Análisis funcional

Área de matemáticas

Uno de los posibles modos de vibración de un parche circular idealizado . Estos modos son funciones propias de un operador lineal en un espacio de funciones, una construcción común en el análisis funcional.

El análisis funcional es una rama del análisis matemático cuyo núcleo está formado por el estudio de los espacios vectoriales dotados de algún tipo de estructura relacionada con los límites (por ejemplo, producto interno , norma o topología ) y las funciones lineales definidas en estos espacios y que respetan adecuadamente estas estructuras. Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio de los espacios de funciones y la formulación de propiedades de transformaciones de funciones como la transformada de Fourier como transformaciones que definen, por ejemplo, operadores continuos o unitarios entre espacios de funciones. Este punto de vista resultó ser particularmente útil para el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales .

El uso de la palabra funcional como sustantivo se remonta al cálculo de variaciones , lo que implica una función cuyo argumento es una función . El término fue utilizado por primera vez en el libro de Hadamard de 1910 sobre ese tema. Sin embargo, el concepto general de funcional había sido introducido previamente en 1887 por el matemático y físico italiano Vito Volterra . ^{[1] [2]} La teoría de los funcionales no lineales fue continuada por los estudiantes de Hadamard, en particular Fréchet y Lévy . Hadamard también fundó la escuela moderna de análisis funcional lineal desarrollada posteriormente por Riesz y el grupo de matemáticos polacos en torno a Stefan Banach .

En los textos introductorios modernos sobre análisis funcional, el tema se considera como el estudio de espacios vectoriales dotados de una topología, en particular espacios de dimensión infinita . ^{[3] [4]} En contraste, el álgebra lineal se ocupa principalmente de espacios de dimensión finita y no utiliza la topología. Una parte importante del análisis funcional es la extensión de las teorías de la medida , la integración y la probabilidad a espacios de dimensión infinita, también conocido como análisis de dimensión infinita .

Espacios vectoriales normados

La clase básica e históricamente primera de espacios estudiados en el análisis funcional son los espacios vectoriales normados completos sobre los números reales o complejos . Dichos espacios se denominan espacios de Banach . Un ejemplo importante es el espacio de Hilbert , donde la norma surge de un producto interno. Estos espacios son de importancia fundamental en muchas áreas, incluida la formulación matemática de la mecánica cuántica , el aprendizaje automático , las ecuaciones diferenciales parciales y el análisis de Fourier .

De manera más general, el análisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fréchet y otros espacios vectoriales topológicos no dotados de una norma.

Un objeto de estudio importante en el análisis funcional son los operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y Hilbert. Estos conducen naturalmente a la definición de C*-álgebras y otras álgebras de operadores .

Espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert se pueden clasificar completamente: hay un único espacio de Hilbert hasta el isomorfismo para cada cardinalidad de la base ortonormal . ^[5] Los espacios de Hilbert de dimensión finita se entienden completamente en álgebra lineal , y los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita son isomorfos a . Siendo la separabilidad importante para las aplicaciones, el análisis funcional de los espacios de Hilbert en consecuencia trata principalmente de este espacio. Uno de los problemas abiertos en el análisis funcional es demostrar que cada operador lineal acotado en un espacio de Hilbert tiene un subespacio invariante propio . Ya se han demostrado muchos casos especiales de este problema de subespacio invariante . ${\displaystyle \ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,}$

Espacios de Banach

Los espacios de Banach generales son más complicados que los espacios de Hilbert y no se pueden clasificar de una manera tan simple como estos. En particular, muchos espacios de Banach carecen de una noción análoga a una base ortonormal .

