Gráfico de bonos

Representación gráfica de un sistema dinámico

Un sistema simple de masa-resorte-amortiguador y su forma de gráfico de enlace equivalente

Un gráfico de enlaces es una representación gráfica de un sistema dinámico físico . Permite la conversión del sistema en una representación en el espacio de estados . Es similar a un diagrama de bloques o un gráfico de flujo de señales , con la principal diferencia de que los arcos en los gráficos de enlaces representan un intercambio bidireccional de energía física , mientras que los de los diagramas de bloques y los gráficos de flujo de señales representan un flujo unidireccional de información. Los gráficos de enlaces son de dominios multienergéticos (por ejemplo, mecánicos, eléctricos, hidráulicos, etc.) y neutrales en cuanto a dominios. Esto significa que un gráfico de enlaces puede incorporar múltiples dominios sin problemas.

El gráfico de enlaces está compuesto por los "enlaces" que unen elementos "de puerto único", "de puerto doble" y "de puerto múltiple" (ver más abajo para más detalles). Cada enlace representa el flujo instantáneo de energía ( dE / dt ) o potencia . El flujo en cada enlace se denota por un par de variables llamadas variables de potencia, similares a las variables conjugadas , cuyo producto es la potencia instantánea del enlace. Las variables de potencia se dividen en dos partes: flujo y esfuerzo . Por ejemplo, para el enlace de un sistema eléctrico, el flujo es la corriente, mientras que el esfuerzo es el voltaje. Al multiplicar la corriente y el voltaje en este ejemplo, puede obtener la potencia instantánea del enlace.

Un enlace tiene otras dos características que se describen brevemente aquí y se analizan con más detalle a continuación. Una es la convención del signo de "media flecha". Esta define la dirección asumida del flujo de energía positiva. Al igual que con los diagramas de circuitos eléctricos y los diagramas de cuerpo libre, la elección de la dirección positiva es arbitraria, con la salvedad de que el analista debe ser coherente en todo momento con la definición elegida. La otra característica es la "causalidad". Esta es una barra vertical colocada solo en un extremo del enlace. No es arbitraria. Como se describe a continuación, existen reglas para asignar la causalidad adecuada a un puerto determinado y reglas para la precedencia entre puertos. La causalidad explica la relación matemática entre el esfuerzo y el flujo. Las posiciones de las causalidades muestran cuáles de las variables de potencia son dependientes y cuáles son independientes.

Si la dinámica del sistema físico que se va a modelar opera en escalas de tiempo muy variables, los comportamientos rápidos en el tiempo continuo pueden modelarse como fenómenos instantáneos mediante el uso de un gráfico de enlace híbrido . Los gráficos de enlace fueron inventados por Henry Paynter . ^[1]

Sistemas para gráficos de enlaces

Muchos sistemas se pueden expresar en términos utilizados en el gráfico de enlaces. Estos términos se expresan en la siguiente tabla.

Convenciones para la tabla siguiente:

• ${\displaystyle P}$es la potencia activa ;
• ${\displaystyle {\hat {X}}}$es un objeto de matriz ;
• ${\displaystyle {\vec {x}}}$es un objeto vectorial ;
• ${\displaystyle x^{\dagger }}$es el conjugado hermítico de x ; es el conjugado complejo de la transpuesta de x . Si x es un escalar, entonces el conjugado hermítico es el mismo que el conjugado complejo;
• ${\displaystyle D_{t}^{n}}$es la notación de Euler para diferenciación, donde: $${\displaystyle D_{t}^{n}f(t)={\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(s)\,ds,&n=-1\\[2pt]f(t),&n=0\\[2pt]{\dfrac {\partial ^{n}f(t)}{\partial t^{n}}},&n>0\end{cases}}}$$
• ${\displaystyle {\begin{cases}\langle x\rangle ^{\alpha }:=|x|^{\alpha }\operatorname {sgn}(x)\\\langle {a}\rangle =k\langle b\rangle ^{\beta }\implies \langle b\rangle =\left({\frac {1}{k}}\langle a\rangle \right)^{1/\beta }\end{cases}}}$
• Factor de convergencia: $${\displaystyle \phi _{L}={\begin{cases}{\textrm {Prismatic}}:\ {\dfrac {\textrm {length}}{{\textrm {cross-sectional}}\ {\textrm {area}}}}\\{\textrm {Cylinder}}:\ {\dfrac {\ln \left({\frac {\mathrm {radius_{out}} }{\mathrm {radius_{in}} }}\right)}{2\pi \cdot {\textrm {length}}}}\\{\textrm {Sphere}}:\ {\dfrac {1}{4\pi \left(\mathrm {radius_{in}} \parallel \mathrm {-radius_{out}} \right)}}\end{cases}}}$$

Otros sistemas:

• Sistema de potencia termodinámico (el flujo es la tasa de entropía y el esfuerzo es la temperatura)
• Sistema de potencia electroquímica (el flujo es actividad química y el esfuerzo es potencial químico)
• Sistema de potencia termoquímica (el flujo es la tasa de masa y el esfuerzo es la entalpía específica de la masa)
• Sistema monetario macroeconómico (el desplazamiento es la mercancía y el esfuerzo es el precio por mercancía)
• Sistema de tipos de cambio de microeconomía (el desplazamiento es la población y el esfuerzo es el PIB per cápita)

Tetraedro de estado

Tetraedro de estado

El tetraedro de estado es un tetraedro que muestra gráficamente la conversión entre esfuerzo y flujo. La imagen adyacente muestra el tetraedro en su forma generalizada. El tetraedro puede modificarse según el dominio de energía.

