En matemáticas , un objeto autosimilar es exactamente o aproximadamente similar a una parte de sí mismo (es decir, el todo tiene la misma forma que una o más de las partes). Muchos objetos en el mundo real, como las costas , son estadísticamente autosimilares: partes de ellos muestran las mismas propiedades estadísticas en muchas escalas. [2] La autosimilitud es una propiedad típica de los fractales . La invariancia de escala es una forma exacta de autosimilitud donde en cualquier aumento hay una parte más pequeña del objeto que es similar al todo. Por ejemplo, un lado del copo de nieve de Koch es simétrico e invariante de escala; puede ampliarse continuamente 3x sin cambiar de forma. La similitud no trivial evidente en los fractales se distingue por su estructura fina o detalle en escalas arbitrariamente pequeñas. Como contraejemplo , mientras que cualquier porción de una línea recta puede parecerse al todo, no se revelan más detalles.
Se dice que un fenómeno que se desarrolla en el tiempo exhibe autosimilitud si el valor numérico de cierta cantidad observable medida en diferentes momentos es diferente pero la cantidad adimensional correspondiente en un valor dado de permanece invariable. Ocurre si la cantidad exhibe escalamiento dinámico . La idea es solo una extensión de la idea de similitud de dos triángulos. [3] [4] [5] Nótese que dos triángulos son similares si los valores numéricos de sus lados son diferentes pero las cantidades adimensionales correspondientes, como sus ángulos, coinciden.
Peitgen et al. explican el concepto de la siguiente manera:
Si las partes de una figura son pequeñas réplicas del todo, entonces la figura se llama autosimilar ... Una figura es estrictamente autosimilar si la figura puede descomponerse en partes que son réplicas exactas del todo. Cualquier parte arbitraria contiene una réplica exacta de la figura completa. [6]
Dado que, matemáticamente, un fractal puede mostrar autosimilitud bajo un aumento indefinido, es imposible recrearlo físicamente. Peitgen et al. sugieren estudiar la autosimilitud mediante aproximaciones:
Para dar un significado operacional a la propiedad de autosimilitud, necesariamente nos vemos obligados a tratar con aproximaciones finitas de la figura límite. Esto se hace utilizando el método que llamaremos autosimilitud de caja, en el que las mediciones se realizan en etapas finitas de la figura utilizando cuadrículas de diversos tamaños. [7]
Este vocabulario fue introducido por Benoit Mandelbrot en 1964. [8]
En matemáticas , la autoafinidad es una característica de un fractal cuyas partes tienen diferentes escalas en las direcciones x e y. Esto significa que para apreciar la autosimilitud de estos objetos fractales, deben reescalarse utilizando una transformación afín anisotrópica .
Un espacio topológico compacto X es autosimilar si existe un conjunto finito S que indexa un conjunto de homeomorfismos no sobreyectivos para los cuales
Si , llamamos a X autosimilar si es el único subconjunto no vacío de Y tal que la ecuación anterior se cumple para . Llamamos
una estructura autosimilar . Los homeomorfismos pueden iterarse , lo que da como resultado un sistema de funciones iteradas . La composición de funciones crea la estructura algebraica de un monoide . Cuando el conjunto S tiene solo dos elementos, el monoide se conoce como monoide diádico . El monoide diádico puede visualizarse como un árbol binario infinito ; de manera más general, si el conjunto S tiene p elementos, entonces el monoide puede representarse como un árbol p-ádico .
Los automorfismos del monoide diádico son el grupo modular ; los automorfismos pueden representarse como rotaciones hiperbólicas del árbol binario.
Una noción más general que la autosimilitud es la autoafinidad .
El conjunto de Mandelbrot también es autosimilar alrededor de los puntos de Misiurewicz .
La autosimilitud tiene consecuencias importantes para el diseño de redes informáticas, ya que el tráfico de red típico tiene propiedades autosimilares. Por ejemplo, en ingeniería de teletráfico , los patrones de tráfico de datos conmutados por paquetes parecen ser estadísticamente autosimilares. [9] Esta propiedad significa que los modelos simples que utilizan una distribución de Poisson son inexactos y las redes diseñadas sin tener en cuenta la autosimilitud probablemente funcionen de maneras inesperadas.
De manera similar, los movimientos del mercado de valores se describen como si exhibieran autoafinidad , es decir, parecen autosimilares cuando se transforman a través de una transformación afín apropiada para el nivel de detalle que se muestra. [10] Andrew Lo describe la autosimilitud del retorno logarítmico del mercado de valores en econometría . [11]
Las reglas de subdivisión finita son una técnica poderosa para construir conjuntos autosimilares, incluido el conjunto de Cantor y el triángulo de Sierpinski .
El modelo de sistema viable de Stafford Beer es un modelo organizacional con una jerarquía autosimilar afín, donde un sistema viable dado es un elemento del Sistema Uno de un sistema viable un nivel recursivo más arriba, y para quien los elementos de su Sistema Uno son sistemas viables un nivel recursivo más abajo.
La autosimilitud también se puede encontrar en la naturaleza. A la derecha se muestra una imagen perfectamente autosimilar generada matemáticamente de un helecho , que tiene un marcado parecido con los helechos naturales. Otras plantas, como el brócoli romanesco , presentan una fuerte autosimilitud.
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