Sistema de coordenadas baricéntrico

Sistema de coordenadas que está definido por puntos en lugar de vectores.

Coordenadas baricéntricas en un triángulo equilátero y en un triángulo rectángulo. ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$

Un 3-símplex, con subdivisiones baricéntricas de 1 cara (aristas), 2 caras (triángulos) y 3 caras (cuerpo).

En geometría , un sistema de coordenadas baricéntrico es un sistema de coordenadas en el que la ubicación de un punto se especifica mediante referencia a un simplex (un triángulo para puntos en un plano , un tetraedro para puntos en un espacio tridimensional , etc.). Las coordenadas baricéntricas de un punto pueden interpretarse como masas colocadas en los vértices del simplex, de modo que el punto es el centro de masas (o baricentro ) de dichas masas. Estas masas pueden ser cero o negativas; todos son positivos si y sólo si el punto está dentro del simplex.

Cada punto tiene coordenadas baricéntricas y su suma nunca es cero. Dos tuplas de coordenadas baricéntricas especifican el mismo punto si y sólo si son proporcionales; es decir, si una tupla se puede obtener multiplicando los elementos de la otra tupla por el mismo número distinto de cero. Por lo tanto, se considera que las coordenadas baricéntricas están definidas hasta la multiplicación por una constante distinta de cero o normalizadas para sumar a la unidad.

Las coordenadas baricéntricas fueron introducidas por August Möbius en 1827. ^{[1] [2] [3]} Son coordenadas homogéneas especiales . Las coordenadas baricéntricas están fuertemente relacionadas con las coordenadas cartesianas y, de manera más general, con las coordenadas afines (ver Espacio afín § Relación entre coordenadas baricéntricas y afines ).

Las coordenadas baricéntricas son particularmente útiles en geometría de triángulos para estudiar propiedades que no dependen de los ángulos del triángulo, como el teorema de Ceva , el teorema de Routh y el teorema de Menelao . En diseño asistido por ordenador , son útiles para definir algunos tipos de superficies Bézier . ^{[4] [5]}

Definición

Sean n + 1 puntos en un espacio euclidiano , un espacio plano o afín de dimensión n que sean afínmente independientes ; esto significa que no existe un subespacio afín de dimensión n − 1 que contenga todos los puntos, ^[6] o, de manera equivalente, que los puntos definan un simplex . Dado cualquier punto hay escalares que no son todos cero, tales que ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle P\in \mathbf {A} ,}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

$${\displaystyle (a_{0}+\cdots +a_{n}){\overset {}{\overrightarrow {OP}}}=a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}},}$$

Ovector de traslaciónvector libreAB ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {AB}}}}$

Los elementos de una tupla ( n + 1) que satisface esta ecuación se llaman coordenadas baricéntricas de P con respecto al El uso de dos puntos en la notación de la tupla significa que las coordenadas baricéntricas son una especie de coordenadas homogéneas , es decir, el punto es no cambia si todas las coordenadas se multiplican por la misma constante distinta de cero. Además, las coordenadas baricéntricas tampoco cambian si se cambia el punto auxiliar O , el origen . ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$ ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}.}$

Las coordenadas baricéntricas de un punto son únicas hasta una escala . Es decir, dos tuplas y son coordenadas baricéntricas del mismo punto si y sólo si existe un escalar distinto de cero tal que para cada i . ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{0}:\dotsc :b_{n})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b_{i}=\lambda a_{i}}$

En algunos contextos, resulta útil restringir las coordenadas baricéntricas de un punto para que sean únicas. Esto generalmente se logra imponiendo la condición

$${\displaystyle \sum a_{i}=1,}$$

coordenadas baricéntricas normalizadas^[7]coordenadas afines ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}.}$

En ocasiones, son las coordenadas baricéntricas normalizadas las que se denominan coordenadas baricéntricas . En este caso, las coordenadas definidas anteriormente se denominan coordenadas baricéntricas homogéneas .