Utilizando el tetraedro de estado, se puede encontrar una relación matemática entre cualquier variable del tetraedro. Esto se hace siguiendo las flechas alrededor del diagrama y multiplicando cualquier constante a lo largo del camino. Por ejemplo, si quisieras encontrar la relación entre el flujo generalizado y el desplazamiento generalizado, comenzarías en f ( t ) y luego lo integrarías para obtener q ( t ) . A continuación, se pueden ver más ejemplos de ecuaciones.

Relación entre desplazamiento generalizado y flujo generalizado.

$${\displaystyle q(t)=\int f(t)\,dt}$$

Relación entre flujo generalizado y esfuerzo generalizado.

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{R}}\cdot e(t)}$$

Relación entre flujo generalizado y momento generalizado.

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{I}}\cdot p(t)}$$

Relación entre el impulso generalizado y el esfuerzo generalizado.

$${\displaystyle p(t)=\int e(t)\,dt}$$

Relación entre flujo generalizado y esfuerzo generalizado, involucrando la constante C.

$${\displaystyle e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt}$$

Todas las relaciones matemáticas siguen siendo las mismas al cambiar de dominio energético, solo cambian los símbolos. Esto se puede comprobar con los siguientes ejemplos.

Relación entre desplazamiento y velocidad.

$${\displaystyle x(t)=\int v(t)\,dt}$$

Relación entre corriente y voltaje, también conocida como ley de Ohm .

$${\displaystyle i(t)={\frac {1}{R}}V(t)}$$

Relación entre fuerza y ​​desplazamiento, también conocida como ley de Hooke . El signo negativo se omite en esta ecuación porque el signo se tiene en cuenta en la dirección en la que apunta la flecha en el gráfico de enlace.

$${\displaystyle F(t)=kx(t)}$$

Para los sistemas de potencia, la fórmula para la frecuencia de resonancia es la siguiente: $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$$

Para los sistemas de densidad de potencia, la fórmula para la velocidad de la onda de resonancia es la siguiente: $${\displaystyle c={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$$

Componentes

Si un motor está conectado a una rueda a través de un eje, la potencia se transmite en el dominio mecánico rotacional, lo que significa que el esfuerzo y el flujo son torque (τ) y velocidad angular (ω) respectivamente. Un gráfico de enlace de palabras es un primer paso hacia un gráfico de enlace, en el que las palabras definen los componentes. Como un gráfico de enlace de palabras, este sistema se vería así: Se utiliza una media flecha para proporcionar una convención de signos, por lo que si el motor está realizando un trabajo cuando τ y ω son positivos, entonces el diagrama se dibujaría: Este sistema también se puede representar en un método más general. Esto implica cambiar el uso de palabras a símbolos que representan los mismos elementos. Estos símbolos se basan en la forma generalizada, como se explicó anteriormente. A medida que el motor aplica un torque a la rueda, se representará como una fuente de esfuerzo para el sistema. La rueda se puede representar mediante una impedancia en el sistema. Además, los símbolos de torque y velocidad angular se eliminan y se reemplazan con los símbolos generalizados para esfuerzo y flujo. Si bien no es necesario en el ejemplo, es común numerar los enlaces para realizar un seguimiento en las ecuaciones. El diagrama simplificado se puede ver a continuación. $${\displaystyle {\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;{\text{wheel}}}$$ $${\displaystyle {\text{engine}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{wheel}}}$$

$${\displaystyle {S_{e}}\;{\overset {\textstyle e_{1}}{\underset {\textstyle f_{1}}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}}$$

Dado que el esfuerzo siempre es superior al flujo en el enlace, también es posible eliminar por completo los símbolos de esfuerzo y flujo, sin perder ninguna información relevante. Sin embargo, no se debe eliminar el número del enlace. El ejemplo se puede ver a continuación.

$${\displaystyle {S_{e}}\;{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}\;{\text{I}}}$$

El número de enlace será importante más adelante, cuando se convierta del gráfico de enlace a ecuaciones de espacio de estados.

Asociación de elementos

Asociación de series

Supongamos que un elemento tiene el siguiente comportamiento: donde es una función genérica (incluso puede diferenciar/integrar su entrada) y es la constante del elemento. Luego, supongamos que en una unión 1 hay muchos elementos de este tipo. Entonces, el voltaje total a través de la unión es: $${\displaystyle e(t)=\alpha g(q(t))}$$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle e(t)=\left(\sum _{i}\alpha _{i}\right)g(q(t))\implies {\begin{array}{||c||}\hline \displaystyle \alpha _{\text{eq}}=\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}}$$

Asociación paralela

Supongamos que un elemento tiene el siguiente comportamiento: donde es una función genérica (puede incluso diferenciar/integrar su entrada) y es la constante del elemento. Entonces, supongamos que en una unión 0 hay muchos elementos de este tipo. Entonces es válido: $${\displaystyle e(t)=g(\alpha q(t))}$$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle g^{-1}\left(e(t)\right)=\alpha _{i}q_{i}(t)\implies {\frac {1}{\alpha _{i}}}g^{-1}(e(t))=q_{i}(t)\implies \left(\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}\right)g^{-1}(e(t))=q(t)\implies g(g^{-1}(e(t)))=g\left({\frac {1}{\sum _{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}}}q(t)\right)\implies {\begin{array}{|c|}\hline \alpha _{\text{eq}}=\parallel _{i=1}^{N}\alpha _{i}\\\hline \end{array}}}$$

Elementos de un solo puerto

Los elementos de puerto único son elementos en un gráfico de enlace que solo pueden tener un puerto.

