Las analogías mecánico-eléctricas son la representación de sistemas mecánicos como redes eléctricas . Al principio, estas analogías se utilizaban a la inversa para ayudar a explicar los fenómenos eléctricos en términos mecánicos familiares. James Clerk Maxwell introdujo analogías de este tipo en el siglo XIX. Sin embargo, a medida que el análisis de redes eléctricas maduró, se descubrió que ciertos problemas mecánicos podían resolverse más fácilmente mediante una analogía eléctrica . Los desarrollos teóricos en el dominio eléctrico [nota 1] que fueron particularmente útiles fueron la representación de una red eléctrica como un diagrama topológico abstracto (el diagrama de circuito ) utilizando el modelo de elementos concentrados y la capacidad del análisis de redes para sintetizar una red para cumplir con una función de frecuencia prescrita .
Este enfoque es especialmente útil en el diseño de filtros mecánicos (que utilizan dispositivos mecánicos para implementar una función eléctrica). Sin embargo, la técnica se puede utilizar para resolver problemas puramente mecánicos y también se puede extender a otros dominios de energía no relacionados. Hoy en día, el análisis por analogía es una herramienta de diseño estándar dondequiera que esté involucrado más de un dominio de energía. Tiene la gran ventaja de que todo el sistema se puede representar de una manera unificada y coherente. Las analogías eléctricas son particularmente utilizadas por los diseñadores de transductores , por su naturaleza cruzan dominios de energía, y en sistemas de control , cuyos sensores y actuadores normalmente serán transductores que cruzan dominios. Un sistema dado que se representa por una analogía eléctrica puede posiblemente no tener partes eléctricas en absoluto. Por esta razón, se prefiere la terminología neutral en cuanto al dominio cuando se desarrollan diagramas de red para sistemas de control.
Las analogías mecánico-eléctricas se desarrollan encontrando relaciones entre variables en un dominio que tienen una forma matemática idéntica a las variables en el otro dominio. No hay una única forma de hacer esto; son posibles numerosas analogías teóricamente, pero hay dos analogías que se usan ampliamente: la analogía de impedancia y la analogía de movilidad . La analogía de impedancia hace que la fuerza y el voltaje sean análogos, mientras que la analogía de movilidad hace que la fuerza y la corriente sean análogas. Por sí sola, esto no es suficiente para definir completamente la analogía, se debe elegir una segunda variable. Una opción común es hacer que los pares de variables conjugadas de potencia sean análogos. Estas son variables que cuando se multiplican juntas tienen unidades de potencia. En la analogía de impedancia, por ejemplo, esto da como resultado que la fuerza y la velocidad sean análogas al voltaje y la corriente respectivamente.
Se utilizan variaciones de estas analogías para sistemas mecánicos rotatorios, como en los motores eléctricos . En la analogía de impedancia, en lugar de fuerza, se hace que el par sea análogo al voltaje. Es perfectamente posible que se necesiten ambas versiones de la analogía en, por ejemplo, un sistema que incluye partes rotatorias y reciprocantes , en cuyo caso se requiere una analogía de fuerza-par dentro del dominio mecánico y una analogía de fuerza-par-voltaje para el dominio eléctrico. Se requiere otra variación para sistemas acústicos; aquí la presión y el voltaje se hacen análogos (analogía de impedancia). En la analogía de impedancia, la relación de las variables conjugadas de potencia es siempre una cantidad análoga a la impedancia eléctrica . Por ejemplo, fuerza/velocidad es impedancia mecánica . La analogía de movilidad no conserva esta analogía entre impedancias a través de dominios, pero tiene otra ventaja sobre la analogía de impedancia. En la analogía de movilidad se conserva la topología de las redes, un diagrama de red mecánica tiene la misma topología que su diagrama de red eléctrica análogo.