Con la notación anterior, las coordenadas baricéntricas homogéneas de Ai _son todas cero, excepto la de índice i . Cuando se trabaja con números reales (la definición anterior también se usa para espacios afines sobre un campo arbitrario ), los puntos cuyas coordenadas baricéntricas normalizadas son no negativas forman cuyo casco convexo es el simplex que tiene estos puntos como vértices. ${\displaystyle \{A_{0},\ldots ,A_{n}\},}$

Con la notación anterior, una tupla tal que ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}=0}$$

$${\displaystyle a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}}}$$

Opunto en el infinito ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$

Relación con coordenadas cartesianas o afines

Las coordenadas baricéntricas están fuertemente relacionadas con las coordenadas cartesianas y, más generalmente, con las coordenadas afines . Para un espacio de dimensión n , estos sistemas de coordenadas se definen con respecto a un punto O , el origen , cuyas coordenadas son cero, y n puntos cuyas coordenadas son cero excepto el de índice i que es igual a uno. ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$

Un punto tiene coordenadas.

$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

$${\displaystyle (1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

${\displaystyle O,A_{1},\ldots ,A_{n}.}$

La principal ventaja de los sistemas de coordenadas baricéntricos es que son simétricos con respecto a los n + 1 puntos que los definen. Por lo tanto, suelen ser útiles para estudiar propiedades que son simétricas con respecto a n + 1 puntos. Por otro lado, las distancias y los ángulos son difíciles de expresar en sistemas de coordenadas baricéntricos generales y, cuando están involucrados, generalmente es más sencillo utilizar un sistema de coordenadas cartesiano.

Relación con coordenadas proyectivas

Las coordenadas baricéntricas homogéneas también están fuertemente relacionadas con algunas coordenadas proyectivas . Sin embargo, esta relación es más sutil que en el caso de coordenadas afines y, para entenderse claramente, requiere una definición sin coordenadas de la finalización proyectiva de un espacio afín y una definición de marco proyectivo .

La terminación proyectiva de un espacio afín de dimensión n es un espacio proyectivo de la misma dimensión que contiene el espacio afín como complemento de un hiperplano . La terminación proyectiva es única hasta un isomorfismo . El hiperplano se llama hiperplano en el infinito y sus puntos son los puntos en el infinito del espacio afín. ^[8]

Dado un espacio proyectivo de dimensión n , un marco proyectivo es un conjunto ordenado de n + 2 puntos que no están contenidos en el mismo hiperplano. Un marco proyectivo define un sistema de coordenadas proyectivo tal que las coordenadas del ( n + 2 ) ésimo punto del marco son todas iguales y, de lo contrario, todas las coordenadas del i ésimo punto son cero, excepto el i ésimo. ^[8]

Cuando se construye la terminación proyectiva a partir de un sistema de coordenadas afín, comúnmente se define con respecto a un marco proyectivo que consta de las intersecciones con el hiperplano en la infinidad de los ejes de coordenadas , el origen del espacio afín y el punto que tiene todos sus ejes de coordenadas afines. coordenadas iguales a uno. Esto implica que los puntos en el infinito tienen su última coordenada igual a cero, y que las coordenadas proyectivas de un punto del espacio afín se obtienen completando sus coordenadas afines en uno como ( n + 1) ésima coordenada.

Cuando uno tiene n + 1 puntos en un espacio afín que definen un sistema de coordenadas baricéntrico, este es otro marco proyectivo de terminación proyectiva que conviene elegir. Este marco consta de estos puntos y su centroide , es decir el punto que tiene todas sus coordenadas baricéntricas iguales. En este caso, las coordenadas baricéntricas homogéneas de un punto en el espacio afín son las mismas que las coordenadas proyectivas de este punto. Un punto está en el infinito si y sólo si la suma de sus coordenadas es cero. Este punto está en la dirección del vector definido al final del § Definición.

Coordenadas baricéntricas en triángulos.

En el contexto de un triángulo , las coordenadas baricéntricas también se conocen como coordenadas de área o coordenadas de área , porque las coordenadas de P con respecto al triángulo ABC son equivalentes a las razones (con signo) de las áreas de PBC , PCA y PAB con respecto al área de el triángulo de referencia ABC . Las coordenadas areales y trilineales se utilizan para propósitos similares en geometría.

Las coordenadas baricéntricas o de área son extremadamente útiles en aplicaciones de ingeniería que involucran subdominios triangulares . Esto hace que las integrales analíticas sean a menudo más fáciles de evaluar, y las tablas de cuadratura gaussianas a menudo se presentan en términos de coordenadas de área.

