se captura de manera más elegante mediante la teoría de las conexiones de fibrados principales , pero aquí presentamos algunas de las conexiones inducidas básicas. ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle E^{\otimes k}}$ ${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E}$ ${\displaystyle E^{\oplus k}}$ ${\displaystyle E}$

Doble conexión

Dada una conexión en , la conexión dual inducida en se define implícitamente por ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$ ${\displaystyle E^{*}}$

${\displaystyle d(\langle \xi ,s\rangle )(X)=\langle \nabla _{X}^{*}\xi ,s\rangle +\langle \xi ,\nabla _{X}s\rangle .}$

Aquí hay un campo vectorial liso, es una sección de , y una sección del fibrado dual, y el emparejamiento natural entre un espacio vectorial y su dual (que ocurre en cada fibra entre y ), es decir, . Observe que esta definición esencialmente impone que sea la conexión en de modo que se cumpla una regla de producto natural para el emparejamiento . ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \xi \in \Gamma (E^{*})}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \langle \xi ,s\rangle :=\xi (s)}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Conexión de productos tensores

Dadas las conexiones en dos fibrados vectoriales , defina la conexión del producto tensorial mediante la fórmula ${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$ ${\displaystyle E,F\to M}$

${\displaystyle (\nabla ^{E}\otimes \nabla ^{F})_{X}(s\otimes t)=\nabla _{X}^{E}(s)\otimes t+s\otimes \nabla _{X}^{F}(t).}$

Aquí tenemos . Observe nuevamente que esta es la forma natural de combinar para hacer cumplir la regla del producto para la conexión del producto tensorial. Mediante la aplicación repetida de la construcción anterior aplicada al producto tensorial , también se obtiene la conexión de potencia tensorial en para cualquier fibrado vectorial y . ${\displaystyle s\in \Gamma (E),t\in \Gamma (F),X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$ ${\displaystyle E^{\otimes k}=(E^{\otimes (k-1)})\otimes E}$ ${\displaystyle E^{\otimes k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle E}$

Conexión de suma directa

La conexión de suma directa se define por

${\displaystyle (\nabla ^{E}\oplus \nabla ^{F})_{X}(s\oplus t)=\nabla _{X}^{E}(s)\oplus \nabla _{X}^{F}(t),}$

dónde . ${\displaystyle s\oplus t\in \Gamma (E\oplus F)}$

Conexiones de potencia simétricas y exteriores

Dado que la potencia simétrica y la potencia exterior de un fibrado vectorial pueden verse naturalmente como subespacios de la potencia tensorial, , la definición de la conexión del producto tensorial se aplica de manera directa a este contexto. De hecho, dado que las álgebras simétricas y exteriores se encuentran dentro del álgebra tensorial como sumandos directos, y la conexión respeta esta división natural, uno puede simplemente restringirse a estos sumandos. Explícitamente, defina la conexión del producto simétrico mediante ${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E\subset E^{\otimes k}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{X}^{\odot 2}(s\cdot t)=\nabla _{X}s\odot t+s\odot \nabla _{X}t}$

y la conexión del producto exterior por

${\displaystyle \nabla _{X}^{\wedge 2}(s\wedge t)=\nabla _{X}s\wedge t+s\wedge \nabla _{X}t}$

para todos . Las aplicaciones repetidas de estos productos dan lugar a conexiones de potencia exterior y potencia simétrica inducida en y respectivamente. ${\displaystyle s,t\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle S^{k}E}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$

Conexión del endomorfismo

Finalmente, se puede definir la conexión inducida en el fibrado vectorial de endomorfismos , la conexión de endomorfismo . Esta es simplemente la conexión del producto tensorial de la conexión dual en y en . Si y , de modo que la composición también, entonces se cumple la siguiente regla del producto para la conexión de endomorfismo: ${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} {E}}}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle u(s)\in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \nabla _{X}(u(s))=\nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)+u(\nabla _{X}(s)).}$

Al invertir esta ecuación, es posible definir la conexión de endomorfismo como la única conexión que satisface

${\displaystyle \nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)=\nabla _{X}(u(s))-u(\nabla _{X}(s))}$

para cualquier , evitando así la necesidad de definir primero la conexión dual y la conexión del producto tensorial. ${\displaystyle u,s,X}$