Ejemplos de espacios de Banach son los -espacios para cualquier número real . Dada también una medida en el conjunto , entonces , a veces también denotado o , tiene como vectores clases de equivalencia de funciones mensurables cuya potencia -ésima del valor absoluto tiene integral finita; es decir, funciones para las que se tiene ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$ ${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle [\,f\,]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty .}$$

Si es la medida de conteo , entonces la integral puede reemplazarse por una suma. Es decir, requerimos ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<\infty .}$$

Entonces no es necesario tratar con clases de equivalencia, y el espacio se denota , escrito de forma más sencilla en el caso cuando es el conjunto de números enteros no negativos . ${\displaystyle \ell ^{p}(X)}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle X}$

En los espacios de Banach, una gran parte del estudio involucra el espacio dual : el espacio de todas las aplicaciones lineales continuas del espacio en su cuerpo subyacente, las llamadas funcionales. Un espacio de Banach puede identificarse canónicamente con un subespacio de su bidual, que es el dual de su espacio dual. La aplicación correspondiente es una isometría pero en general no sobre. Un espacio de Banach general y su bidual ni siquiera necesitan ser isométricamente isomorfos de ninguna manera, al contrario de la situación de dimensión finita. Esto se explica en el artículo sobre el espacio dual.

Además, la noción de derivada puede extenderse a funciones arbitrarias entre espacios de Banach. Véase, por ejemplo, el artículo sobre la derivada de Fréchet .

Análisis funcional lineal

^[6]

Resultados principales y fundamentales

Hay cuatro teoremas principales que a veces se denominan los cuatro pilares del análisis funcional:

• El teorema de Hahn-Banach
• El teorema de mapeo abierto
• El teorema del grafo cerrado
• el principio de acotación uniforme , también conocido como teorema de Banach-Steinhaus .

Los resultados importantes del análisis funcional incluyen:

Principio de acotación uniforme

El principio de acotación uniforme o teorema de Banach-Steinhaus es uno de los resultados fundamentales del análisis funcional. Junto con el teorema de Hahn-Banach y el teorema de aplicación abierta , se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y, por lo tanto, operadores acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach , la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme en la norma del operador.

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus, pero también fue demostrado independientemente por Hans Hahn .

Teorema (Principio de acotación uniforme)  —  Sea un espacio de Banach y un espacio vectorial normado . Supongamos que es una colección de operadores lineales continuos de a . Si para todo en uno tiene entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$$ $${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}$$

Teorema espectral

Hay muchos teoremas conocidos como el teorema espectral , pero uno en particular tiene muchas aplicaciones en el análisis funcional.

Teorema espectral ^[7]  —  Sea un operador autoadjunto acotado en un espacio de Hilbert . Entonces existe un espacio de medida y una función medible esencialmente acotada y de valor real en y un operador unitario tal que donde T es el operador de multiplicación : y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U:H\to L_{\mu }^{2}(X)}$ $${\displaystyle U^{*}TU=A}$$ $${\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).}$$ ${\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}$

Este es el comienzo de la vasta área de investigación del análisis funcional llamada teoría de operadores ; véase también la medida espectral .

También existe un teorema espectral análogo para operadores normales acotados en espacios de Hilbert. La única diferencia en la conclusión es que ahora pueden tener valores complejos. ${\displaystyle f}$

Teorema de Hahn-Banach

El teorema de Hahn-Banach es una herramienta central en el análisis funcional. Permite la extensión de los funcionales lineales acotados definidos en un subespacio de algún espacio vectorial a todo el espacio, y también demuestra que hay "suficientes" funcionales lineales continuos definidos en cada espacio vectorial normado para hacer "interesante" el estudio del espacio dual .

