Fórmula de Euler

Exponencial compleja en términos de seno y coseno

La fórmula de Euler , llamada así por Leonhard Euler , es una fórmula matemática en análisis complejo que establece la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja . La fórmula de Euler establece que, para cualquier número real x , se tiene donde e es la base del logaritmo natural , i es la unidad imaginaria y cos y sen son las funciones trigonométricas coseno y seno respectivamente. Esta función exponencial compleja a veces se denota cis x ("coseno más i seno"). La fórmula sigue siendo válida si x es un número complejo , y también se llama fórmula de Euler en este caso más general. ^[1]   $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

La fórmula de Euler es omnipresente en matemáticas, física, química e ingeniería. El físico Richard Feynman la llamó "nuestra joya" y "la fórmula más notable de las matemáticas". ^[2]

Cuando x = π , la fórmula de Euler puede reescribirse como e ^iπ + 1 = 0 o e ^iπ = −1 , lo que se conoce como identidad de Euler .

Historia

En 1714, el matemático inglés Roger Cotes presentó un argumento geométrico que puede interpretarse (después de corregir un factor mal ubicado de ) como: ^{[3] [4] [5]} Al exponenciar esta ecuación se obtiene la fórmula de Euler. Nótese que la afirmación logarítmica no es universalmente correcta para números complejos, ya que un logaritmo complejo puede tener infinitos valores, que difieren en múltiplos de 2 πi . ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ $${\displaystyle ix=\ln(\cos x+i\sin x).}$$

Visualización de la fórmula de Euler como una hélice en el espacio tridimensional. La hélice se forma trazando puntos para varios valores de y está determinada por los componentes coseno y seno de la fórmula. Una curva representa el componente real ( ) de la fórmula, mientras que otra curva, rotada 90 grados alrededor del eje z (debido a la multiplicación por ), representa el componente imaginario ( ). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sin \theta }$

Alrededor de 1740, Leonhard Euler dirigió su atención a la función exponencial y derivó la ecuación que lleva su nombre comparando las expansiones en serie de las expresiones exponenciales y trigonométricas. ^{[6] [4]} La fórmula se publicó por primera vez en 1748 en su obra fundacional Introductio in analysin infinitorum . ^[7]

Johann Bernoulli había descubierto que ^[8] $${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).}$$

Y como la ecuación anterior nos dice algo sobre los logaritmos complejos al relacionar los logaritmos naturales con números imaginarios (complejos), Bernoulli, sin embargo, no evaluó la integral. $${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,}$$

La correspondencia de Bernoulli con Euler (que también conocía la ecuación anterior) muestra que Bernoulli no comprendía por completo los logaritmos complejos . Euler también sugirió que los logaritmos complejos pueden tener infinitos valores.

La visión de los números complejos como puntos en el plano complejo fue descrita unos 50 años después por Caspar Wessel .

Definiciones de exponenciación compleja

La función exponencial e ^x para valores reales de x puede definirse de varias formas equivalentes diferentes (véase Caracterizaciones de la función exponencial ). Varios de estos métodos pueden extenderse directamente para dar definiciones de e ^z para valores complejos de z simplemente sustituyendo z en lugar de x y utilizando las operaciones algebraicas complejas. En particular, podemos utilizar cualquiera de las tres definiciones siguientes, que son equivalentes. Desde una perspectiva más avanzada, cada una de estas definiciones puede interpretarse como la única continuación analítica de e ^x en el plano complejo.

Definición de ecuación diferencial

La función exponencial es la única función diferenciable de una variable compleja para la cual la derivada es igual a la función y ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$ $${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=f}$$ $${\displaystyle f(0)=1.}$$

Definición de serie de potencias

Para z complejo $${\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

Utilizando la prueba de la razón , es posible demostrar que esta serie de potencias tiene un radio de convergencia infinito y por lo tanto define e ^z para todo complejo z .

Definición de límite

Para z complejo $${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$$

Aquí, n está restringido a números enteros positivos , por lo que no hay dudas sobre lo que significa la potencia con exponente n .

Pruebas

Son posibles varias demostraciones de la fórmula.

Usando la diferenciación

Esta prueba muestra que el cociente de las expresiones trigonométricas y exponenciales es la función constante uno, por lo que deben ser iguales (la función exponencial nunca es cero, ^[9] por lo que esto está permitido). ^[10]

Considere la función f ( θ ) para θ reales . Derivando por la regla del producto se obtiene entonces f ( θ ) es una constante. Como f (0) = 1 , entonces f ( θ ) = 1 para todos los θ reales , y por lo tanto $${\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$$ $${\displaystyle f'(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0}$$ $${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Utilizando series de potencias

Una gráfica de los primeros términos de la serie de Taylor de e ^it para t = 2 .