Considere un triángulo T definido por sus tres vértices , y . Cada punto ubicado dentro de este triángulo se puede escribir como una combinación convexa única de los tres vértices. En otras palabras, para cada uno hay una secuencia única de tres números, tal que y ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0}$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$

$${\displaystyle \mathbf {r} =\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3},}$$

Los tres números indican las coordenadas "baricéntricas" o de "área" del punto con respecto al triángulo. A menudo se indican como en lugar de . Tenga en cuenta que aunque hay tres coordenadas, sólo hay dos grados de libertad , ya que . Por tanto, cada punto está definido de forma única por dos de las coordenadas baricéntricas. ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$

Para explicar por qué estas coordenadas son razones de áreas con signo , supongamos que trabajamos en el espacio euclidiano . Aquí, considere el sistema de coordenadas cartesiano y su base asociada , a saber . Considere también el triángulo orientado positivamente que se encuentra en el plano . Se sabe que para cualquier base y cualquier vector libre se tiene ^[9] ${\displaystyle \mathbf {E} ^{3}}$ ${\displaystyle Oxyz}$ ${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle Oxy}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} \}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

$${\displaystyle \mathbf {h} ={\frac {1}{(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )}}\cdot \left[(\mathbf {h} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )\mathbf {e} +(\mathbf {e} ,\mathbf {h} ,\mathbf {g} )\mathbf {f} +(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {h} )\mathbf {g} \right],}$$

donde representa el producto mixto de estos tres vectores. ${\displaystyle (\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g} }$

Tome donde P es un punto arbitrario en el plano y observe que ${\displaystyle \mathbf {e} ={\overset {}{\overrightarrow {AB}}},\,\mathbf {f} ={\overset {}{\overrightarrow {AC}}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\overset {}{\overrightarrow {AP}}},}$ ${\displaystyle Oxy}$

$${\displaystyle (\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {h} )=\left({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\right)\cdot {\overrightarrow {AP}}=\left(\,\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\right|\mathbf {k} \right)\cdot {\overrightarrow {AP}}=0.}$$

Un punto sutil con respecto a nuestra elección de vectores libres: es, de hecho, la clase de equipolencia del vector ligado . ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {AB}}}}$

Hemos obtenido que

$${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {AP}}}=m_{B}\cdot {\overset {}{\overrightarrow {AB}}}+m_{C}\cdot {\overset {}{\overrightarrow {AC}}}}$$

dónde

$${\displaystyle m_{B}={\frac {\left({\overrightarrow {AP}},{\overrightarrow {AC}},\mathbf {k} \right)}{\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},\mathbf {k} \right)}},\quad m_{C}={\frac {\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AP}},\mathbf {k} \right)}{\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},\mathbf {k} \right)}}.}$$

Dada la orientación positiva ( en sentido antihorario ) del triángulo , el denominador de ambos y es precisamente el doble del área del triángulo . También, ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle m_{B}}$ ${\displaystyle m_{C}}$ ${\displaystyle ABC}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\overrightarrow {AP}},{\overrightarrow {AC}},\mathbf {k} \right)&=\left({\overrightarrow {PC}},{\overrightarrow {PA}},\mathbf {k} \right),\\[2pt]\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AP}},\mathbf {k} \right)&=\left({\overrightarrow {PA}},{\overrightarrow {PB}},\mathbf {k} \right),\end{aligned}}}$$

y entonces los numeradores de y son los dobles de las áreas con signo de los triángulos y respectivamente . ${\displaystyle m_{B}}$ ${\displaystyle m_{C}}$ ${\displaystyle APC}$ ${\displaystyle ABP}$

Además, deducimos que

$${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {OP}}}=(1-m_{B}-m_{C})\cdot {\overset {}{\overrightarrow {OA}}}+m_{B}\cdot {\overset {}{\overrightarrow {OB}}}+m_{C}\cdot {\overset {}{\overrightarrow {OC}}}}$$

lo que significa que los números , y son las coordenadas baricéntricas de P . De manera similar, la tercera coordenada baricéntrica se lee como ${\displaystyle 1-m_{B}-m_{C}}$ ${\displaystyle m_{B}}$ ${\displaystyle m_{C}}$

$${\displaystyle m_{A}=1-m_{B}-m_{C}={\frac {\left({\overrightarrow {PB}},{\overrightarrow {PC}},\mathbf {k} \right)}{\left({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},\mathbf {k} \right)}}.}$$

Esta notación de letras m de las coordenadas baricéntricas proviene del hecho de que el punto P puede interpretarse como el centro de masas de las masas , que se encuentran en A , B y C. ${\displaystyle m_{A}}$ ${\displaystyle m_{B}}$ ${\displaystyle m_{C}}$

Alternar entre las coordenadas baricéntricas y otros sistemas de coordenadas hace que algunos problemas sean mucho más fáciles de resolver.