Fuentes y sumideros

Las fuentes son elementos que representan la entrada de un sistema. Aportarán esfuerzo o flujo al sistema. Se indican con una "S" mayúscula y una "e" o "f" minúscula para el esfuerzo o el flujo, respectivamente. Las fuentes siempre tendrán la flecha apuntando en dirección opuesta al elemento. Algunos ejemplos de fuentes son: motores (fuente de esfuerzo, par), fuentes de tensión (fuente de esfuerzo) y fuentes de corriente (fuente de flujo).

$${\displaystyle S_{e}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J\qquad {\text{and}}\qquad S_{f}\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ J}$$donde J indica una unión.

Los sumideros son elementos que representan la salida de un sistema. Se representan de la misma manera que las fuentes, pero la flecha apunta hacia el interior del elemento en lugar de hacia afuera.

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{e}\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ S_{f}}$$

Inercia

Los elementos de inercia se representan con una "I" mayúscula y siempre reciben energía. Los elementos de inercia son elementos que almacenan energía. Por lo general, son una masa para los sistemas mecánicos y unos inductores para los sistemas eléctricos.

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ I}$$

Resistencia

Los elementos de resistencia se indican con una "R" mayúscula y siempre reciben corriente eléctrica. Los elementos de resistencia son elementos que disipan energía. Los más comunes son los amortiguadores, en el caso de los sistemas mecánicos, y las resistencias, en el caso de los sistemas eléctricos.

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ R}$$

Cumplimiento

Los elementos de flexibilidad se indican con una "C" mayúscula y siempre reciben corriente eléctrica. Los elementos de flexibilidad son elementos que almacenan energía potencial. Los más comunes son los resortes para sistemas mecánicos y los capacitores para sistemas eléctricos.

$${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}}}\;\ C}$$

Elementos de dos puertos

Estos elementos tienen dos puertos. Se utilizan para cambiar la potencia entre sistemas o dentro de ellos. Al convertir de uno a otro, no se pierde potencia durante la transferencia. Los elementos tienen una constante que se indica junto con ellos. La constante se denomina constante de transformador o constante de girador, según el elemento que se utilice. Estas constantes se muestran comúnmente como una relación debajo del elemento.

Transformador

Un transformador aplica una relación entre el flujo de entrada y el flujo de salida y el esfuerzo de entrada y el esfuerzo de salida. Algunos ejemplos son un transformador eléctrico ideal o una palanca .

Se denota donde r denota el módulo del transformador. Esto significa y $${\displaystyle {\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ TR\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{r:1}\end{matrix}}}$$ $${\displaystyle f_{1}r=f_{2}}$$ $${\displaystyle e_{2}r=e_{1}}$$

Girador

Un girador aplica una relación entre el flujo de entrada y el esfuerzo de salida, y el esfuerzo de entrada y el flujo de salida. Un ejemplo de un girador es un motor de corriente continua, que convierte el voltaje (esfuerzo eléctrico) en velocidad angular (flujo mecánico angular).

$${\displaystyle {\begin{matrix}{\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \ \ GY\ \ {\overset {\textstyle _{2}}{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\ \\^{g:1}\end{matrix}}}$$lo que significa que y $${\displaystyle e_{2}=gf_{1}}$$ $${\displaystyle e_{1}=gf_{2}.}$$

Elementos multipuerto

Las uniones, a diferencia de los demás elementos, pueden tener cualquier número de puertos de entrada o de salida. Las uniones dividen la potencia entre sus puertos. Hay dos uniones distintas, la unión 0 y la unión 1, que difieren solo en cómo se transmiten el esfuerzo y el flujo. La misma unión en serie se puede combinar, pero no se pueden combinar diferentes uniones en serie.

Uniones 0

Las uniones 0 se comportan de tal manera que todos los valores de esfuerzo (y su derivada/integral temporal) son iguales en los enlaces, pero la suma de los valores de flujo de entrada es igual a la suma de los valores de flujo de salida o, equivalentemente, todos los flujos suman cero. En un circuito eléctrico, la unión 0 es un nodo y representa un voltaje compartido por todos los componentes en ese nodo. En un circuito mecánico, la unión 0 es una unión entre componentes y representa una fuerza compartida por todos los componentes conectados a ella.

$${\displaystyle {\text{all }}e{\text{'s are equal}}}$$ $${\displaystyle \sum f_{\text{in}}=\sum f_{\text{out}}}$$

A continuación se muestra un ejemplo.

$${\displaystyle {\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{0}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}}$$

Ecuaciones resultantes: $${\displaystyle e_{1}=e_{2}=e_{3}}$$ $${\displaystyle f_{1}=f_{2}+f_{3}}$$

1-uniones

Las uniones 1 se comportan de forma opuesta a las uniones 0. Las uniones 1 se comportan de tal manera que todos los valores de flujo (y su integral/derivada temporal) son iguales en los enlaces, pero la suma de los valores de esfuerzo de entrada es igual a la suma de los valores de esfuerzo de salida, o equivalentemente, todos los esfuerzos suman cero. En un circuito eléctrico, la unión 1 representa una conexión en serie entre componentes. En un circuito mecánico, la unión 1 representa una velocidad compartida por todos los componentes conectados a ella.

$${\displaystyle {\text{all }}f{\text{'s are equal}}}$$ $${\displaystyle \sum e_{\text{in}}=\sum e_{\text{out}}}$$

A continuación se muestra un ejemplo.

$${\displaystyle {\overset {\textstyle _{1}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}{\stackrel {\textstyle {\stackrel {\textstyle _{2}}{\upharpoonright }}}{1}}{\overset {\textstyle _{3}}{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoondown }}}}$$

Ecuaciones resultantes: $${\displaystyle f_{1}=f_{2}=f_{3}}$$ $${\displaystyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$$

Causalidad

Los gráficos de enlaces tienen una noción de causalidad, que indica qué lado de un enlace determina el esfuerzo instantáneo y cuál determina el flujo instantáneo. Al formular las ecuaciones dinámicas que describen el sistema, la causalidad define, para cada elemento de modelado, qué variable es dependiente y cuál es independiente. Al propagar la causalidad gráficamente de un elemento de modelado al otro, el análisis de modelos a gran escala se vuelve más fácil. Completar la asignación causal en un modelo de gráfico de enlaces permitirá la detección de situaciones de modelado en las que existe un bucle algebraico; es decir, la situación en la que una variable se define recursivamente como una función de sí misma.