A continuación se presenta una prueba de la fórmula de Euler utilizando expansiones de series de potencias , así como hechos básicos sobre las potencias de i : ^[11] $${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}}$$

Usando ahora la definición de serie de potencias de arriba, vemos que para valores reales de x donde en el último paso reconocemos que los dos términos son la serie de Maclaurin para cos x y sen x . La reorganización de términos se justifica porque cada serie es absolutamente convergente . $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}}$$

Usando coordenadas polares

Otra prueba ^[12] se basa en el hecho de que todos los números complejos se pueden expresar en coordenadas polares . Por lo tanto, para algunos r y θ que dependen de x , no se hacen suposiciones sobre r y θ ; se determinarán en el curso de la prueba. A partir de cualquiera de las definiciones de la función exponencial se puede demostrar que la derivada de e ^ix es ie ^ix . Por lo tanto, diferenciando ambos lados se obtiene Sustituyendo r (cos θ + i sen θ ) por e ^ix e igualando las partes real e imaginaria en esta fórmula se obtiene ⁠ $${\displaystyle e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).}$$ $${\displaystyle ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right){\frac {d\theta }{dx}}.}$$dr./Dx⁠ = 0y ⁠dθ/Dx⁠ = 1. Por lo tanto,res una constante yθes x + C para alguna constanteC. Los valores iniciales r (0) = 1y θ (0) = 0provienen de e ^{0 i} = 1, dando r = 1y θ = x . Esto demuestra la fórmula $${\displaystyle e^{i\theta }=1(\cos \theta +i\sin \theta )=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Aplicaciones

Aplicaciones en la teoría de números complejos

La fórmula de Euler e ^iφ = cos φ + i sen φ ilustrada en el plano complejo.

Interpretación de la fórmula

Esta fórmula puede interpretarse como que la función e ^iφ es un número complejo unitario , es decir, traza el círculo unitario en el plano complejo a medida que φ recorre los números reales. Aquí φ es el ángulo que forma una línea que une el origen con un punto en el círculo unitario con el eje real positivo , medido en sentido antihorario y en radianes .

La prueba original se basa en las expansiones en serie de Taylor de la función exponencial e ^z (donde z es un número complejo) y de sen x y cos x para números reales x (véase más arriba). De hecho, la misma prueba muestra que la fórmula de Euler es válida incluso para todos los números  complejos x .

Un punto en el plano complejo puede representarse mediante un número complejo escrito en coordenadas cartesianas . La fórmula de Euler proporciona un medio de conversión entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares . La forma polar simplifica las matemáticas cuando se utiliza en la multiplicación o potencias de números complejos. Cualquier número complejo z = x + iy y su conjugado complejo, z = x − iy , se puede escribir como donde $${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}}$$

• x = Re z es la parte real,
• y = Im z es la parte imaginaria,
• r = | z | = √ x ² + y ² es la magnitud de z y
• φ = arg z = atan2 ( y , x ) .

φ es el argumento de z , es decir, el ángulo entre el eje x y el vector z medido en sentido antihorario en radianes , que se define hasta la suma de 2 π . Muchos textos escriben φ = tan ⁻¹ ⁠y/incógnita⁠ en lugar de φ = atan2( y , x ), pero la primera ecuación necesita ajuste cuando x ≤ 0. Esto se debe a que para cualquierxey, no ambos cero, los ángulos de los vectores( x , y )y(− x , − y )difieren enπradianes, pero tienen el valor idéntico detan φ = ⁠y/incógnita⁠ .