Conversión entre coordenadas baricéntricas y cartesianas

Enfoque de borde

Dado un punto en el plano de un triángulo se pueden obtener las coordenadas baricéntricas , y de las cartesianas o viceversa. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{3}}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Podemos escribir las coordenadas cartesianas del punto en términos de las componentes cartesianas de los vértices del triángulo , donde y en términos de las coordenadas baricéntricas de as ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\end{aligned}}}$$

Es decir, las coordenadas cartesianas de cualquier punto son un promedio ponderado de las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo, siendo los pesos las coordenadas baricéntricas del punto que suman la unidad.

Para encontrar la transformación inversa, de coordenadas cartesianas a coordenadas baricéntricas, primero sustituimos lo anterior para obtener ${\displaystyle \lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}\end{aligned}}}$$

Reorganizando, esto es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x&=0\\[2pt]\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-\,y_{3})+y_{3}-\,y&=0\end{aligned}}}$$

Esta transformación lineal se puede escribir de manera más sucinta como

$${\displaystyle \mathbf {T} \cdot \lambda =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3}}$$

donde es el vector de las dos primeras coordenadas baricéntricas, es el vector de coordenadas cartesianas y es una matriz dada por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\end{matrix}}\right)}$$

Ahora la matriz es invertible , ya que y son linealmente independientes (si no fuera así, entonces , y serían colineales y no formarían un triángulo). Por lo tanto, podemos reordenar la ecuación anterior para obtener ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3})}$$

Por lo tanto, encontrar las coordenadas baricéntricas se ha reducido a encontrar la matriz inversa de 2 × 2 de , un problema sencillo. ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Explícitamente, las fórmulas para las coordenadas baricéntricas de un punto en términos de sus coordenadas cartesianas ( x, y ) y en términos de las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo son: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\ {\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{2}=&\ {\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{3}=&\ 1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\\[4pt]&=1-{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )=(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}$

Enfoque de vértice

Otra forma de resolver la conversión de coordenadas cartesianas a baricéntricas es escribir la relación en forma matricial .

$${\displaystyle \mathbf {R} {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {r} }$$

${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\,\mathbf {r} _{1}\,|\,\mathbf {r} _{2}\,|\,\mathbf {r} _{3}\right)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top },}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$$

sistema lineal. ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2A}}{\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}&y_{2}-y_{3}&x_{3}-x_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}&y_{3}-y_{1}&x_{1}-x_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}&y_{1}-y_{2}&x_{2}-x_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle 2A=\det(1|R)=x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}$$

la regla de Cramer

Conversión entre coordenadas baricéntricas y trilineales

Un punto con coordenadas trilineales x  : y  : z tiene coordenadas baricéntricas ax  : by  : cz donde a , b , c son las longitudes de los lados del triángulo. Por el contrario, un punto con baricéntricos tiene trilineales. ${\displaystyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.}$

Ecuaciones en coordenadas baricéntricas

Los tres lados a, b, c respectivamente tienen ecuaciones ^[10]

$${\displaystyle \lambda _{1}=0,\quad \lambda _{2}=0,\quad \lambda _{3}=0.}$$

La ecuación de la recta de Euler de un triángulo es ^[10]

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\\1&1&1\\\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}=0.}$$

Utilizando la conversión dada anteriormente entre coordenadas baricéntricas y trilineales, las otras ecuaciones dadas en Coordenadas trilineales#Fórmulas se pueden reescribir en términos de coordenadas baricéntricas.