Las analogías mecánico-eléctricas se utilizan para representar la función de un sistema mecánico como un sistema eléctrico equivalente trazando analogías entre parámetros mecánicos y eléctricos. Un sistema mecánico por sí solo puede representarse de esta manera, pero las analogías son de mayor utilidad en sistemas electromecánicos donde hay una conexión entre partes mecánicas y eléctricas. Las analogías son especialmente útiles en el análisis de filtros mecánicos . Estos son filtros construidos con partes mecánicas pero diseñados para funcionar en un circuito eléctrico a través de transductores . La teoría de circuitos está bien desarrollada en el dominio eléctrico en general y, en particular, hay una gran cantidad de teoría de filtros disponible. Los sistemas mecánicos pueden hacer uso de esta teoría eléctrica en diseños mecánicos a través de una analogía mecánico-eléctrica. [1]
Las analogías mecánico-eléctricas son útiles en general cuando el sistema incluye transductores entre diferentes dominios de energía. [nota 1] Otra área de aplicación son las partes mecánicas de los sistemas acústicos , como la pastilla y el brazo de los tocadiscos . Esto fue de cierta importancia en los primeros fonógrafos, donde el audio se transmite desde la aguja de la pastilla hasta la bocina a través de varios componentes mecánicos completamente sin amplificación eléctrica. Los primeros fonógrafos sufrían mucho de resonancias no deseadas en las partes mecánicas. Se descubrió que estas podían eliminarse tratando las partes mecánicas como componentes de un filtro de paso bajo que tiene el efecto de aplanar la banda de paso . [2]
Las analogías eléctricas de los sistemas mecánicos pueden utilizarse simplemente como material didáctico para ayudar a comprender el comportamiento del sistema mecánico. En épocas anteriores, hasta principios del siglo XX, era más probable que se utilizara la analogía inversa; las analogías mecánicas se formaban a partir de los fenómenos eléctricos, que entonces eran poco comprendidos. [3]
Los sistemas eléctricos se describen comúnmente por medio de un diagrama de circuito . Estos son diagramas de red que describen la topología del sistema eléctrico utilizando una notación gráfica especializada . El diagrama de circuito no intenta representar las dimensiones físicas reales de los componentes eléctricos o su relación espacial real entre sí. Esto es posible porque los componentes eléctricos se representan como elementos agrupados ideales, es decir, el elemento se trata como si estuviera ocupando un solo punto (agrupado en ese punto). Los componentes no ideales se pueden acomodar en este modelo utilizando más de un elemento para representar el componente. Por ejemplo, una bobina destinada a usarse como inductor tiene resistencia además de inductancia . Esto se puede representar en el diagrama de circuito como una resistencia en serie con un inductor. [4] Por lo tanto, el primer paso para formar una analogía de un sistema mecánico es describirlo como una red mecánica de manera similar, es decir, como un gráfico topológico de elementos ideales. [5] Alternativamente, son posibles representaciones más abstractas del diagrama de circuito, por ejemplo, el gráfico de enlace . [6]
En un diagrama de red eléctrica, limitado a sistemas lineales , hay tres elementos pasivos : resistencia, inductancia y capacitancia ; y dos elementos activos: el generador de voltaje y el generador de corriente . [nota 2] Los análogos mecánicos de estos elementos se pueden utilizar para construir un diagrama de red mecánica . Los análogos mecánicos de estos elementos dependen de las variables que se elijan como variables fundamentales. Existe una amplia variedad de variables que se pueden utilizar, pero las más utilizadas son un par de variables conjugadas de potencia (descritas a continuación) y el par de variables hamiltonianas derivadas de estas. [7]