Como ejemplo de causalidad, considere un condensador en serie con una batería. No es físicamente posible cargar un condensador instantáneamente, por lo que cualquier cosa conectada en paralelo con un condensador necesariamente tendrá el mismo voltaje (variable de esfuerzo) que a través del condensador. De manera similar, un inductor no puede cambiar el flujo instantáneamente y, por lo tanto, cualquier componente en serie con un inductor necesariamente tendrá el mismo flujo que el inductor. Debido a que los condensadores e inductores son dispositivos pasivos, no pueden mantener su voltaje y flujo respectivos indefinidamente; los componentes a los que están conectados afectarán su voltaje y flujo respectivos, pero solo indirectamente al afectar su corriente y voltaje respectivamente.

Nota: La causalidad es una relación simétrica. Cuando un lado "provoca" el esfuerzo, el otro lado "provoca" el flujo.

En la notación de gráficos de enlaces, se puede agregar un trazo causal a un extremo del enlace de potencia para indicar que este lado define el flujo . En consecuencia, el lado opuesto al trazo casual controla el esfuerzo .

Las fuentes de flujo ( ) definen el flujo, por lo que albergan el trazo causal: Las fuentes de esfuerzo ( ) definen el esfuerzo, por lo que el otro extremo alberga el trazo causal: ${\displaystyle S_{f}}$ $${\displaystyle S_{f}\;|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!}$$ ${\displaystyle S_{e}}$ $${\displaystyle S_{e}\;-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}$$

Consideremos un motor de par constante que impulsa una rueda, es decir, una fuente de esfuerzo ( ). Esto quedaría representado de la siguiente manera: ${\displaystyle S_{e}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{r}{\text{motor}}\\S_{e}\end{array}}\;{\overset {\textstyle \tau }{\underset {\textstyle \omega }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;{\text{wheel}}}$$

Simétricamente, el lado con el trazo causal (en este caso la rueda) define el flujo del enlace.

La causalidad da como resultado restricciones de compatibilidad. Claramente, sólo un extremo de un vínculo de potencia puede definir el esfuerzo y, por lo tanto, sólo un extremo de un vínculo puede (el otro extremo) tener un impacto causal. Además, los dos componentes pasivos con comportamiento dependiente del tiempo, y , sólo pueden tener un tipo de causalidad: un componente determina el flujo; un componente define el esfuerzo. Por lo tanto, desde una unión, , la orientación causal preferida es la siguiente: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;I\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;C}$$

La razón por la cual este es el método preferido para estos elementos se puede analizar más a fondo si se consideran las ecuaciones que darían, mostradas por el tetraedro de estado.

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{I}}\int e(t)\,dt\qquad {\text{and}}\qquad e(t)={\frac {1}{C}}\int f(t)\,dt}$$

Las ecuaciones resultantes implican la integral de la variable de potencia independiente. Esto es preferible al resultado de tener la causalidad al revés, lo que da como resultado la derivada. Las ecuaciones se pueden ver a continuación.

$${\displaystyle e(t)=I{\dot {f}}(t)\qquad {\text{and}}\qquad f(t)=C{\dot {e}}(t)}$$

Es posible que un gráfico de enlaces tenga una barra causal en uno de estos elementos de la manera no preferida. En tal caso, se dice que se ha producido un "conflicto causal" en ese enlace. Los resultados de un conflicto causal solo se ven al escribir las ecuaciones del espacio de estados para el gráfico. Se explica con más detalle en esa sección.

Una resistencia no tiene un comportamiento dependiente del tiempo: aplique un voltaje y obtenga un flujo instantáneamente, o aplique un flujo y obtenga un voltaje instantáneamente, por lo tanto, una resistencia puede estar en cualquier extremo de un enlace causal: $${\displaystyle J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup \!\!\!|}}}\;R\qquad {\text{and}}\qquad J\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}\;R}$$

Los transformadores son pasivos, no disipan ni almacenan energía, por lo que la causalidad pasa a través de ellos: $${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;TF\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;}$$

Un girador transforma el flujo en esfuerzo y el esfuerzo en flujo, por lo que si se produce flujo en un lado, se produce esfuerzo en el otro lado y viceversa: $${\displaystyle \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;\qquad {\text{or}}\qquad \;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!|}}}\;GY\;{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-}}}\;}$$

Uniones

En una unión 0, los esfuerzos son iguales; en una unión 1, los flujos son iguales. Por lo tanto, con enlaces causales, solo un enlace puede causar el esfuerzo en una unión 0 y solo uno puede causar el flujo en una unión 1. Por lo tanto, si se conoce la causalidad de un enlace de una unión, también se conoce la causalidad de los demás. Ese enlace se llama "enlace fuerte". En pocas palabras, las uniones 0 deben tener una sola barra causal, las uniones 1 deben tener todas las barras causales menos una. $${\displaystyle {\text{strong bond}}\rightarrow \;\dashv \!{\overset {\textstyle \top }{\underset {\textstyle \bot }{0}}}\!\dashv \qquad {\text{and}}\qquad {\text{strong bond}}\rightarrow \;\vdash \!{\overset {\textstyle \bot }{\underset {\textstyle \top }{1}}}\!\vdash }$$

Determinación de causalidad

Para determinar la causalidad de un gráfico de enlaces se deben seguir ciertos pasos. Estos pasos son:

1. Barras causales de origen de dibujo
2. Dibuje la causalidad preferida para los enlaces C e I
3. Dibuje barras causales para uniones 0 y 1, transformadores y giradores
4. Dibuje barras causales del enlace R
5. Si ocurre un conflicto causal, cambie el enlace C o I para diferenciarlo.