Uso de la fórmula para definir el logaritmo de números complejos

Ahora, tomando esta fórmula derivada, podemos usar la fórmula de Euler para definir el logaritmo de un número complejo. Para ello, también utilizamos la definición del logaritmo (como operador inverso de la exponenciación): y que ambos son válidos para cualquier número complejo a y b . Por lo tanto, se puede escribir: para cualquier z ≠ 0 . Tomando el logaritmo de ambos lados se muestra que y de hecho, esto puede usarse como la definición del logaritmo complejo . El logaritmo de un número complejo es, por tanto, una función multivaluada , porque φ es multivaluada. $${\displaystyle a=e^{\ln a},}$$ $${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b},}$$ $${\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|}e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|+i\varphi }}$$ $${\displaystyle \ln z=\ln \left|z\right|+i\varphi ,}$$

Finalmente, la otra ley exponencial que se cumple para todos los números enteros k , junto con la fórmula de Euler, implica varias identidades trigonométricas , además de la fórmula de De Moivre . $${\displaystyle \left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},}$$

Relación con la trigonometría

Relación entre seno, coseno y función exponencial

La fórmula de Euler, las definiciones de las funciones trigonométricas y las identidades estándar para exponenciales son suficientes para derivar fácilmente la mayoría de las identidades trigonométricas. Proporciona una poderosa conexión entre el análisis y la trigonometría , y proporciona una interpretación de las funciones seno y coseno como sumas ponderadas de la función exponencial: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}}$$

Las dos ecuaciones anteriores se pueden derivar sumando o restando las fórmulas de Euler y resolviendo el coseno o el seno. $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$

Estas fórmulas pueden incluso servir como definición de las funciones trigonométricas para argumentos complejos x . Por ejemplo, si x = iy , tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned}}}$$

Además $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x,\\\sinh ix&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x.\end{aligned}}}$$

Las exponenciales complejas pueden simplificar la trigonometría, porque son matemáticamente más fáciles de manipular que sus componentes seno y coseno. Una técnica consiste simplemente en convertir senos y cosenos en expresiones equivalentes en términos de exponenciales, a veces llamadas senos complejos . ^[13] Después de las manipulaciones, el resultado simplificado sigue teniendo valores reales. Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}}$$

Otra técnica consiste en representar senos y cosenos en términos de la parte real de una expresión compleja y realizar las manipulaciones en la expresión compleja. Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}$$

Esta fórmula se utiliza para la generación recursiva de cos nx para valores enteros de n y x arbitrario (en radianes).

Considerando cos x como parámetro en la ecuación anterior, se obtiene la fórmula recursiva para los polinomios de Chebyshev del primer tipo.

Interpretación topológica

En el lenguaje de la topología , la fórmula de Euler establece que la función exponencial imaginaria es un morfismo ( sobreyectivo ) de grupos topológicos desde la línea real hasta el círculo unitario . De hecho, esto se muestra como un espacio de recubrimiento de . De manera similar, la identidad de Euler dice que el núcleo de esta función es , donde . Estas observaciones se pueden combinar y resumir en el diagrama conmutativo a continuación: ${\displaystyle t\mapsto e^{it}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \tau \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tau =2\pi }$

La fórmula y la identidad de Euler combinadas en forma diagramática

Otras aplicaciones

En ecuaciones diferenciales , la función e ^ix se utiliza a menudo para simplificar soluciones, incluso si la respuesta final es una función real que involucra seno y coseno. La razón de esto es que la función exponencial es la función propia de la operación de diferenciación .

En ingeniería eléctrica , procesamiento de señales y campos similares, las señales que varían periódicamente a lo largo del tiempo suelen describirse como una combinación de funciones sinusoidales (véase análisis de Fourier ), y estas se expresan de manera más conveniente como la suma de funciones exponenciales con exponentes imaginarios , utilizando la fórmula de Euler. Además, el análisis fasorial de circuitos puede incluir la fórmula de Euler para representar la impedancia de un capacitor o un inductor.

En el espacio de cuatro dimensiones de los cuaterniones , existe una esfera de unidades imaginarias . Para cualquier punto r de esta esfera y x un número real, se aplica la fórmula de Euler: y el elemento se denomina versor en los cuaterniones. El conjunto de todos los versores forma una 3-esfera en el 4-espacio. $${\displaystyle \exp xr=\cos x+r\sin x,}$$

Otros casos especiales

Los casos especiales que se evalúan en unidades ilustran la rotación alrededor del círculo unitario complejo:

El caso especial en x = τ (donde τ = 2 π , una vuelta ) produce e ^iτ = 1 + 0 . También se argumenta que esto vincula cinco constantes fundamentales con tres operaciones aritméticas básicas, pero, a diferencia de la identidad de Euler, sin reorganizar los sumandos del caso general: Una interpretación de la forma simplificada e ^iτ = 1 es que rotar una vuelta completa es una función identidad . ^[14] $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\tau }&=\cos \tau +i\sin \tau \\&=1+0\end{aligned}}}$$