Hay un límite a la aplicabilidad de este modelo de elementos concentrados . El modelo funciona bien si los componentes son lo suficientemente pequeños como para que el tiempo que tarda una onda en cruzarlos sea insignificante o, equivalentemente, si no hay una diferencia de fase significativa en la onda a ambos lados del componente. Lo que se considera significativo depende de la precisión que se requiere que tenga el modelo, pero una regla general común es exigir que los componentes sean más pequeños que un dieciseisavo de una longitud de onda . [8] Dado que la longitud de onda disminuye con la frecuencia, esto pone un límite superior a la frecuencia que se puede cubrir en este tipo de diseño. Este límite es mucho menor en el dominio mecánico que el límite equivalente en el dominio eléctrico. Esto se debe a que las velocidades de propagación mucho más altas en el dominio eléctrico conducen a longitudes de onda más largas (las vibraciones mecánicas en el acero se propagan a unos 6.000 m/s, [9] las ondas electromagnéticas en los tipos de cables comunes se propagan a unos 2 x 10 8 m/s [10] ). Por ejemplo, los filtros mecánicos tradicionales solo se fabrican hasta aproximadamente 600 kHz [11] (aunque los dispositivos MEMS pueden operar a frecuencias mucho más altas debido a su tamaño muy pequeño). En el dominio eléctrico, por otro lado, la transición del modelo de elementos concentrados al modelo de elementos distribuidos ocurre en la región de cientos de megahercios. [12]
En algunos casos es posible continuar usando un diagrama de red topológica incluso cuando están presentes componentes que necesitan un análisis de elementos distribuidos. En el dominio eléctrico, una línea de transmisión , un componente básico de elementos distribuidos, se puede incluir en el modelo con la introducción del elemento adicional de longitud eléctrica . [13] La línea de transmisión es un caso especial porque es invariante a lo largo de su longitud y, por lo tanto, no es necesario modelar la geometría completa. [14] Otra forma de tratar con elementos distribuidos es utilizar un análisis de elementos finitos mediante el cual el elemento distribuido se aproxima mediante una gran cantidad de pequeños elementos agrupados. Un enfoque de este tipo se utilizó en un artículo para modelar la cóclea del oído humano. [15] Otra condición requerida de los sistemas eléctricos para la aplicación del modelo de elementos agrupados es que no existan campos significativos fuera del componente, ya que estos pueden acoplarse a otros componentes no relacionados. [16] Sin embargo, estos efectos a menudo se pueden modelar introduciendo algunos elementos agrupados virtuales llamados extraviados o parásitos . [17] Un análogo de esto en los sistemas mecánicos es la vibración en un componente acoplado a un componente no relacionado. [18]
Las variables conjugadas de potencia son un par de variables cuyo producto es la potencia. En el dominio eléctrico, las variables conjugadas de potencia elegidas son invariablemente voltaje ( v ) y corriente ( i ). Por lo tanto, las variables conjugadas de potencia en el dominio mecánico son análogas. Sin embargo, esto no es suficiente para que la elección de las variables fundamentales mecánicas sea única. La elección habitual para un sistema mecánico traslacional es fuerza ( F ) y velocidad ( u ), pero no es la única opción. Un par diferente puede ser más apropiado para un sistema con una geometría diferente, como un sistema rotacional. [19]
Incluso después de haber elegido las variables mecánicas fundamentales, todavía no hay un conjunto único de analogías. Hay dos formas de asociar entre sí los dos pares de variables conjugadas de potencia en la analogía. Por ejemplo, se pueden hacer las asociaciones F con v y u con i . Sin embargo, también son posibles las asociaciones alternativas u con v y F con i . Esto conduce a dos clases de analogías, las analogías de impedancia y las analogías de movilidad. [20] Estas analogías son duales entre sí. La misma red mecánica tiene análogos en dos redes eléctricas diferentes. Estas dos redes eléctricas son los circuitos duales entre sí. [21]
Las variables hamiltonianas, también llamadas variables energéticas, son aquellas variables r = ( q , p ) , que son conjugadas según las ecuaciones de Hamilton : [22]
Además, las derivadas temporales de las variables hamiltonianas son las variables conjugadas de potencia.