Cualquier paquete asociado

Dado un fibrado vectorial de rango , y cualquier representación en un grupo lineal , existe una conexión inducida en el fibrado vectorial asociado . Esta teoría se captura de manera más sucinta al pasar a la conexión del fibrado principal en el fibrado de marco de y usar la teoría de fibrados principales. Cada uno de los ejemplos anteriores puede verse como casos especiales de esta construcción: el fibrado dual corresponde a la representación de transposición inversa (o adjunta inversa), el producto tensorial a la representación de producto tensorial, la suma directa a la representación de suma directa, y así sucesivamente. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (r,\mathbb {K} )\to G}$ ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle F=E\times _{\rho }V}$ ${\displaystyle E}$

Derivadas covariantes exteriores y formas vectoriales

Sea un fibrado vectorial. Una forma diferencial de grado con valores - es una sección del fibrado tensorial : ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E.}$

El espacio de tales formas se denota por

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M;E)=\Gamma \left(\bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E\right)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E),}$

donde el último producto tensorial denota el producto tensorial de los módulos sobre el anillo de funciones suaves en . ${\displaystyle M}$

Una forma 0 con valor - es solo una sección del paquete . Es decir, ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).}$

En esta notación, una conexión en es un mapa lineal ${\displaystyle E\to M}$

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).}$

Una conexión puede entonces verse como una generalización de la derivada exterior a formas con valores de fibrado vectorial. De hecho, dada una conexión en existe una forma única de extender a una derivada covariante exterior ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

Esta derivada covariante exterior se define mediante la siguiente regla de Leibniz, que se especifica en tensores simples de la forma y se extiende linealmente: ${\displaystyle \omega \otimes s}$

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge \nabla s}$

donde , de modo que , es una sección y denota la forma - con valores en definidos mediante acuñamiento con la parte de una forma de . Nótese que para las formas 0 con valores -, esto recupera la regla de Leibniz normal para la conexión . ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{r}(M)}$ ${\displaystyle \deg \omega =r}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \omega \wedge \nabla s}$ ${\displaystyle (r+1)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \nabla s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$

A diferencia de la derivada exterior ordinaria, generalmente se tiene . De hecho, está directamente relacionada con la curvatura de la conexión (ver más abajo). ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$

Propiedades afines del conjunto de conexiones

Todo fibrado vectorial sobre una variedad admite una conexión, que puede demostrarse utilizando particiones de unidad . Sin embargo, las conexiones no son únicas. Si y son dos conexiones sobre entonces su diferencia es un operador -lineal. Es decir, ${\displaystyle \nabla _{1}}$ ${\displaystyle \nabla _{2}}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}s-\nabla _{2}s)}$

para todas las funciones suaves en y todas las secciones suaves de . De ello se deduce que la diferencia se puede identificar de forma única con una forma única en con valores en el fibrado de endomorfismos : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

Por el contrario, si es una conexión en y es una forma única en con valores en , entonces es una conexión en . ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle \nabla +A}$ ${\displaystyle E}$

En otras palabras, el espacio de conexiones en es un espacio afín para . Este espacio afín se denota comúnmente como . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Relación con las conexiones principales y de Ehresmann

Sea un fibrado vectorial de rango y sea el fibrado de marco de . Entonces, una conexión (principal) en induce una conexión en . Primero, observe que las secciones de están en correspondencia biunívoca con las funciones equivariantes derechas . (Esto se puede ver considerando el pullback de sobre , que es isomorfo al fibrado trivial ). Dada una sección de sea la función equivariante correspondiente . La derivada covariante de entonces está dada por ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\times \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi (s)}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \psi (\nabla _{X}s)=X^{H}(\psi (s))}$

¿Dónde está la sustentación horizontal de desde hasta ? (Recuerde que la sustentación horizontal está determinada por la conexión en ). ${\displaystyle X^{H}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

Por el contrario, una conexión en determina una conexión en , y estas dos construcciones son mutuamente inversas. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