Distancia entre puntos

El vector de desplazamiento de dos puntos normalizados y es ^[11] ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},p_{3})}$ ${\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},q_{3})}$

$${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2},p_{3}-q_{3}).}$$

La distancia d entre P y Q , o la longitud del vector de desplazamiento es ^{[10] [11]} ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(x,y,z),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}&=|PQ|^{2}\\[2pt]&=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right].\end{aligned}}}$$

donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo. La equivalencia de las dos últimas expresiones se deduce de lo cual es válido porque ${\displaystyle x+y+z=0,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})\\[2pt]&=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})\\[2pt]&=1-1=0.\end{aligned}}}$$

Las coordenadas baricéntricas de un punto se pueden calcular en función de las distancias di _a los tres vértices del triángulo resolviendo la ecuación

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}-c^{2}&c^{2}&b^{2}-a^{2}\\-b^{2}&c^{2}-a^{2}&b^{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B}^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{matrix}}\right).}$$

Aplicaciones

Dos soluciones al rompecabezas del vertido de agua de 8, 5 y 3 L utilizando un diagrama baricéntrico. La zona amarilla indica las combinaciones que se pueden realizar con las jarras. Los caminos de color rojo sólido y azul discontinuo muestran transiciones vertibles. Cuando un vértice aterriza en el triángulo punteado, se han medido 4 L.

Determinar la ubicación con respecto a un triángulo.

Aunque las coordenadas baricéntricas se usan más comúnmente para manejar puntos dentro de un triángulo, también se pueden usar para describir un punto fuera del triángulo. Si el punto no está dentro del triángulo, aún podemos usar las fórmulas anteriores para calcular las coordenadas baricéntricas. Sin embargo, dado que el punto está fuera del triángulo, al menos una de las coordenadas violará nuestra suposición original de que . De hecho, dado cualquier punto en coordenadas cartesianas, podemos usar este hecho para determinar dónde está ese punto con respecto a un triángulo. ${\displaystyle \lambda _{1...3}\geq 0}$

Si un punto se encuentra en el interior del triángulo, todas las coordenadas baricéntricas se encuentran en el intervalo abierto. Si un punto se encuentra en un borde del triángulo pero no en un vértice, una de las coordenadas del área (la asociada con el vértice opuesto) ) es cero, mientras que los otros dos se encuentran en el intervalo abierto. Si el punto se encuentra en un vértice, la coordenada asociada a ese vértice es igual a 1 y las demás son iguales a cero. Finalmente, si el punto se encuentra fuera del triángulo, al menos una coordenada es negativa. ${\displaystyle (0,1).}$ ${\displaystyle \lambda _{1...3}}$ ${\displaystyle (0,1).}$

Resumiendo,

El punto está dentro del triángulo si y sólo si . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle 0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}}$

$${\displaystyle \mathbf {r} }$$

${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}}$

De lo contrario, se encuentra fuera del triángulo. ${\displaystyle \mathbf {r} }$

En particular, si un punto se encuentra en el lado opuesto de una línea, la coordenada baricéntrica del punto en el triángulo que no está en la línea tendrá un valor negativo.

Interpolación en una cuadrícula triangular no estructurada

Superficie (parte superior) obtenida a partir de interpolación lineal sobre una cuadrícula triangular determinada (parte inferior) en el plano x , y . La superficie se aproxima a una función z = f ( x , y ), dados solo los valores de f en los vértices de la cuadrícula.

Si se conocen cantidades, pero se desconocen los valores de f dentro del triángulo definido por , se pueden aproximar mediante interpolación lineal . Las coordenadas baricéntricas proporcionan una manera conveniente de calcular esta interpolación. Si es un punto dentro del triángulo con coordenadas baricéntricas ,,, entonces ${\displaystyle f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{3}}$

$${\displaystyle f(\mathbf {r} )\approx \lambda _{1}f(\mathbf {r} _{1})+\lambda _{2}f(\mathbf {r} _{2})+\lambda _{3}f(\mathbf {r} _{3})}$$

En general, dada cualquier cuadrícula o malla poligonal no estructurada , este tipo de técnica se puede utilizar para aproximar el valor de f en todos los puntos, siempre que se conozca el valor de la función en todos los vértices de la malla. En este caso, tenemos muchos triángulos, cada uno correspondiente a una parte diferente del espacio. Para interpolar una función f en un punto , primero se debe encontrar un triángulo que contenga . Para ello, se transforma a las coordenadas baricéntricas de cada triángulo. Si se encuentra algún triángulo cuyas coordenadas satisfacen , entonces el punto se encuentra en ese triángulo o en su arista (explicado en la sección anterior). Entonces el valor de se puede interpolar como se describe anteriormente. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

Estos métodos tienen muchas aplicaciones, como el método de elementos finitos (FEM).

