Extensión Alexandroff

Manera de ampliar un espacio topológico no compacto.

En el campo matemático de la topología , la extensión de Alexandroff es una forma de extender un espacio topológico no compacto uniendo un solo punto de tal manera que el espacio resultante sea compacto . Lleva el nombre del matemático ruso Pavel Alexandroff . Más precisamente, sea X un espacio topológico. Entonces la extensión Alexandroff de X es un cierto espacio compacto X * junto con una incrustación abierta c  :  X  →  X * tal que el complemento de X en X * consiste en un solo punto, típicamente denotado ∞. La función c es una compactificación de Hausdorff si y sólo si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto y no compacto . Para tales espacios, la extensión de Alexandroff se denomina compactación de un punto o compactación de Alexandroff . Las ventajas de la compactación de Alexandroff residen en su estructura simple, a menudo geométricamente significativa, y en el hecho de que, en un sentido preciso, es mínima entre todas las compactaciones; la desventaja radica en el hecho de que solo proporciona una compactación de Hausdorff en la clase de espacios de Hausdorff localmente compactos y no compactos, a diferencia de la compactación de Stone-Čech que existe para cualquier espacio topológico (pero proporciona una incrustación exactamente para los espacios de Tychonoff ).

Ejemplo: proyección estereográfica inversa

Un ejemplo geométricamente atractivo de compactación en un punto lo da la proyección estereográfica inversa . Recuerde que la proyección estereográfica S da un homeomorfismo explícito desde la esfera unitaria menos el polo norte (0,0,1) al plano euclidiano. La proyección estereográfica inversa es una incrustación abierta y densa en un espacio compacto de Hausdorff que se obtiene uniendo el punto adicional . Bajo la proyección estereográfica, los círculos latitudinales se transforman en círculos planos . De ello se deduce que la base de vecindad eliminada dada por los casquetes esféricos perforados corresponde a los complementos de discos planos cerrados . Más cualitativamente, los conjuntos proporcionan una base de vecindad en cuando K recorre los subconjuntos compactos de . Este ejemplo ya contiene los conceptos clave del caso general. ${\displaystyle S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}}$ ${\displaystyle \infty =(0,0,1)}$ ${\displaystyle z=c}$ ${\textstyle r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle c\leq z<1}$ ${\textstyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Motivación

Sea una incrustación de un espacio topológico X a un espacio topológico compacto de Hausdorff Y , con imagen densa y resto de un punto . Entonces c ( X ) es abierto en un espacio compacto de Hausdorff, por lo que es localmente compacto Hausdorff, por lo tanto su preimagen homeomórfica X también es localmente compacta Hausdorff. Además, si X fuera compacto, entonces c ( X ) estaría cerrado en Y y, por tanto, no sería denso. Por tanto, un espacio sólo puede admitir una compactación de un punto de Hausdorff si es localmente compacto, no compacto y de Hausdorff. Además, en dicha compactación de un punto, la imagen de una base de vecindad para x en X da una base de vecindad para c ( x ) en c ( X ), y, debido a que un subconjunto de un espacio compacto de Hausdorff es compacto si y sólo si es cerrado: las vecindades abiertas de deben ser todos los conjuntos obtenidos uniendo a la imagen bajo c de un subconjunto de X con complemento compacto. ${\displaystyle c:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle \{\infty \}=Y\setminus c(X)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

La extensión Alexandroff

Sea un espacio topológico. Poner y topologíar tomando como conjuntos abiertos todos los conjuntos abiertos en X junto con todos los conjuntos de la forma donde C es cerrado y compacto en X. Aquí, denota el complemento de en Nota que es una vecindad abierta de y, por lo tanto, cualquier cubierta abierta de contendrá todo excepto un subconjunto compacto de lo que implica que es compacto (Kelley 1975, p. 150). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle X\setminus C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle \{\infty \}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X^{*},}$ ${\displaystyle X^{*}}$

El espacio se llama extensión Alexandroff de X (Willard, 19A). A veces se utiliza el mismo nombre para el mapa de inclusión. ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle c:X\to X^{*}.}$

