Equipolencia (geometría)

Propiedad de los segmentos que tienen la misma longitud y la misma dirección

En geometría euclidiana , la equipolencia es una relación binaria entre segmentos de línea dirigidos . Se dice que dos segmentos son equipolentes cuando tienen la misma longitud y dirección. Dos segmentos equipolentes son paralelos pero no necesariamente colineales ni superpuestos , y viceversa. Por ejemplo, un segmento AB , del punto A al punto B , tiene la dirección opuesta al segmento BA ; por lo tanto, AB y BA no son equipolentes.

Propiedad del paralelogramo

Si los segmentos AB y CD son equipolentes, entonces AC y BD también son equipolentes

Una propiedad de los espacios euclidianos es la propiedad del paralelogramo de los vectores: si dos segmentos son equipolentes, entonces forman dos lados de un paralelogramo :

Si un vector dado se cumple entre a y b , c y d , entonces el vector que se cumple entre a y c es el mismo que el que se cumple entre b y d .

—  Bertrand Russell , Los principios de las matemáticas , página 432

Historia

Símbolo de equipolencia

El concepto de segmentos de línea equipolentes fue propuesto por Giusto Bellavitis en 1835. Posteriormente, se adoptó el término vector para una clase de segmentos de línea equipolentes. El uso que Bellavitis hizo de la idea de una relación para comparar objetos diferentes pero similares se ha convertido en una técnica matemática común, particularmente en el uso de relaciones de equivalencia . Bellavitis utilizó una notación especial para la equipolencia de los segmentos AB y CD :

${\displaystyle AB\bumpeq CD.}$

Los siguientes pasajes, traducidos por Michael J. Crowe , muestran la anticipación que tenía Bellavitis de los conceptos vectoriales :

Las equipolencias se mantienen cuando se sustituyen las líneas que forman parte de ellas por otras líneas que son respectivamente equipolentes a ellas, cualquiera que sea su posición en el espacio. De esto se puede entender que cualquier número y cualquier tipo de líneas pueden ser sumadas , y que en cualquier orden que se tomen estas líneas, se obtendrá la misma suma equipolenta...

En las equipolencias, al igual que en las ecuaciones, una línea puede trasladarse de un lado al otro, siempre que se cambie el signo...

Por lo tanto, los segmentos con direcciones opuestas son negativos entre sí: ${\displaystyle AB+BA\bumpeq 0.}$

La equipolencia donde n representa un número positivo, indica que AB es paralelo y tiene la misma dirección que CD , y que sus longitudes tienen la relación expresada por AB = n.CD . ^[1] ${\displaystyle AB\bumpeq n.CD,}$

El segmento de A a B es un vector ligado , mientras que la clase de segmentos equipolentes a él es un vector libre , en el lenguaje de los vectores euclidianos .

Geometría esférica

La equipolencia geométrica también se utiliza en la esfera:

Para apreciar el método de Hamilton , recordemos primero el caso mucho más simple del grupo abeliano de traslaciones en el espacio tridimensional euclidiano. Cada traslación es representable como un vector en el espacio, siendo sólo significativas la dirección y la magnitud, y la ubicación irrelevante. La composición de dos traslaciones está dada por la regla de la suma de vectores del paralelogramo de cabeza a cola; y tomar la inversa equivale a invertir la dirección. En la teoría de los giros de Hamilton, tenemos una generalización de tal imagen del grupo de traslaciones abeliano al SU(2) no abeliano . En lugar de vectores en el espacio, tratamos con arcos de círculo máximo dirigidos, de longitud < π en una esfera unitaria S ² en un espacio tridimensional euclidiano. Dos de estos arcos se consideran equivalentes si al deslizar uno a lo largo de su círculo máximo se puede hacer que coincida con el otro. ^[2]

En un círculo máximo de una esfera, dos arcos circulares dirigidos son equipolentes cuando coinciden en dirección y longitud de arco. Una clase de equivalencia de tales arcos está asociada con un versor de cuaternión .

${\displaystyle \exp(ar)=\cos a+r\sin a,}$donde a es la longitud del arco y r determina el plano del círculo máximo por perpendicularidad.

Abstracción

Las propiedades de las clases de equivalencia de segmentos equipolentes se pueden abstraer para definir el espacio afín :

Si A es un conjunto de puntos y V es un espacio vectorial , entonces ( A, V ) es un espacio afín siempre que para cualesquiera dos puntos a,b en A exista un vector en V , y para cualquier a en A y v en V exista b en A tal que y para cualesquiera tres puntos en A exista la ecuación vectorial ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}=v,}$

${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}+{\overrightarrow {bc}}={\overrightarrow {ac}}.}$

Evidentemente, este desarrollo depende de la introducción previa de espacios vectoriales abstractos, en contraste con la introducción de vectores a través de clases de equivalencia de segmentos dirigidos. ^[3]

Referencias

1. Michael J. Crowe (1967) Una historia del análisis vectorial , "Giusto Bellavitis y su cálculo de equipolencias", págs. 52-4, University of Notre Dame Press
2. N. Mukunda , Rajiah Simon y George Sudarshan (1989) "La teoría de los tornillos: una nueva representación geométrica para el grupo SU(1,1), Journal of Mathematical Physics 30(5): 1000–1006 MR 0992568
3. Mikhail Postnikov (1982) Lecciones de geometría Semestre I Geometría analítica páginas 45 y 46, vía Internet Archive

• Giusto Bellavitis (1835) "Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Padova 5: 244–59.
• Giusto Bellavitis (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze, enlace desde Google Books .

• Charles-Ange Laisant (1874): traducción francesa con adiciones de Bellavitis (1854) Exposition de la méthode des equipollences, enlace desde Google Books .

• Giusto Bellavitis (1858) Calcolo dei Quaternioni di WR Hamilton e sua Relazione col Metodo delle Equipollenze, enlace de HathiTrust.
• Charles-Ange Laisant (1887) Teoría y aplicaciones de la equipolencia, Gauthier-Villars, enlace de la Colección histórica de matemáticas de la Universidad de Michigan .
• Lena L. Severance (1930) La teoría de las equipolencias; método de geometría analítica de Sig. Bellavitis, enlace desde HathiTrust.