A continuación se muestra un recorrido de los pasos. $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

El primer paso es trazar la causalidad de las fuentes, de las cuales solo hay una. Esto da como resultado el gráfico que aparece a continuación. $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&\downharpoonleft &&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

El siguiente paso es dibujar la causalidad preferida para los enlaces C. $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&\downharpoonleft &&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

A continuación, aplique la causalidad para las uniones 0 y 1, transformadores y giradores. $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\bar {\downharpoonleft }}&&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

Sin embargo, hay un problema con la unión 0 a la izquierda. La unión 0 tiene dos barras causales en la unión, pero la unión 0 quiere una y solo una en la unión. Esto se debió a que se tenía que estar en la causalidad preferida. La única forma de solucionar esto es voltear esa barra causal. Esto da como resultado un conflicto causal; la versión corregida del gráfico se encuentra a continuación, con la representación del conflicto causal. ${\textstyle C_{2}}$ ${\textstyle \star }$

$${\displaystyle {\begin{matrix}S_{f}&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&TR&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&0&{\overset {\textstyle }{\underset {\textstyle }{|\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\rightharpoonup }}}&C_{5}\\&&{\underline {\downharpoonleft }}\star &&^{r:1}&&{\underline {\downharpoonleft }}&&\\&&C_{2}&&&&R_{6}&&\end{matrix}}}$$

Conversión desde otros sistemas

Una de las principales ventajas de utilizar gráficos de enlaces es que, una vez que se tiene un gráfico de enlaces, no importa cuál sea el dominio de energía original. A continuación, se presentan algunos de los pasos que se deben aplicar al convertir del dominio de energía a un gráfico de enlaces.

Electromagnético

Los pasos para resolver un problema electromagnético como gráfico de enlace son los siguientes:

1. Coloque una unión 0 en cada nodo
2. Insertar fuentes, enlaces R, I, C, TR y GY con uniones 1
3. Tierra (ambos lados si hay un transformador o girador)
4. Asignar dirección del flujo de potencia
5. Simplificar

Estos pasos se muestran más claramente en los ejemplos siguientes.

Mecánica lineal

Los pasos para resolver un problema mecánico lineal como un gráfico de enlace son los siguientes:

1. Coloque uniones 1 para cada velocidad distinta (generalmente en una masa)
2. Inserte enlaces R y C en sus propias uniones 0 entre las uniones 1 donde actúan
3. Insertar fuentes y enlaces I en las uniones 1 donde actúan
4. Asignar dirección del flujo de potencia
5. Simplificar

Estos pasos se muestran más claramente en los ejemplos siguientes.

Simplificando

El paso de simplificación es el mismo independientemente de si el sistema es electromagnético o mecánico lineal. Los pasos son:

1. Eliminar enlace de potencia cero (debido a tierra o velocidad cero)
2. Eliminar las uniones 0 y 1 con menos de tres enlaces
3. Simplificar la alimentación en paralelo
4. Combinar 0 uniones en serie
5. Combinar 1 uniones en serie

Estos pasos se muestran más claramente en los ejemplos siguientes.

Potencia paralela

La potencia paralela se produce cuando la potencia circula en paralelo en un gráfico de enlaces. A continuación se muestra un ejemplo de potencia paralela.

La potencia paralela se puede simplificar recordando la relación entre el esfuerzo y el flujo para las uniones 0 y 1. Para resolver la potencia paralela, primero deberá escribir todas las ecuaciones para las uniones. Para el ejemplo proporcionado, las ecuaciones se pueden ver a continuación. (Tome nota del vínculo numérico que representa la variable esfuerzo/flujo). $${\displaystyle {\begin{matrix}f_{1}=f_{2}=f_{3}&&e_{2}=e_{4}=e_{7}\\e_{1}=e_{2}+e_{3}&&f_{2}=f_{4}+f_{7}\\&&\\e_{3}=e_{5}=e_{6}&&f_{7}=f_{6}=f_{8}\\f_{3}=f_{5}+f_{6}&&e_{7}+e_{6}=e_{8}\end{matrix}}}$$

Al manipular estas ecuaciones, puedes organizarlas de manera tal que puedas encontrar un conjunto equivalente de uniones 0 y 1 para describir la potencia paralela.

Por ejemplo, debido a que y puedes reemplazar las variables en la ecuación que resulta en y dado que , ahora sabemos que . Esta relación de dos variables de esfuerzo que son iguales se puede explicar mediante una unión 0. Manipulando otras ecuaciones puedes encontrar la que describe la relación de una unión 1. Una vez que hayas determinado las relaciones que necesitas, puedes volver a dibujar la sección de potencia paralela con las nuevas uniones. El resultado del ejemplo que se muestra se ve a continuación. ${\textstyle e_{3}=e_{6}}$ ${\textstyle e_{2}=e_{7}}$ ${\textstyle e_{1}=e_{2}+e_{3}}$ ${\textstyle e_{1}=e_{6}+e_{7}}$ ${\textstyle e_{6}+e_{7}=e_{8}}$ ${\displaystyle e_{1}=e_{8}}$ ${\displaystyle f_{4}=f_{5}}$

Ejemplos

Sistema eléctrico simple

Un circuito eléctrico simple que consta de una fuente de voltaje, una resistencia y un condensador en serie.