Las siguientes propiedades se derivan de la discusión anterior:

• El mapa c es continuo y abierto: incorpora X como un subconjunto abierto de . ${\displaystyle X^{*}}$
• El espacio es compacto. ${\displaystyle X^{*}}$
• La imagen c ( X ) es densa en , si X no es compacta. ${\displaystyle X^{*}}$
• El espacio es Hausdorff si y sólo si X es Hausdorff y localmente compacto . ${\displaystyle X^{*}}$
• El espacio es T 1 si y sólo si X es T ₁ . ${\displaystyle X^{*}}$

La compactación en un punto

En particular, la extensión de Alexandroff es una compactación de Hausdorff de X si y sólo si X es Hausdorff, no compacto y localmente compacto. En este caso se denomina compactación de un punto o compactación de Alexandroff de X. ${\displaystyle c:X\rightarrow X^{*}}$

Recuerde de la discusión anterior que cualquier compactación de Hausdorff con un resto de punto es necesariamente (isomorfa a) la compactificación de Alexandroff. En particular, si es un espacio compacto de Hausdorff y es un punto límite de (es decir, no un punto aislado de ), es la compactificación de Alexandroff de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$

Sea X cualquier espacio de Tychonoff no compacto . Bajo el ordenamiento parcial natural del conjunto de clases de equivalencia de compactaciones, cualquier elemento mínimo es equivalente a la extensión de Alexandroff (Engelking, Teorema 3.5.12). De ello se deduce que un espacio de Tychonoff no compacto admite una compactación mínima si y sólo si es localmente compacto. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$

Compactaciones de un punto que no son de Hausdorff

Sea un espacio topológico arbitrario no compacto. Es posible que desee determinar todas las compactaciones (no necesariamente Hausdorff) obtenidas agregando un solo punto, lo que también podría denominarse compactaciones de un punto en este contexto. Por lo tanto, uno quiere determinar todas las formas posibles de dar una topología compacta tal que sea densa y la topología subespacial inducida sea la misma que la topología original. La última condición de compatibilidad en la topología implica automáticamente que es denso en , porque no es compacto, por lo que no se puede cerrar en un espacio compacto. Además, es un hecho que el mapa de inclusión es necesariamente una incrustación abierta , es decir, debe estar abierto y la topología debe contener a todos los miembros de . ^[1] Entonces, la topología está determinada por las vecindades de . Cualquier vecindad de es necesariamente el complemento en de un subconjunto compacto cerrado de , como se analizó anteriormente. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c:X\to X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

Las topologías que lo convierten en una compactación son las siguientes: ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

• La extensión Alexandroff de lo definido anteriormente. Aquí tomamos los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados de como vecindades de . Esta es la topología más grande que realiza una compactación de un punto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$
• La topología de extensión abierta . Aquí agregamos un solo vecindario de , es decir, todo el espacio . Esta es la topología más pequeña que realiza una compactación de un punto . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$
• Cualquier topología intermedia entre las dos topologías anteriores. Para las vecindades de uno hay que elegir una subfamilia adecuada de los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados de ; por ejemplo, los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados finitos, o los complementos de todos los subconjuntos compactos cerrados contables. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X}$

Más ejemplos

Compactificaciones de espacios discretos.

• La compactación en un punto del conjunto de números enteros positivos es homeomorfa al espacio formado por K = {0} U {1/ n | n es un entero positivo} con la topología de orden.
• Una secuencia en un espacio topológico converge a un punto en , si y sólo si el mapa dado por para en y es continuo. Aquí tiene la topología discreta . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X}$ ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(\infty )=a}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Los espacios poliádicos se definen como espacios topológicos que son la imagen continua del poder de una compactación de un punto de un espacio de Hausdorff discreto y localmente compacto.