Integración sobre un triángulo o tetraedro

La integral de una función sobre el dominio del triángulo puede resultar complicada de calcular en un sistema de coordenadas cartesianas. Generalmente hay que dividir el triángulo en dos mitades, lo que produce un gran desorden. En cambio, a menudo es más fácil realizar un cambio de variables a dos coordenadas baricéntricas cualesquiera, por ejemplo . Bajo este cambio de variables, ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$

$${\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})\mathbf {r} _{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}}$$

donde A es el área del triángulo. Este resultado se deriva del hecho de que un rectángulo en coordenadas baricéntricas corresponde a un cuadrilátero en coordenadas cartesianas, y la relación de las áreas de las formas correspondientes en los sistemas de coordenadas correspondientes está dada por . De manera similar, para la integración sobre un tetraedro, en lugar de dividir la integral en dos o tres partes separadas, se podría cambiar a coordenadas tetraédricas 3D bajo el cambio de variables. ${\displaystyle 2A}$

$${\displaystyle \int \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})\mathbf {r} _{4})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\ d\lambda _{3}}$$

V

Ejemplos de puntos especiales

En el sistema de coordenadas baricéntrico homogéneo definido con respecto a un triángulo , se mantienen las siguientes afirmaciones sobre puntos especiales . ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABC}$

Los tres vértices A , B y C tienen coordenadas ^[10]

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}A=&1&:&0&:&0\\B=&0&:&1&:&0\\C=&0&:&0&:&1\end{array}}}$$

El centroide tiene coordenadas ^[10] ${\displaystyle 1:1:1.}$

Si a , b , c son las longitudes de los bordes , , respectivamente, , , son las medidas de los ángulos , , y respectivamente, y s es el semiperímetro de , entonces se mantienen además las siguientes afirmaciones sobre puntos especiales de sujeción. ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \angle CAB}$ ${\displaystyle \angle ABC}$ ${\displaystyle \angle BCA}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABC}$

El circuncentro tiene coordenadas ^{[10] [11] [12] [13]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\sin 2\alpha &:&\sin 2\beta &:&\sin 2\gamma \\[2pt]=&1-\cot \beta \cot \gamma &:&1-\cot \gamma \cot \alpha &:&1-\cot \alpha \cot \beta \\[2pt]=&a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2})&:&b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\end{array}}}$$

El ortocentro tiene coordenadas ^{[10] [11]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\tan \alpha &:&\tan \beta &:&\tan \gamma \\[2pt]=&a\cos \beta \cos \gamma &:&b\cos \gamma \cos \alpha &:&c\cos \alpha \cos \beta \\[2pt]=&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})&:&(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\end{array}}}$$

El incentro tiene coordenadas ^{[11] [14]} ${\displaystyle a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .}$

Los excentros tienen coordenadas ^[14]

$${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-a&:&b&:&c\\J_{B}=&a&:&-b&:&c\\J_{C}=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$

El centro de nueve puntos tiene coordenadas ^{[10] [14]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&a\cos(\beta -\gamma )&:&b\cos(\gamma -\alpha )&:&c\cos(\alpha -\beta )\\[4pt]=&1+\cot \beta \cot \gamma &:&1+\cot \gamma \cot \alpha &:&1+\cot \alpha \cot \beta \\[4pt]=&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}&:&b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}&:&c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\end{array}}}$$

El punto Gergonne tiene coordenadas . ${\displaystyle (s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)}$

El punto Nagel tiene coordenadas . ${\displaystyle s-a:s-b:s-c}$

El punto simediano tiene coordenadas . ^[13] ${\displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}}$

Coordenadas baricéntricas en tetraedros

Las coordenadas baricéntricas se pueden extender fácilmente a tres dimensiones . El simplex 3D es un tetraedro , un poliedro que tiene cuatro caras triangulares y cuatro vértices. Una vez más, las cuatro coordenadas baricéntricas se definen de modo que el primer vértice se asigne a coordenadas baricéntricas , etc. ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda =(1,0,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)}$

