Orthant

En dos dimensiones, hay cuatro orantes (llamados cuadrantes)

En geometría , un ortante ^[1] o hiperoctante ^[2] es el análogo en el espacio euclidiano n -dimensional de un cuadrante en el plano o un octante en tres dimensiones.

En general, un orante en n dimensiones puede considerarse la intersección de n semiespacios mutuamente ortogonales . Mediante selecciones independientes de signos de medio espacio, hay 2 ⁿ orantes en un espacio n -dimensional.

Más específicamente, una ortante cerrada en R ⁿ es un subconjunto definido restringiendo que cada coordenada cartesiana sea no negativa o no positiva. Tal subconjunto está definido por un sistema de desigualdades:

ε ₁ x ₁  ≥ 0 ε ₂ x ₂  ≥ 0 · · · ε _n x _n  ≥ 0,

donde cada ε _i es +1 o −1.

De manera similar, un orante abierto en R ⁿ es un subconjunto definido por un sistema de desigualdades estrictas

ε ₁ x ₁  > 0 ε ₂ x ₂  > 0 · · · ε _n x _n  > 0,

donde cada ε _i es +1 o −1.

Por dimensión:

• En una dimensión, un ortánte es un rayo .
• En dos dimensiones, un ortante es un cuadrante .
• En tres dimensiones, un ortante es un octante .

John Conway y Neil Sloane definieron el término n - orthoplex del complejo orthant como un politopo regular en n -dimensiones con 2 ⁿ facetas simplex , una por orthant. ^[3]

El ortante no negativo es la generalización del primer cuadrante a n dimensiones y es importante en muchos problemas de optimización restringida .

Ver también

• Politopo cruzado (u ortoplex): una familia de politopos regulares en n dimensiones que se pueden construir con una faceta simplex en cada espacio ortante.
• Politopo medido (o hipercubo): una familia de politopos regulares en n dimensiones que se pueden construir con un vértice en cada espacio ortante.
• Ortotopo : generalización de un rectángulo en n dimensiones, con un vértice en cada ortante.

Referencias

1. Romano, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.
2. Weisstein, Eric W. "Hiperoctante". MundoMatemático .
3. Conway, JH; Sloane, Nueva Jersey (1991). "Las estructuras celulares de ciertas redes". En Hilton, P.; Hirzebruch, F.; Remmert, R. (eds.). Miscelánea Matemática . Berlín: Springer. págs. 89–90. doi :10.1007/978-3-642-76709-8_5. ISBN 978-3-642-76711-1.

Otras lecturas

• Los hechos archivados: Manual de geometría , Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4 , p.113