Una conexión en también se determina de manera equivalente mediante una conexión Ehresmann lineal en . Esto proporciona un método para construir la conexión principal asociada. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Las conexiones inducidas que se analizan en #Conexiones inducidas se pueden construir como conexiones en otros fibrados asociados al fibrado de marco de , utilizando representaciones distintas de la representación estándar utilizada anteriormente. Por ejemplo, si denota la representación estándar de en , entonces el fibrado asociado a la representación de en es el fibrado de suma directa , y la conexión inducida es precisamente la que se describió anteriormente. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \rho \oplus \rho }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\oplus \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle E\oplus E}$

Expresión local

Sea un fibrado vectorial de rango , y sea un subconjunto abierto de sobre el cual se trivializa. Por lo tanto sobre el conjunto , admite un marco local suave de secciones ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\dots ,e_{k});\quad e_{i}:U\to \left.E\right|_{U}.}$

Dado que el marco define una base de la fibra para cualquier , se puede expandir cualquier sección local en el marco como ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}s^{i}e_{i}}$

para una colección de funciones suaves . ${\displaystyle s^{1},\dots ,s^{k}:U\to \mathbb {R} }$

Dada una conexión en , es posible expresar sobre en términos del marco local de secciones, utilizando la regla del producto característico para la conexión. Para cualquier sección base , la cantidad puede expandirse en el marco local como ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \nabla (e_{i})\in \Omega ^{1}(U)\otimes \Gamma (U,E)}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{k}A_{i}^{\ j}\otimes e_{j},}$

donde hay una colección de formas unitarias locales. Estas formas se pueden colocar en una matriz de formas unitarias definidas por ${\displaystyle A_{i}^{\ j}\in \Omega ^{1}(U);\,j=1,\dots ,k}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ 1}&\cdots &A_{k}^{\ 1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1}^{\ k}&\cdots &A_{k}^{\ k}\end{pmatrix}}\in \Omega ^{1}(U,\operatorname {End} (\left.E\right|_{U}))}$

llamada forma de conexión local de sobre ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$ . La acción de sobre cualquier sección se puede calcular en términos de usar la regla del producto como ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{j=1}^{k}\left(ds^{j}+\sum _{i=1}^{k}A_{i}^{\ j}s^{i}\right)\otimes e_{j}.}$

Si la sección local también se escribe en notación matricial como un vector columna utilizando el marco local como base, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle s={\begin{pmatrix}s^{1}\\\vdots \\s^{k}\end{pmatrix}},}$

Luego, usando la multiplicación de matrices regular, se puede escribir

${\displaystyle \nabla (s)=ds+As}$

donde es una forma abreviada de aplicar la derivada exterior a cada componente de como un vector columna. En esta notación, a menudo se escribe localmente que . En este sentido, una conexión se especifica localmente por completo mediante su forma unitaria de conexión en alguna trivialización. ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}=d+A}$

Como se explica en #Propiedades afines del conjunto de conexiones, cualquier conexión difiere de otra por una forma unitaria valorada por endomorfismo. Desde esta perspectiva, la forma unitaria de conexión es precisamente la forma unitaria valorada por endomorfismo tal que la conexión en difiere de la conexión trivial en , que existe porque es un conjunto trivializante para . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}}$ ${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E}$

Relación con los símbolos de Christoffel

En geometría pseudo-riemanniana , la conexión de Levi-Civita se escribe a menudo en términos de los símbolos de Christoffel en lugar de la forma única de conexión . Es posible definir símbolos de Christoffel para una conexión en cualquier fibrado vectorial, y no solo en el fibrado tangente de una variedad pseudo-riemanniana. Para ello, supongamos que además de ser un subconjunto abierto trivializante para el fibrado vectorial , es también una carta local para la variedad , admitiendo coordenadas locales . ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{\ \ k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n});\quad x^{i}:U\to \mathbb {R} }$

En un gráfico local de este tipo, hay un marco local distinguido para las formas uno diferenciales dadas por , y las formas uno de conexión local se pueden expandir sobre esta base como ${\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})}$ ${\displaystyle A_{i}^{j}}$

${\displaystyle A_{i}^{\ j}=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}dx^{\ell }}$

para una colección de funciones locales suaves , llamadas símbolos de Christoffel de sobre . En el caso donde y es la conexión de Levi-Civita, estos símbolos concuerdan precisamente con los símbolos de Christoffel de la geometría pseudo-riemanniana. ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E=TM}$ ${\displaystyle \nabla }$