Esta es nuevamente una transformación lineal, y podemos extender el procedimiento anterior para triángulos para encontrar las coordenadas baricéntricas de un punto con respecto a un tetraedro: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})}$$

donde ahora hay una matriz de 3×3: ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right)}$$

y con las correspondientes coordenadas cartesianas: ${\displaystyle \lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})x_{4}\\y&=\lambda _{1}y_{1}+\,\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})y_{4}\\z&=\lambda _{1}z_{1}+\,\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})z_{4}\end{aligned}}}$$

invertir una matriz de 3×3

Se pueden utilizar coordenadas baricéntricas 3D para decidir si un punto se encuentra dentro de un volumen tetraédrico y para interpolar una función dentro de una malla tetraédrica, de manera análoga al procedimiento 2D. Las mallas tetraédricas se utilizan a menudo en el análisis de elementos finitos porque el uso de coordenadas baricéntricas puede simplificar enormemente la interpolación 3D.

Coordenadas baricéntricas generalizadas

Las coordenadas baricéntricas de un punto que se definen respecto de un conjunto finito de k puntos en lugar de un símplex se denominan coordenadas baricéntricas generalizadas . Para estos, la ecuación ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})p=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{k}x_{k}}$$

todavía es necesario mantener. ^[15] Normalmente se utilizan coordenadas normalizadas, . En cuanto al caso de un simplex, los puntos con coordenadas generalizadas normalizadas no negativas ( ) forman el casco convexo de x ₁ , ..., x _n . Si hay más puntos que en un simplex completo ( ), las coordenadas baricéntricas generalizadas de un punto no son únicas, como el sistema lineal definitorio (aquí para n=2) ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1}$ ${\displaystyle k>n+1}$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&...\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&...\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&...\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\\vdots \end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}$$

subdeterminadocuadrilátero^[dieciséis]

Abstracción

De manera más abstracta, las coordenadas baricéntricas generalizadas expresan un politopo convexo con n vértices, independientemente de la dimensión, como la imagen del estándar -simplex, que tiene n vértices- en la que el mapa es: El mapa es uno a uno si y sólo si el politopo es un simplex, en cuyo caso el mapa es un isomorfismo; esto corresponde a un punto que no tiene coordenadas baricéntricas generalizadas únicas, excepto cuando P es un simplex. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.}$

Las coordenadas duales a baricéntricas generalizadas son variables flojas , que miden en qué medida un punto satisface las restricciones lineales y dan una incrustación en el f - orthant , donde f es el número de caras (duales a los vértices). Este mapa es uno a uno (las variables de holgura se determinan de forma única) pero no (no se pueden realizar todas las combinaciones). ${\displaystyle P\hookrightarrow (\mathbf {R} _{\geq 0})^{f}}$

Este uso del estándar -simplex y f -orthant como objetos estándar que se asignan a un politopo o al que un politopo se asigna debe contrastarse con el uso del espacio vectorial estándar como objeto estándar para espacios vectoriales, y el hiperplano afín estándar como el objeto estándar para espacios afines, donde en cada caso elegir una base lineal o una base afín proporciona un isomorfismo, lo que permite pensar en todos los espacios vectoriales y espacios afines en términos de estos espacios estándar, en lugar de uno a uno o uno a uno. mapa (no todos los politopos son simples). Además, el n -orthant es el objeto estándar que se asigna a los conos. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle \{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}}$

Aplicaciones

Las coordenadas baricéntricas se utilizan para combinar tres colores en una región triangular de manera uniforme en gráficos por computadora.

Las coordenadas baricéntricas generalizadas tienen aplicaciones en gráficos por computadora y más específicamente en modelado geométrico . ^[17] A menudo, un modelo tridimensional puede aproximarse mediante un poliedro de modo que las coordenadas baricéntricas generalizadas con respecto a ese poliedro tengan un significado geométrico. De esta manera, el procesamiento del modelo se puede simplificar utilizando estas coordenadas significativas. Las coordenadas baricéntricas también se utilizan en geofísica . ^[18]

Ver también

• trama ternaria
• combinación convexa
• Rompecabezas de verter agua
• Coordenadas homogéneas