El primer paso es dibujar uniones 0 en todos los nodos: $${\displaystyle {\begin{matrix}&0&&0&\\&&&&\\&&&&\\&0&&0&\end{matrix}}}$$

El siguiente paso es agregar todos los elementos que actúan en su propia unión 1: $${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&R&&&&\\&&&&|&&&&\\&&0&-&1&-&0&&\\&&|&&&&|&&\\S_{e}&-&1&&&&1&-&C\\&&|&&&&|&&\\&&{\underline {0}}&-&-&-&0&&\end{matrix}}}$$

El siguiente paso es elegir una conexión a tierra. La conexión a tierra es simplemente una unión en 0 que se asumirá que no tiene voltaje. Para este caso, se elegirá la conexión a tierra en la unión en 0 inferior izquierda, que está subrayada arriba. El siguiente paso es dibujar todas las flechas para el gráfico de enlace. Las flechas en las uniones deben apuntar hacia tierra (siguiendo una ruta similar a la de la corriente). Para los elementos de resistencia, inercia y compliancia, las flechas siempre apuntan hacia los elementos. El resultado de dibujar las flechas se puede ver a continuación, con la unión en 0 marcada con una estrella como la conexión a tierra.

Ahora que tenemos el gráfico de Bond, podemos comenzar el proceso de simplificación. El primer paso es eliminar todos los nodos de tierra. Se pueden eliminar las dos uniones 0 inferiores, ya que ambas están conectadas a tierra. El resultado se muestra a continuación.

A continuación, se pueden eliminar las uniones con menos de tres enlaces. Esto se debe a que el flujo y el esfuerzo pasan por estas uniones sin modificarse, por lo que se pueden eliminar para permitirnos extraer menos. El resultado se puede ver a continuación.

El paso final es aplicar la causalidad al gráfico de enlaces. La aplicación de la causalidad se explicó anteriormente. El gráfico de enlaces final se muestra a continuación.

Sistema eléctrico avanzado

Un sistema eléctrico más avanzado con una fuente de corriente, resistencias, condensadores y un transformador.

Si se siguen los pasos de este circuito, se obtendrá el gráfico de enlace que se muestra a continuación, antes de simplificarlo. Los nodos marcados con una estrella indican la conexión a tierra.

Simplificando el gráfico de enlaces obtendremos la imagen siguiente.

Por último, si aplicamos la causalidad obtendremos el siguiente gráfico de vínculos. El vínculo con la estrella denota un conflicto causal.

Mecánica lineal simple

Un sistema mecánico lineal simple, que consiste en una masa sobre un resorte que está fijado a una pared. Se aplica una fuerza sobre la masa. A continuación se muestra una imagen del sistema.

En un sistema mecánico, el primer paso es colocar una unión 1 en cada velocidad distinta; en este caso, hay dos velocidades distintas: la de la masa y la de la pared. Suele ser útil etiquetar las uniones 1 como referencia. El resultado se muestra a continuación. $${\displaystyle {\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\&&\\&&\\&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

El siguiente paso es dibujar los enlaces R y C en sus propias uniones 0 entre las uniones 1 donde actúan. Para este ejemplo solo hay uno de estos enlaces, el enlace C para el resorte. Actúa entre la unión 1 que representa la masa y la unión 1 que representa la pared. El resultado se muestra a continuación. $${\displaystyle {\begin{matrix}&&\\&&\\1_{\text{mass}}&&\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

A continuación, se deben sumar las fuentes y los enlaces I en la unión 1 donde actúan. Hay una fuente, la fuente del esfuerzo (fuerza) y un enlace I, la masa de la masa, que actúan sobre la unión 1 de la masa. El resultado se muestra a continuación. $${\displaystyle {\begin{matrix}S_{e}:F(t)&&\\|&&\\1_{\text{mass}}&-&I:m\\|&&\\0&-&C:{\frac {1}{k}}\\|&&\\1_{\text{wall}}&&\end{matrix}}}$$

A continuación, se debe asignar el flujo de potencia. Al igual que en los ejemplos eléctricos, la potencia debe fluir hacia tierra, en este caso la unión 1 de la pared. Las excepciones a esto son los enlaces R, C o I, que siempre apuntan hacia el elemento. El gráfico de enlaces resultante se muestra a continuación.

Ahora que se ha generado el gráfico de enlaces, se puede simplificar. Como la pared está conectada a tierra (tiene velocidad cero), se puede eliminar esa unión. Por lo tanto, la unión 0 en la que se encuentra el enlace C también se puede eliminar porque entonces tendrá menos de tres enlaces. El gráfico de enlaces simplificado se puede ver a continuación.

El último paso es aplicar la causalidad, el gráfico de enlace final se puede ver a continuación.

Mecánica lineal avanzada

A continuación se puede ver un sistema mecánico lineal más avanzado.

Al igual que en el ejemplo anterior, el primer paso es realizar uniones 1 en cada una de las velocidades distantes. En este ejemplo, hay tres velocidades distantes: masa 1, masa 2 y la pared. Luego, se conectan todos los enlaces y se asigna el flujo de potencia. El enlace se puede ver a continuación.