La expresión de cómo actúa en coordenadas locales se puede ampliar aún más en términos de la carta local y los símbolos de Christoffel, que se darán por ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{\ell =1}^{n}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)dx^{\ell }\otimes e_{j}.}$

Al contraer esta expresión con el vector tangente de coordenadas local obtenemos ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}}$

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j}.}$

Esto define una colección de operadores definidos localmente. ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nabla _{\ell }:\Gamma (U,E)\to \Gamma (U,E);\quad \nabla _{\ell }(s):=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j},}$

con la propiedad que

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{\ell =1}^{n}dx^{\ell }\otimes \nabla _{\ell }(s).}$

Cambio de banalización local

Supongamos que hay otra elección de marco local sobre el mismo conjunto trivializante , de modo que hay una matriz de funciones suaves que relacionan y , definida por ${\displaystyle \mathbf {e'} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g=(g_{i}^{\ j})}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j=1}^{k}g_{i}^{\ j}e'_{j}.}$

Al rastrear la construcción de la forma de conexión local para el marco , se encuentra que la forma de conexión para está dada por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle {A'}_{i}^{\ j}=\sum _{p,q=1}^{k}g_{p}^{\ j}A_{q}^{\ p}{(g^{-1})}_{i}^{\ q}-\sum _{p=1}^{k}(dg)_{p}^{\ j}{(g^{-1})}_{i}^{\ p}}$

donde denota la matriz inversa a . En notación matricial esto puede escribirse ${\displaystyle g^{-1}=\left({(g^{-1})}_{i}^{\ j}\right)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle A'=gAg^{-1}-(dg)g^{-1}}$

donde es la matriz de formas unitarias dada al tomar la derivada exterior de la matriz componente por componente. ${\displaystyle dg}$ ${\displaystyle g}$

En el caso donde es el fibrado tangente y es el jacobiano de una transformación de coordenadas de , las fórmulas extensas para la transformación de los símbolos de Christoffel de la conexión de Levi-Civita se pueden recuperar a partir de las leyes de transformación más sucintas de la forma de conexión anterior. ${\displaystyle E=TM}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

Transporte paralelo y holonomía

Una conexión en un fibrado vectorial define una noción de transporte paralelo a lo largo de una curva en . Sea una trayectoria suave en . Se dice que una sección de a lo largo es paralela si ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s=0}$

para todos . De manera equivalente, se puede considerar el fibrado de pullback de por . Este es un fibrado vectorial sobre con fibra sobre . La conexión en se retrae a una conexión en . Una sección de es paralela si y solo si . ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla (s)=0}$

Supongamos que es un camino desde hasta en . La ecuación anterior que define secciones paralelas es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (cf. expresión local anterior) y, por lo tanto, tiene una solución única para cada condición inicial posible. Es decir, para cada vector en existe una única sección paralela de con . Defina un mapa de transporte paralelo ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ ${\displaystyle s(0)=v}$

${\displaystyle \tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,}$

por . Se puede demostrar que es un isomorfismo lineal , con inversa dada siguiendo el mismo procedimiento con la trayectoria invertida de a . ${\displaystyle \tau _{\gamma }(v)=s(1)}$ ${\displaystyle \tau _{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma ^{-}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Cómo recuperar la derivada covariante de una conexión a partir de su transporte paralelo. Los valores de una sección se transportan en paralelo a lo largo del camino de regreso a , y luego se toma la derivada covariante en el espacio vectorial fijo, la fibra sobre . ${\displaystyle s(\gamma (t))}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x}$

El transporte paralelo se puede utilizar para definir el grupo de holonomía de la conexión basada en un punto en . Este es el subgrupo de que consta de todos los mapas de transporte paralelo que provienen de bucles basados ​​en : ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (E_{x})}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.\,}$

El grupo holonomico de una conexión está íntimamente relacionado con la curvatura de la conexión (Ambrose-Singer 1953).