Referencias

1. Möbius, Agosto Fernando (1827). El cálculo baricéntrico . Leipzig: JA Barth.
   Reimpreso en Baltzer, Richard, ed. (1885). "Der barycentrische Calcul". August Ferdinand Möbius Gesammelte Werke . vol. 1. Leipzig: S. Hirzel. págs. 1–388.
2. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, Berlín 2007, ISBN 978-3-540-49328-0 , pág.76. 
3. Hille, Einar. "Teoría de funciones analíticas, volumen I", segunda edición, quinta impresión. Chelsea Publishing Company, Nueva York, 1982, ISBN 0-8284-0269-8 , página 33, nota al pie 1 
4. Josef Hoschek, Dieter Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Teubner-Verlag, 1989, ISBN 3-519-02962-6 , pág.243. 
5. Gerald Farin: Curvas y superficies para diseño geométrico asistido por computadora. Prensa académica, 1990, ISBN 9780122490514 , pág.20. 
6. Reventós Tarrida, Agustí. "Mapas afines, movimientos euclidianos y cuádricas". Springer, 2011, ISBN 978-0-85729-709-9 , página 11 
7. Deaux, Roland. "Introducción a la geometría de los números complejos". Dover Publications, Inc., Mineola, 2008, ISBN 978-0-486-46629-3 , página 61 
8. Berger, Marcel (1987), Geometría I , Berlín: Springer, ISBN 3-540-11658-3
9. Danby, JMA "Fundamentos de la mecánica celeste", segunda edición, revisada y ampliada, quinta impresión. Willmann-Bell, Inc., Richmond, 2003, ISBN 0-943396-20-4 , página 26, problema 11 
10. Scott, JA "Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría de triángulos", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472–477.
11. Schindler, Max; Chen, Evan (13 de julio de 2012). "Coordenadas baricéntricas en geometría olímpica" (PDF) . Consultado el 14 de enero de 2016 .
12. Enciclopedia de triángulos de Clark Kimberling "Enciclopedia de centros de triángulos". Archivado desde el original el 19 de abril de 2012 . Consultado el 2 de junio de 2012 .
13. Página de Wolfram sobre coordenadas baricéntricas
14. Dasari Naga, Vijay Krishna, "Sobre el triángulo de Feuerbach", Forum Geométricorum 17 (2017), 289–300: p. 289. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201731.pdf
15. Meyer, marca; Barr, Alan; Lee, Haeyoung; Desbrun, Mathieu (6 de abril de 2012). "Coordenadas baricéntricas generalizadas en polígonos irregulares" (PDF) . Revista de herramientas gráficas . 7 : 13–22. doi :10.1080/10867651.2002.10487551. S2CID  13370238.
16. Flotador, Michael S. (2015). «Coordenadas baricéntricas generalizadas y aplicaciones*» (PDF) . Acta Numérica . 24 : 161–214. doi :10.1017/S0962492914000129. ISSN  0962-4929. S2CID  62811364.
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• Scott, JA Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría de triángulos , Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472–477.
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• Bradley, Christopher J. (2007). El álgebra de la geometría: coordenadas cartesianas, regionales y proyectivas . Baño: Alta percepción. ISBN 978-1-906338-00-8.
• Coxeter, HSM (1969). Introducción a la geometría (2ª ed.). John Wiley e hijos. págs. 216-221. ISBN 978-0-471-50458-0. Zbl  0181.48101.
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• Coordenadas baricéntricas hiperbólicas, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Artículo 18, págs. 1–35, 2009
• Weisstein, Eric W. "Coordenadas de área". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Coordenadas baricéntricas". MundoMatemático .
• Cálculo de coordenadas baricéntricas en coordenadas homogéneas, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, págs. 120-127, 2008

enlaces externos

• ley de la palanca
• Los usos de coordenadas baricéntricas homogéneas en geometría euclidiana plana.
• Coordenadas baricéntricas: una colección de artículos científicos sobre coordenadas baricéntricas (generalizadas)
• Coordenadas baricéntricas: una aplicación curiosa (resolviendo el problema de los "tres vasos") al cortar el nudo
• Prueba de punto exacto en triángulo
• Coordenadas baricéntricas en geometría olímpica por Evan Chen y Max Schindler
• Comando Baricentro y comando CurvaTriángulo en Geogebra .