Las variables hamiltonianas en el dominio eléctrico son la carga ( q ) y el enlace de flujo ( λ ) porque,
En el dominio mecánico traslacional las variables hamiltonianas son el desplazamiento de distancia ( x ) y el momento ( p ) porque,
Existe una relación correspondiente para otras analogías y conjuntos de variables. [23] Las variables hamiltonianas también se denominan variables de energía. El integrando de una variable conjugada de potencia con respecto a una variable hamiltoniana es una medida de energía. Por ejemplo,
son ambas expresiones de energía. También se las puede llamar momento generalizado y desplazamiento generalizado , como sus análogos en el dominio mecánico. Algunos autores desaconsejan esta terminología porque no es neutral en el dominio. Asimismo, también se desaconseja el uso de los términos tipo I y tipo V (después de corriente y voltaje). [24]
Existen dos clases principales de analogía en uso. La analogía de impedancia (también llamada analogía de Maxwell) preserva la analogía entre impedancia mecánica, acústica y eléctrica, pero no preserva la topología de las redes. La red mecánica está organizada de manera diferente a su red eléctrica análoga. La analogía de movilidad (también llamada analogía de Firestone) preserva las topologías de red a costa de perder la analogía entre impedancias a través de dominios de energía. También existe la analogía de paso y de lado a lado , también llamada analogía de Trent. La analogía de paso y de lado a lado entre el dominio eléctrico y mecánico es la misma que en la analogía de movilidad. Sin embargo, la analogía entre los dominios eléctrico y acústico es como la analogía de impedancia. Las analogías entre el dominio mecánico y acústico en la analogía de paso y de lado a lado tienen una relación dual tanto con la analogía de impedancia como con la analogía de movilidad. [25]
Se han elegido distintas variables fundamentales para los sistemas mecánicos de traslación y rotación, lo que da lugar a dos variantes para cada una de las analogías. Por ejemplo, la distancia lineal es la variable de desplazamiento en un sistema de traslación, pero esto no es tan apropiado para los sistemas rotatorios, en los que se utiliza el ángulo . También se han incluido analogías acústicas en las descripciones como una tercera variante. Si bien la energía acústica es, en última instancia, de naturaleza mecánica, en la literatura se la trata como una instancia de un dominio energético diferente, el dominio de los fluidos, y tiene distintas variables fundamentales. Se requieren analogías entre los tres dominios (eléctrico, mecánico y acústico) para representar por completo los sistemas de audio electromecánicos. [26]
Las analogías de impedancia, también llamadas analogías de Maxwell, clasifican las dos variables que forman el par conjugado de potencia como una variable de esfuerzo y una variable de flujo . La variable de esfuerzo en un dominio de energía es la variable análoga a la fuerza en el dominio mecánico. La variable de flujo en un dominio de energía es la variable análoga a la velocidad en el dominio mecánico. Las variables conjugadas de potencia en el dominio analógico se eligen de manera que tengan alguna semejanza con la fuerza y la velocidad. [27]
En el dominio eléctrico, la variable de esfuerzo es el voltaje y la variable de flujo es la corriente eléctrica. La relación entre el voltaje y la corriente es la resistencia eléctrica ( ley de Ohm ). La relación entre la variable de esfuerzo y la variable de flujo en otros dominios también se describe como resistencia. Los voltajes y corrientes oscilantes dan lugar al concepto de impedancia eléctrica cuando existe una diferencia de fase entre ellos. La impedancia puede considerarse una extensión del concepto de resistencia. La resistencia está asociada con la disipación de energía. La impedancia abarca tanto el almacenamiento de energía como la disipación de energía.
La analogía de la impedancia da lugar al concepto de impedancia en otros dominios de energía (pero medidos en unidades diferentes). [28] La analogía de la impedancia traslacional describe sistemas mecánicos que se mueven en una única dimensión lineal y da lugar a la idea de impedancia mecánica . La unidad de impedancia mecánica es el ohmio mecánico; en unidades del SI esto es Ns/m, o Kg/s. [29] La analogía de la impedancia rotacional describe sistemas mecánicos giratorios y da lugar a la idea de impedancia rotacional. La unidad de impedancia rotacional en el sistema SI es Nms/rad. [30] La analogía de la impedancia acústica da lugar a la idea de impedancia acústica . La unidad de impedancia acústica es el ohmio acústico ; en unidades del SI esto es Ns/m 5 . [31]
Las analogías de movilidad, también llamadas analogías de Firestone, son los duales eléctricos de las analogías de impedancia. Es decir, la variable de esfuerzo en el dominio mecánico es análoga a la corriente (la variable de flujo) en el dominio eléctrico, y la variable de flujo en el dominio mecánico es análoga al voltaje (la variable de esfuerzo) en el dominio eléctrico. La red eléctrica que representa el sistema mecánico es la red dual de la de la analogía de impedancia. [33]
La analogía de la movilidad se caracteriza por la admitancia de la misma manera que la analogía de la impedancia se caracteriza por la impedancia. La admitancia es la inversa algebraica de la impedancia. En el dominio mecánico, la admitancia mecánica se denomina más comúnmente movilidad . [34]
Las analogías de paso y de cruz, también llamadas analogía de Trent , clasifican las dos variables que forman el par de potencias conjugadas como una variable de paso y una variable de paso . La variable de paso es una variable que aparece en los dos terminales de un elemento. La variable de paso se mide en relación con los terminales del elemento. La variable de paso es una variable que pasa o actúa a través de un elemento, es decir, tiene el mismo valor en ambos terminales del elemento. El beneficio de la analogía de paso y de cruz es que cuando se elige que la variable hamiltoniana de paso sea una cantidad conservada, se puede utilizar la regla de nodos de Kirchhoff y el modelo tendrá la misma topología que el sistema real.