Compactificaciones de espacios continuos

• La compactación en un punto del espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ es homeomorfa a la n -esfera S ⁿ . Como se indicó anteriormente, el mapa se puede dar explícitamente como una proyección estereográfica inversa de n dimensiones.
• La compactación en un punto del producto de copias del intervalo semicerrado [0,1), es decir, de , es (homeomórfica a) . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle [0,1)^{\kappa }}$ ${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$
• Dado que el cierre de un subconjunto conexo es conexo, la extensión de Alexandroff de un espacio conexo no compacto es conexa. Sin embargo, una compactación de un punto puede "conectar" un espacio desconectado: por ejemplo, la compactación de un punto de la unión disjunta de un número finito de copias del intervalo (0,1) es una cuña de círculos . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• La compactación en un punto de la unión disjunta de un número contable de copias del intervalo (0,1) es el pendiente hawaiano . Esto es diferente de la cuña de muchos círculos numerables, que no es compacta.
• Dado Hausdorff compacto y cualquier subconjunto cerrado de , la compactación de un punto de es , donde la barra diagonal denota el espacio cociente . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus C}$ ${\displaystyle X/C}$
• Si y son Hausdorff localmente compactos, entonces ¿dónde está el producto estrella ? Recuerde que la definición del producto smash: donde está la suma de la cuña y, nuevamente, / denota el espacio cociente. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)}$ ${\displaystyle A\vee B}$

como functor

La extensión de Alexandroff puede verse como un functor de la categoría de espacios topológicos con mapas continuos adecuados como morfismos a la categoría cuyos objetos son mapas continuos y para los cuales los morfismos de a son pares de mapas continuos tales que . En particular, los espacios homeomórficos tienen extensiones de Alexandroff isomorfas. ${\displaystyle c\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}}$ ${\displaystyle f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}}$ ${\displaystyle f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}}$

Ver también

• Compactificación de Bohr  : grupo compacto de Hausdorff asociado a un grupo topológicoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio compacto  – Tipo de espacio matemático
• Compactificación (matemáticas)  : incrustar un espacio topológico en un espacio compacto como un subconjunto denso
• Fin (topología)  : en topología, los componentes conectados del "límite ideal" de un espacioPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Recta de números reales extendida  : números reales con +∞ y −∞ agregados
• Espacio normal  – Tipo de espacio topológico
• Conjunto puntiagudo  : concepto básico en teoría de conjuntos
• Esfera de Riemann  : modelo del plano complejo extendido más un punto en el infinito
• Proyección estereográfica  : mapeo particular que proyecta una esfera en un plano.
• Compactificación de Stone-Čech  : un mapa universal desde un espacio topológico X a un espacio compacto de Hausdorff βX, de modo que cualquier mapa de X a un espacio compacto de Hausdorff factoriza a través de βX de forma única; si X es Tychonoff, entonces X es un subespacio denso de βXPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Compactificación de Wallman  : una compactificación de espacios topológicos T ₁

Notas

1. "Topología general: compactaciones de un punto que no son de Hausdorff".
2. Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (consulte el Capítulo 11 para obtener pruebas). 

Referencias

• Alexandroff, Pavel S. (1924), "Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume", Mathematische Annalen , 92 (3–4): 294–301, doi :10.1007/BF01448011, JFM  50.0128.04, S2CID  121699713
• Brown, Ronald (1973), "Mapas secuencialmente adecuados y compactificación secuencial", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , Serie 2, 7 (3): 515–522, doi :10.1112/jlms/s2-7.3.515, Zbl  0269.54015

• Engelking, Ryszard (1989), Topología general , Helderman Verlag Berlin, ISBN 978-0-201-08707-9, señor  1039321
• Fedorchuk, VV (2001) [1994], "Compactificación de Aleksandrov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kelley, John L. (1975), Topología general , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, SEÑOR  0370454
• Munkres, James (1999), Topología (2ª ed.), Prentice Hall , ISBN 0-13-181629-2, Zbl  0951.54001
• Willard, Stephen (1970), Topología general , Addison-Wesley , ISBN 3-88538-006-4, SEÑOR  0264581, Zbl  0205.26601