La conexión se puede recuperar a partir de sus operadores de transporte paralelo de la siguiente manera. Si es un campo vectorial y una sección, en un punto se elige una curva integral para en . Para cada escribiremos para el mapa de transporte paralelo que viaja a lo largo de desde hasta . En particular, para cada , tenemos . Luego define una curva en el espacio vectorial , que puede diferenciarse. La derivada covariante se recupera como ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \gamma :(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \tau _{t}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \tau _{t}s(\gamma (t))\in E_{x}}$ ${\displaystyle t\mapsto \tau _{t}s(\gamma (t))}$ ${\displaystyle E_{x}}$

${\displaystyle \nabla _{X}s(x)={\frac {d}{dt}}\left(\tau _{t}s(\gamma (t))\right)_{t=0}.}$

Esto demuestra que se da una definición equivalente de una conexión especificando todos los isomorfismos de transporte paralelo entre fibras de y tomando la expresión anterior como la definición de . ${\displaystyle \tau _{\gamma }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla }$

Curvatura

La curvatura de una conexión en es una forma 2 en con valores en el fibrado de endomorfismos . Es decir, ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} (E))=\Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathrm {End} (E)).}$

Se define por la expresión

${\displaystyle F_{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

donde y son campos vectoriales tangentes en y es una sección de . Se debe comprobar que es -lineal tanto en como como y que, de hecho, define un endomorfismo de fibrado de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E}$

Como se mencionó anteriormente, la derivada exterior covariante no necesita elevarse al cuadrado a cero cuando actúa sobre formas con valores . Sin embargo, el operador es estrictamente tensorial (es decir, -lineal). Esto implica que se induce a partir de una forma 2 con valores en . Esta forma 2 es precisamente la forma de curvatura dada anteriormente. Para una forma con valores , tenemos ${\displaystyle d_{\nabla }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (d_{\nabla })^{2}\sigma =F_{\nabla }\wedge \sigma .}$

Una conexión plana es aquella cuya forma de curvatura desaparece de forma idéntica.

Forma local y ecuación estructural de Cartan

La forma de curvatura tiene una descripción local llamada ecuación de estructura de Cartan . Si tiene forma local en algún subconjunto abierto trivializador para , entonces ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+A\wedge A}$

en . Para aclarar esta notación, observe que es una forma unitaria valorada por endomorfismo y, por lo tanto, en coordenadas locales toma la forma de una matriz de formas unitarias. La operación aplica la derivada exterior componente por componente a esta matriz y denota multiplicación de matrices, donde los componentes se encajan en lugar de multiplicarse. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A\wedge A}$

En coordenadas locales sobre , si la forma de conexión se escribe para una colección de endomorfismos locales , entonces se tiene ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A=A_{\ell }dx^{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})dx^{\ell }}$ ${\displaystyle A_{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})}$

${\displaystyle F_{\nabla }=\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{q}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial A_{p}}{\partial x^{q}}}+[A_{p},A_{q}]\right)dx^{p}\wedge dx^{q}.}$

Ampliando esto en términos de los símbolos de Christoffel se obtiene la expresión familiar de la geometría de Riemann. Es decir, si es una sección de más de , entonces ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}}$ ${\displaystyle s=s^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle F_{\nabla }(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma _{qi}^{\ \ j}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial \Gamma _{pi}^{\ \ j}}{\partial x^{q}}}+\Gamma _{pr}^{\ \ j}\Gamma _{qi}^{\ \ r}-\Gamma _{qr}^{\ \ j}\Gamma _{pi}^{\ \ r}\right)s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}R_{pqi}^{\ \ \ j}s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}.}$

Aquí está el tensor de curvatura completo de , y en geometría riemanniana se identificaría con el tensor de curvatura riemanniana . ${\displaystyle R=(R_{pqi}^{\ \ \ j})}$ ${\displaystyle F_{\nabla }}$

Se puede comprobar que si definimos que es producto de cuña de formas pero conmutador de endomorfismos en oposición a composición, entonces , y con esta notación alternativa la ecuación de estructura de Cartan toma la forma ${\displaystyle [A,A]}$ ${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+{\frac {1}{2}}[A,A].}$

Esta notación alternativa se utiliza comúnmente en la teoría de conexiones de fibrados principales, donde en su lugar utilizamos una forma de conexión , una forma única con valor de álgebra de Lie , para la cual no existe una noción de composición (a diferencia del caso de los endomorfismos), pero sí una noción de corchete de Lie. ${\displaystyle \omega }$

En algunas referencias (véase por ejemplo (MadsenTornehave1997)) la ecuación de estructura de Cartan puede escribirse con un signo menos:

${\displaystyle F_{\nabla }=dA-A\wedge A.}$

Esta convención diferente utiliza un orden de multiplicación de matrices que es diferente de la notación de Einstein estándar en el producto de cuña de formas uno con valores matriciales.