Por lo tanto, en el dominio eléctrico, la variable transversal es el voltaje y la variable transversal es la corriente. En el dominio mecánico, las variables análogas son la velocidad y la fuerza, como en la analogía de la movilidad. [36] En el sistema acústico, la presión es una variable transversal porque la presión se mide en relación con los dos terminales de un elemento, no como una presión absoluta. Por lo tanto, no es análoga a la fuerza, que es una variable transversal, aunque la presión se expresa en unidades de fuerza por área. Las fuerzas actúan a través de un elemento; una varilla con una fuerza aplicada en la parte superior transmitirá la misma fuerza a un elemento conectado a su parte inferior. Por lo tanto, en la analogía transversal y transversal, el dominio mecánico es análogo al dominio eléctrico como en la analogía de la movilidad, pero el dominio acústico es análogo al dominio eléctrico como en la analogía de la impedancia. [37]
La analogía eléctrica se puede extender a muchos otros dominios de energía. En el campo de los sensores y actuadores , y para los sistemas de control que los utilizan, es un método común de análisis desarrollar una analogía eléctrica de todo el sistema. Dado que los sensores pueden detectar una variable en cualquier dominio de energía, y de la misma manera las salidas del sistema pueden estar en cualquier dominio de energía, se requieren analogías para todos los dominios de energía. La siguiente tabla ofrece un resumen de las variables conjugadas de potencia más comunes que se utilizan para formar analogías. [39]
Tal vez sea más común en el dominio térmico elegir la temperatura y la potencia térmica como variables fundamentales porque, a diferencia de la entropía, se pueden medir directamente. El concepto de resistencia térmica se basa en esta analogía. Sin embargo, no son variables conjugadas de potencia y no son totalmente compatibles con las otras variables de la tabla. Una analogía eléctrica integrada en varios dominios que incluya esta analogía térmica no modelará correctamente los flujos de energía. [41]
De manera similar, la analogía comúnmente vista que utiliza la fmm y el flujo magnético como variables fundamentales, que da lugar al concepto de reluctancia magnética , no modela correctamente el flujo de energía. El par de variables fmm y flujo magnético no es un par conjugado de potencia. Este modelo de reluctancia a veces se denomina modelo de reluctancia-resistencia, ya que hace que estas dos cantidades sean análogas. La analogía que se muestra en la tabla, que sí utiliza un par conjugado de potencia, a veces se denomina modelo de girador-condensador . [42]
Un transductor es un dispositivo que toma energía de un dominio como entrada y la convierte en otro dominio de energía como salida. A menudo son reversibles, pero rara vez se utilizan de esa manera. Los transductores tienen muchos usos y hay muchos tipos; en los sistemas electromecánicos se pueden utilizar como actuadores y sensores. En la electrónica de audio, proporcionan la conversión entre los dominios eléctrico y acústico. El transductor proporciona el vínculo entre los dominios mecánico y eléctrico y, por lo tanto, se requiere una representación en red para desarrollar una analogía eléctrica unificada. [43] Para hacer esto, el concepto de puerto del dominio eléctrico se extiende a otros dominios. [44]
Los transductores tienen (al menos [nota 5] ) dos puertos, un puerto en el dominio mecánico y uno en el dominio eléctrico, y son análogos a las redes eléctricas de dos puertos . Esto se debe comparar con los elementos discutidos hasta ahora, que son todos de un puerto. Las redes de dos puertos se pueden representar como una matriz 2×2 o, equivalentemente, como una red de dos generadores dependientes y dos impedancias o admitancias. Hay seis formas canónicas de estas representaciones: parámetros de impedancia , parámetros de cadena , parámetros híbridos y sus inversos . Se puede utilizar cualquiera de ellos. Sin embargo, la representación de un transductor pasivo que convierte entre variables análogas (por ejemplo, una variable de esfuerzo a otra variable de esfuerzo en la analogía de impedancia) se puede simplificar reemplazando los generadores dependientes con un transformador . [45]