Véase también

• Número complejo
• La identidad de Euler
• Integración mediante la fórmula de Euler
• Historia de las transformaciones de Lorentz
• Lista de cosas que llevan el nombre de Leonhard Euler

Referencias

1. Moskowitz, Martin A. (2002). Un curso de análisis complejo en una variable. World Scientific Publishing Co. pág. 7. ISBN 981-02-4780-X.
2. Feynman, Richard P. (1977). Las conferencias Feynman sobre física, vol. I. Addison-Wesley. págs. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
3. Cotes escribió: "Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, senun habeat CX sinumque complementi ad quadrantem XE  ; sumando radium CE pro Modulo, arcus erit rationis inter & ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ CE mensura ducta in ." ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ (Por lo tanto, si cualquier arco de un cuadrante de un círculo, descrito por el radio CE , tiene seno CX y seno del complemento del cuadrante XE  ; tomando el radio CE como módulo, el arco será la medida de la relación entre & CE multiplicado por .) Es decir, considere un círculo que tiene centro E (en el origen del plano (x,y)) y radio CE . Considere un ángulo θ con su vértice en E que tiene el eje x positivo como un lado y un radio CE como el otro lado. La perpendicular desde el punto C en el círculo hasta el eje x es el "seno" CX  ; la línea entre el centro del círculo E y el punto X al pie de la perpendicular es XE , que es el "seno del complemento del cuadrante" o "coseno". La razón entre y CE es entonces . En la terminología de Cotes, la "medida" de una cantidad es su logaritmo natural, y el "módulo" es un factor de conversión que transforma una medida de ángulo en longitud de arco circular (aquí, el módulo es el radio ( CE ) del círculo). Según Cotes, el producto del módulo y la medida (logaritmo) de la razón, cuando se multiplica por , es igual a la longitud del arco circular subtendido por θ , que para cualquier ángulo medido en radianes es CE • θ . Por lo tanto, . Esta ecuación tiene un factor mal ubicado: el factor de debería estar en el lado derecho de la ecuación, no en el lado izquierdo. Si se realiza el cambio de escala por , entonces, después de dividir ambos lados por CE y exponenciar ambos lados, el resultado es: , que es la fórmula de Euler. Ver: ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \ }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }}$
   
   • Roger Cotes (1714) "Logometria", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338): 5-45; véase especialmente la página 32. Disponible en línea en: Hathi Trust
   • Roger Cotes con Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum ... (Cambridge, Inglaterra: 1722), capítulo: "Logometria", p. 28.
   • https://nrich.maths.org/1384
4. John Stillwell (2002). Matemáticas y su historia. Springer. ISBN 9781441960528.
5. Sandifer, C. Edward (2007), Los grandes éxitos de Euler , Asociación Matemática de América ISBN 978-0-88385-563-8 
6. Leonhard Euler (1748) Capítulo 8: Sobre las cantidades trascendentes que surgen del círculo de Introducción al análisis del infinito , página 214, sección 138 (traducción de Ian Bruce, enlace pdf de 17 century maths).
7. Conway y Guy, págs. 254-255
8. Bernoulli, Johann (1702). "Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul" [Solución de un problema de cálculo integral con algunas notas relativas a este cálculo]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de París . 1702 : 289–297.
9. Apostol, Tom (1974). Análisis matemático . Pearson. pág. 20. ISBN. 978-0201002881.Teorema 1.42
10. user02138 (https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138), ¿Cómo demostrar la fórmula de Euler: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$?, URL (versión: 2018-06-25): https://math.stackexchange.com/q/8612
11. Ricardo, Henry J. (23 de marzo de 2016). Una introducción moderna a las ecuaciones diferenciales. Elsevier Science. pág. 428. ISBN 9780123859136.
12. Strang, Gilbert (1991). Cálculo. Wellesley-Cambridge. pág. 389. ISBN 0-9614088-2-0.Segunda prueba en la página.
13. "Sinusoides complejos". ccrma.stanford.edu . Consultado el 10 de septiembre de 2024 .
14. Hartl, Michael (14 de marzo de 2019) [14 de marzo de 2010]. «El Manifiesto Tau». Archivado desde el original el 28 de junio de 2019. Consultado el 14 de septiembre de 2013 .

Lectura adicional

• Nahin, Paul J. (2006). La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2.
• Wilson, Robin (2018). La ecuación pionera de Euler: el teorema más bello de las matemáticas . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879492-9.Sr. 3791469  .

Enlaces externos

• Elementos del álgebra