Identidad de Bianchi

Una versión de la segunda identidad de Bianchi (diferencial) de la geometría de Riemann se cumple para una conexión en cualquier fibrado vectorial. Recordemos que una conexión en un fibrado vectorial induce una conexión de endomorfismo en . Esta conexión de endomorfismo tiene en sí misma una derivada covariante exterior, a la que llamamos ambiguamente . Dado que la curvatura es una forma bivalente definida globalmente, podemos aplicarle la derivada covariante exterior. La identidad de Bianchi dice que ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle d_{\nabla }}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$

${\displaystyle d_{\nabla }F_{\nabla }=0}$.

Esto captura sucintamente las complicadas fórmulas tensoriales de la identidad de Bianchi en el caso de las variedades de Riemann, y se puede traducir esta ecuación a las identidades de Bianchi estándar expandiendo la conexión y la curvatura en coordenadas locales.

No existe un análogo en general de la primera identidad de Bianchi (algebraica) para una conexión general, ya que esta explota las simetrías especiales de la conexión de Levi-Civita. Es decir, se explota que los índices del fibrado vectorial de en el tensor de curvatura se pueden intercambiar con los índices del fibrado cotangente que provienen de después de usar la métrica para disminuir o aumentar los índices. Por ejemplo, esto permite definir la condición de ausencia de torsión para la conexión de Levi-Civita, pero para un fibrado vectorial general el índice - se refiere a la base de coordenadas local de , y los índices - al marco de coordenadas local de y que proviene de la división . Sin embargo, en circunstancias especiales, por ejemplo cuando el rango de es igual a la dimensión de y se ha elegido una forma de soldadura , se puede usar la soldadura para intercambiar los índices y definir una noción de torsión para conexiones afines que no son la conexión de Levi-Civita. ${\displaystyle E=TM}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}=\Gamma _{i\ell }^{\ \ j}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (E)=E^{*}\otimes E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

Transformaciones de calibre

Dadas dos conexiones en un fibrado vectorial , es natural preguntarse cuándo pueden considerarse equivalentes. Existe una noción bien definida de automorfismo de un fibrado vectorial . Una sección es un automorfismo si es invertible en cada punto . Tal automorfismo se llama transformación de norma de , y el grupo de todos los automorfismos se llama grupo de norma , a menudo denotado o . El grupo de transformaciones de norma puede caracterizarse claramente como el espacio de secciones del fibrado adjunto mayúscula A del fibrado marco del fibrado vectorial . Esto no debe confundirse con el fibrado adjunto minúscula a , que se identifica naturalmente consigo mismo. El fibrado es el fibrado asociado al fibrado marco principal por la representación de conjugación de sobre sí mismo, , y tiene fibra el mismo grupo lineal general donde . Nótese que a pesar de tener la misma fibra que el fibrado marco y estar asociado a él, no es igual al fibrado marco, ni siquiera un fibrado principal en sí mismo. El grupo de norma puede caracterizarse de manera equivalente como ${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle u(x)\in \operatorname {End} (E_{x})}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathcal {F}}(E))}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r)}$ ${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)).}$

Una transformación de calibre de actúa sobre secciones y, por lo tanto, actúa sobre conexiones por conjugación. Explícitamente, si es una conexión en , entonces se define por ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla }$

${\displaystyle (u\cdot \nabla )_{X}(s)=u(\nabla _{X}(u^{-1}(s))}$

Para comprobar que existe una conexión, se verifica la regla del producto ${\displaystyle s\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla }$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\cdot \nabla (fs)&=u(\nabla (u^{-1}(fs)))\\&=u(\nabla (fu^{-1}(s)))\\&=u(df\otimes u^{-1}(s))+u(f\nabla (u^{-1}(s)))\\&=df\otimes s+fu\cdot \nabla (s).\end{aligned}}}$