Por otra parte, un transductor que convierte variables conjugadas de potencia no análogas no puede representarse mediante un transformador. El elemento de dos puertos en el dominio eléctrico que hace esto se llama girador . Este dispositivo convierte voltajes en corrientes y corrientes en voltajes. Por analogía, un transductor que convierte variables no análogas entre dominios de energía también se llama girador. Por ejemplo, los transductores electromagnéticos convierten la corriente en fuerza y la velocidad en voltaje. [46] En la analogía de impedancia, un transductor de este tipo es un girador. [47] El hecho de que un transductor sea un girador o un transformador está relacionado con la analogía; el mismo transductor electromagnético en la analogía de movilidad es un transformador porque está convirtiendo entre variables análogas. [48]
James Clerk Maxwell desarrolló analogías mecánicas muy detalladas de los fenómenos eléctricos. Fue el primero en asociar la fuerza con el voltaje (1873) y, en consecuencia, se le suele atribuir la fundación de la analogía de la impedancia. [49] Esta fue la primera analogía mecánico-eléctrica. [50] Sin embargo, el término impedancia no fue acuñado hasta 1886, mucho después de la muerte de Maxwell, por Oliver Heaviside . [51] La idea de impedancia compleja fue introducida por Arthur E. Kennelly en 1893, y el concepto de impedancia no se extendió al dominio mecánico hasta 1920 por Kennelly y Arthur Gordon Webster . [52]
El propósito de Maxwell al construir esta analogía no era representar sistemas mecánicos en términos de redes eléctricas. Más bien, era explicar los fenómenos eléctricos en términos mecánicos más familiares. [53] Cuando George Ashley Campbell demostró por primera vez el uso de bobinas de carga para mejorar las líneas telefónicas en 1899, calculó la distancia necesaria entre bobinas por analogía con el trabajo de Charles Godfrey sobre líneas mecánicas cargadas con pesos periódicos. [54] A medida que los fenómenos eléctricos se entendieron mejor, el reverso de esta analogía, usar analogías eléctricas para explicar sistemas mecánicos, comenzó a volverse más común. De hecho, la topología abstracta de elementos concentrados del análisis eléctrico tiene mucho que ofrecer a los problemas en el dominio mecánico y otros dominios de energía. En 1900, la analogía eléctrica del dominio mecánico se estaba volviendo común. Desde aproximadamente 1920, la analogía eléctrica se convirtió en una herramienta de análisis estándar. Vannevar Bush fue un pionero de este tipo de modelado en su desarrollo de computadoras analógicas , y una presentación coherente de este método fue presentada en un artículo de 1925 por Clifford A. Nickle. [55]
La aplicación del análisis de redes eléctricas , especialmente el campo recientemente desarrollado de la teoría de filtros , a los sistemas mecánicos y acústicos condujo a enormes mejoras en el rendimiento. Según Warren P. Mason, la eficiencia de las sirenas de niebla eléctricas de los barcos aumentó de menos del uno por ciento al 50 por ciento. El ancho de banda de los fonógrafos mecánicos aumentó de tres a cinco octavas cuando las partes mecánicas de la transmisión del sonido se diseñaron como si fueran los elementos de un filtro eléctrico ( véase también Filtro mecánico § Reproducción de sonido ). Sorprendentemente, la eficiencia de conversión mejoró al mismo tiempo (la situación habitual con los sistemas de amplificación es que la ganancia se puede intercambiar por ancho de banda de modo que el producto ganancia-ancho de banda permanezca constante). [56]
En 1933 Floyd A. Firestone propuso una nueva analogía, la analogía de movilidad, en la que la fuerza es análoga a la corriente en lugar del voltaje. Firestone introdujo el concepto de variables transversales y pasantes en este artículo y presentó una estructura para extender la analogía a otros dominios de energía. [57] Una variación de la analogía fuerza-corriente fue propuesta por Horace M. Trent en 1955 y es esta versión a la que generalmente se hace referencia con la analogía transversal y pasante. [58] Trent utilizó un método de gráfico lineal para representar redes que ha dado como resultado que la analogía fuerza-corriente se asocie históricamente con gráficos lineales. La analogía fuerza-voltaje se utiliza históricamente con representaciones de gráficos de enlace, introducidas en 1960 por Henry Paynter , sin embargo, es posible utilizar cualquiera de las analogías con cualquiera de las representaciones si se desea. [59]