A continuación, se inicia el proceso de simplificación del gráfico de enlaces, eliminando la unión 1 de la pared y eliminando las uniones con menos de tres enlaces. El gráfico de enlaces se puede ver a continuación.

En el gráfico de enlaces hay una potencia paralela. La solución de la potencia paralela se explicó anteriormente. El resultado de la solución se puede ver a continuación.

Por último, aplicando causalidad, el gráfico de enlace final se puede ver a continuación.

Ecuaciones de estado

Una vez que se completa un gráfico de enlaces, se puede utilizar para generar las ecuaciones de representación en el espacio de estados del sistema. La representación en el espacio de estados es especialmente poderosa ya que permite que un sistema diferencial complejo de múltiples órdenes se resuelva como un sistema de ecuaciones de primer orden. La forma general de la ecuación de estado es donde es una matriz de columnas de las variables de estado o las incógnitas del sistema. es la derivada temporal de las variables de estado. es una matriz de columnas de las entradas del sistema. Y y son matrices de constantes basadas en el sistema. Las variables de estado de un sistema son valores y para cada enlace C e I sin un conflicto causal. Cada enlace I obtiene un mientras que cada enlace C obtiene un . $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$$ ${\textstyle \mathbf {x} (t)}$ ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ ${\textstyle \mathbf {u} (t)}$ ${\textstyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {B} }$ ${\textstyle q(t)}$ ${\textstyle p(t)}$ ${\textstyle p(t)}$ ${\textstyle q(t)}$

Por ejemplo, si tienes el siguiente gráfico de enlaces

Tendrías las siguientes matrices , , y : ${\textstyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)}$ ${\textstyle \mathbf {x} (t)}$ ${\textstyle \mathbf {u} (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {x} (t)={\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}\qquad {\text{and}}\qquad \mathbf {u} (t)={\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}}$$

Las matrices de y se resuelven determinando la relación entre las variables de estado y sus respectivos elementos, como se describió en el tetraedro de estado. El primer paso para resolver las ecuaciones de estado es enumerar todas las ecuaciones que rigen el gráfico de enlaces. La siguiente tabla muestra la relación entre los enlaces y sus ecuaciones que rigen. ${\textstyle \mathbf {A} }$ ${\textstyle \mathbf {B} }$

"♦" denota causalidad preferida.

Para el ejemplo proporcionado,

Las ecuaciones que rigen son las siguientes.

1. ${\textstyle e_{1}={\text{input}}}$
2. ${\textstyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$
3. ${\textstyle f_{1}=f_{2}=f_{4}=f_{3}}$
4. ${\textstyle e_{2}=R_{2}f_{2}}$
5. ${\textstyle f_{3}={\frac {1}{I_{3}}}\int e_{3}\,dt={\frac {1}{I_{3}}}p_{3}}$
6. ${\textstyle f_{5}=f_{4}\cdot r}$
7. ${\textstyle e_{4}=e_{5}\cdot r}$
8. ${\textstyle e_{5}=e_{7}=e_{6}}$
9. ${\textstyle f_{6}=f_{5}-f_{7}}$
10. ${\textstyle e_{6}={\frac {1}{C_{6}}}\int f_{6}\,dt={\frac {1}{C_{6}}}q_{6}}$
11. ${\textstyle f_{7}={\frac {1}{R_{7}}}e_{7}}$

Estas ecuaciones se pueden manipular para obtener las ecuaciones de estado. En este ejemplo, se intenta encontrar ecuaciones que relacionen y en términos de , y . ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)}$ ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)}$ ${\textstyle p_{3}(t)}$ ${\textstyle q_{6}(t)}$ ${\textstyle e_{1}(t)}$

Para comenzar, debe recordar del tetraedro de estado que comenzando con la ecuación 2, puede reorganizarlo de modo que . se puede sustituir por la ecuación 4, mientras que en la ecuación 4, se puede reemplazar por debido a la ecuación 3, que luego se puede reemplazar por la ecuación 5. también se puede reemplazar usando la ecuación 7, en la que se puede reemplazar con que luego se puede reemplazar con la ecuación 10. Después de estas sustituciones, se obtiene la primera ecuación de estado que se muestra a continuación. ${\textstyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)}$ ${\displaystyle e_{3}=e_{1}-e_{2}-e_{4}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle e_{4}}$ ${\displaystyle e_{5}}$ ${\displaystyle e_{6}}$

$${\displaystyle {\dot {p}}_{3}(t)=e_{3}(t)=e_{1}(t)-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {r}{C_{6}}}q_{6}(t)}$$

La segunda ecuación de estado también se puede resolver recordando que . La segunda ecuación de estado se muestra a continuación. ${\textstyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)}$

$${\displaystyle {\dot {q}}_{6}(t)=f_{6}(t)={\frac {r}{I_{3}}}p_{3}(t)-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}q_{6}(t)}$$

Ambas ecuaciones pueden reorganizarse en forma matricial. El resultado se muestra a continuación.

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{3}(t)\\{\dot {q}}_{6}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {R_{2}}{I_{3}}}&-{\frac {r}{C_{6}}}\\{\frac {r}{I_{3}}}&-{\frac {1}{R_{7}\cdot C_{6}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{3}(t)\\q_{6}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{1}(t)\end{bmatrix}}}$$

En este punto las ecuaciones pueden tratarse como cualquier otro problema de representación en el espacio de estados .