Se puede comprobar que esto define una acción de grupo izquierda en el espacio afín de todas las conexiones . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Dado que es un espacio afín modelado en , debería existir alguna forma única con valor de endomorfismo tal que . Utilizando la definición de la conexión de endomorfismo inducida por , se puede ver que ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(M,\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle A_{u}\in \Omega ^{1}(M,\operatorname {End} (E))}$ ${\displaystyle u\cdot \nabla =\nabla +A_{u}}$ ${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} (E)}}$ ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle u\cdot \nabla =\nabla -d^{\nabla }(u)u^{-1}}$

lo cual quiere decir que . ${\displaystyle A_{u}=-d^{\nabla }(u)u^{-1}}$

Se dice que dos conexiones son equivalentes de norma si difieren por la acción del grupo de norma, y ​​el espacio cociente es el espacio de módulos de todas las conexiones en . En general, este espacio topológico no es una variedad suave ni siquiera un espacio de Hausdorff , sino que contiene en su interior el espacio de módulos de las conexiones de Yang-Mills en , lo que es de gran interés en la teoría de norma y la física . ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Ejemplos

• Una derivada covariante clásica o conexión afín define una conexión en el fibrado tangente de M , o más generalmente en cualquier fibrado tensorial formado al tomar productos tensoriales del fibrado tangente consigo mismo y su dual.
• Una conexión puede describirse explícitamente como el operador ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla =d+{\begin{bmatrix}f_{11}(x)&f_{12}(x)\\f_{21}(x)&f_{22}(x)\end{bmatrix}}dx}$

donde es la derivada exterior evaluada en funciones suaves con valores vectoriales y son suaves. Una sección puede identificarse con un mapa ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f_{ij}(x)}$ ${\displaystyle a\in \Gamma (\pi )}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}\\x\mapsto (a_{1}(x),a_{2}(x))\end{cases}}}$

y luego

${\displaystyle \nabla (a)=\nabla {\begin{bmatrix}a_{1}(x)\\a_{2}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {da_{1}(x)}{dx}}+f_{11}(x)a_{1}(x)+f_{12}(x)a_{2}(x)\\{\frac {da_{2}(x)}{dx}}+f_{21}(x)a_{1}(x)+f_{22}(x)a_{2}(x)\end{bmatrix}}dx}$

• Si el fibrado está dotado de una métrica de fibrado , un producto interno sobre sus fibras del espacio vectorial, una conexión métrica se define como una conexión que es compatible con la métrica del fibrado.
• Una conexión Yang-Mills es una conexión métrica especial que satisface las ecuaciones de movimiento de Yang-Mills.
• Una conexión de Riemann es una conexión métrica en el fibrado tangente de una variedad de Riemann .
• Una conexión de Levi-Civita es una conexión riemanniana especial: la conexión compatible con la métrica en el fibrado tangente que también está libre de torsión . Es única, en el sentido de que dada cualquier conexión riemanniana, siempre se puede encontrar una y solo una conexión equivalente que esté libre de torsión. "Equivalente" significa que es compatible con la misma métrica, aunque los tensores de curvatura pueden ser diferentes; véase teleparalelismo . La diferencia entre una conexión riemanniana y la conexión de Levi-Civita correspondiente está dada por el tensor de contorsión .
• La derivada exterior es una conexión plana en (el fibrado lineal trivial sobre M ). ${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} }$
• De manera más general, existe una conexión plana canónica en cualquier fibrado vectorial plano (es decir, un fibrado vectorial cuyas funciones de transición son todas constantes) que está dada por la derivada exterior en cualquier trivialización.

Véase también

• Módulo D
• Conexión (matemáticas)

Referencias

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• Darling, RWR (1994), Formas diferenciales y conexiones , Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, Bibcode :1994dfc..book.....D, ISBN 0-521-46800-0
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996) [1963], Fundamentos de geometría diferencial, vol. 1 , Wiley Classics Library, Nueva York: Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
• Koszul, JL (1950), "Homologie et cohomologie des algebres de Lie", Bulletin de la Société Mathématique de France , 78 : 65–127, doi : 10.24033/bsmf.1410
• Wells, RO (1973), Análisis diferencial en variedades complejas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0
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