Conferencias internacionales sobre modelado de gráficos de enlaces (ECMS e ICBGM)

Se puede extraer una bibliografía sobre modelado de gráficos de enlaces de las siguientes conferencias:

• ECMS-2013 27.ª Conferencia Europea sobre Modelado y Simulación, 27 al 30 de mayo de 2013, Ålesund, Noruega
• ECMS-2008 22.ª Conferencia Europea sobre Modelado y Simulación, 3 al 6 de junio de 2008 Nicosia, Chipre
• ICBGM-2007: 8.ª Conferencia internacional sobre modelado y simulación de gráficos de enlaces, del 15 al 17 de enero de 2007, San Diego, California, EE. UU.
• ECMS-2006 20.ª Conferencia Europea sobre Modelado y Simulación, 28 al 31 de mayo de 2006, Bonn, Alemania
• IMAACA-2005 Multiconferencia Internacional de Modelado Mediterráneo
• Conferencia internacional sobre modelado y simulación de gráficos de enlaces ICBGM-2005, 23 al 27 de enero de 2005, Nueva Orleans, Luisiana, EE. UU. – Documentos
• Conferencia internacional sobre modelado y simulación de gráficos de enlaces ICBGM-2003 (ICBGM'2003) 19 al 23 de enero de 2003, Orlando, Florida, EE. UU. – Artículos
• XIV Simposio Europeo de Simulación 23-26 de octubre de 2002 Dresde, Alemania
• ESS'2001 13º Simposio Europeo de Simulación, Marsella, Francia, 18-20 de octubre de 2001
• Conferencia internacional sobre modelado y simulación de gráficos de enlaces (ICBGM 2001), Phoenix, Arizona, EE. UU.
• Conferencia multidisciplinaria sobre simulación europea, 23-26 de mayo de 2000, Gante (Bélgica)
• 11º Simposio Europeo de Simulación, 26-28 de octubre de 1999, Universidad Friedrich-Alexander, Erlangen-Nuremberg, Alemania
• Conferencia internacional sobre modelado y simulación de gráficos de enlaces ICBGM-1999 17 al 20 de enero de 1999 San Francisco, California
• ESS-97 IX Simposio y exposición europeos sobre simulación Simulación en la industria, Passau, Alemania, 19-22 de octubre de 1997
• ICBGM-1997 Tercera Conferencia Internacional sobre Modelado y Simulación de Gráficos de Enlace, 12 al 15 de enero de 1997, Sheraton-Crescent Hotel, Phoenix, Arizona
• 11ª Multiconferencia Europea de Simulación Estambul, Turquía, 1 al 4 de junio de 1997
• ESM-1996 Décima multiconferencia anual europea de simulación Budapest, Hungría, 2 al 6 de junio de 1996
• ICBGM-1995 Conferencia internacional sobre modelado y simulación de gráficos de enlaces (ICBGM'95), del 15 al 18 de enero de 1995, Las Vegas, Nevada.

Véase también

• Software de simulación 20-sim basado en la teoría de grafos de enlace
• Software de simulación AMESim basado en la teoría de grafos de enlaces
• Gráfico de enlace híbrido
• Coenergía

Referencias

1. Paynter, Henry M. (1961). Análisis y diseño de sistemas de ingeniería . The MIT Press. ISBN 0-262-16004-8.
2. "Modelado de gráficos de enlaces de sistemas de ingeniería" (PDF) .

Lectura adicional

• Kypuros, Javier (2013). Dinámica de sistemas y control con modelado de grafos de enlaces . Boca Raton: Taylor&Francis. doi :10.1201/b14676. ISBN. 978-1-4665-6075-8.
• Paynter, Henry M. (1960). Análisis y diseño de sistemas de ingeniería . MIT Press. ISBN 0-262-16004-8.
• Karnopp, Dean C.; Margolis, Donald L.; Rosenberg, Ronald C. (1990). Dinámica de sistemas: un enfoque unificado . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-62171-4.
• Thoma, Jean Ulrich (1975). Gráficas de enlaces: introducción y aplicaciones . Oxford: Pergamon Press. ISBN 0-08-018882-6.
• Gawthrop, Peter J.; Smith, Lorcan PS (1996). Metamodelling: bond graphs and dynamic systems (Metamodelado: gráficos de enlaces y sistemas dinámicos ). Londres: Prentice Hall. ISBN 0-13-489824-9.
• Brown, Forbes T. (2007). Dinámica de sistemas de ingeniería: un enfoque unificado centrado en grafos . Boca Raton: Taylor & Francis. ISBN 978-0-8493-9648-9.
• Mukherjee, Amalendu; Karmakar, Ranjit (2000). Modelado y simulación de sistemas de ingeniería mediante gráficos de enlaces . Boca Raton: CRC Press. ISBN 978-0-8493-0982-3.
• Gawthrop, PJ; Ballance, DJ (1999). "Capítulo 2: Cálculo simbólico para la manipulación de gráficos de enlaces jerárquicos". En Munro, N. (ed.). Métodos simbólicos en el análisis y diseño de sistemas de control . Londres: Institution of Electrical Engineers. págs. 23-52. ISBN. 0-85296-943-0.
• Borutzky, Wolfgang (2010). Metodología de gráficos de enlaces . Londres: Springer. doi :10.1007/978-1-84882-882-7. ISBN . 978-1-84882-881-0.
• http://www.site.uottawa.ca/~rhabash/ESSModelFluid.pdf Explica cómo modelar el gráfico de enlaces en el dominio de fluidos.
• http://www.dartmouth.edu/~sullivan/22files/Fluid_sys_anal_w_chart.pdf Explica el modelado del gráfico de enlaces en el dominio de los fluidos.

Enlaces externos

• Biblioteca complementaria oficial de MATLAB/Simulink de Simscape para programación gráfica de gráficos de enlaces
• Biblioteca complementaria BG V.2.1 de MATLAB/Simulink gratuita para programación gráfica de gráficos de enlaces