Teorema de Hahn-Banach: ^[8]  —  Si es una función sublineal , y es un funcional lineal en un subespacio lineal que está dominado por en ; es decir, entonces existe una extensión lineal de a todo el espacio que está dominado por en ; es decir, existe un funcional lineal tal que ${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}$$ ${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\varphi (x)&\forall x\in U,\\\psi (x)&\leq p(x)&\forall x\in V.\end{aligned}}}$$

Teorema de mapeo abierto

El teorema de aplicación abierta , también conocido como teorema de Banach-Schauder (llamado así por Stefan Banach y Juliusz Schauder ), es un resultado fundamental que establece que si un operador lineal continuo entre espacios de Banach es sobreyectivo , entonces es una aplicación abierta . Más precisamente, ^[8]

Teorema de aplicación abierta  :  si y son espacios de Banach y es un operador lineal continuo sobreyectivo, entonces es una aplicación abierta (es decir, si es un conjunto abierto en , entonces es abierto en ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A(U)}$ ${\displaystyle Y}$

La prueba utiliza el teorema de categorías de Baire y la completitud de ambos y es esencial para el teorema. El enunciado del teorema ya no es verdadero si se supone que cualquiera de los espacios es un espacio normado , pero es verdadero si y se toman como espacios de Fréchet . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Teorema del grafo cerrado

Teorema de grafo cerrado  :  si es un espacio topológico y es un espacio de Hausdorff compacto , entonces el grafo de una función lineal de a es cerrado si y solo si es continuo . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$

Otros temas

Fundamentos de consideraciones matemáticas

La mayoría de los espacios considerados en el análisis funcional tienen dimensión infinita. Para demostrar la existencia de una base de espacio vectorial para tales espacios puede ser necesario el lema de Zorn . Sin embargo, un concepto algo diferente, la base de Schauder , suele ser más relevante en el análisis funcional. Muchos teoremas requieren el teorema de Hahn-Banach , que suele demostrarse utilizando el axioma de elección , aunque el teorema del ideal primo de Boole, estrictamente más débil, es suficiente. El teorema de la categoría de Baire , necesario para demostrar muchos teoremas importantes, también requiere una forma de axioma de elección.

Puntos de vista

El análisis funcional incluye las siguientes tendencias:

• Análisis abstracto . Un enfoque de análisis basado en grupos topológicos , anillos topológicos y espacios vectoriales topológicos .
• La geometría de los espacios de Banach abarca muchos temas. Uno es el enfoque combinatorio relacionado con Jean Bourgain ; otro es una caracterización de los espacios de Banach en los que se cumplen varias formas de la ley de los grandes números .
• Geometría no conmutativa . Desarrollada por Alain Connes , en parte basándose en nociones anteriores, comoel enfoque de George Mackey sobre la teoría ergódica .
• Conexión con la mecánica cuántica . Ya sea definida de manera estricta como en la física matemática , o interpretada de manera amplia, por ejemplo, por Israel Gelfand , para incluir la mayoría de los tipos de teoría de la representación .

Véase también

• Lista de temas de análisis funcional
• Teoría espectral

Referencias

1. Lawvere, F. William. "Funcionales de Volterra y cohesión covariante del espacio" (PDF) . acsu.buffalo.edu . Actas de la reunión de mayo de 1997 en Perugia. Archivado desde el original (PDF) el 2003-04-07 . Consultado el 2018-06-12 .
2. Saraiva, Luís (octubre de 2004). Historia de las Ciencias Matemáticas. WORLD SCIENTIFIC. p. 195. doi :10.1142/5685. ISBN 978-93-86279-16-3.
3. Bowers, Adam; Kalton, Nigel J. (2014). Un curso introductorio de análisis funcional . Springer . pág. 1.
4. Cadetes, Vladimir (2018). Un curso de análisis funcional y teoría de medidas [ КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ]. Saltador . págs. xvi.
5. Riesz, Frigyes (1990). Análisis funcional. Béla Szőkefalvi-Nagy, Leo F. Boron (Dover ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 195-199. ISBN 0-486-66289-6.OCLC 21228994  .
6. Rynne, Bryan; Youngson, Martin A. (29 de diciembre de 2007). Análisis funcional lineal. Springer . Consultado el 30 de diciembre de 2023 .
7. Hall, Brian C. (19 de junio de 2013). Teoría cuántica para matemáticos. Springer Science & Business Media . pág. 147. ISBN 978-1-4614-7116-5.
8. Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5.
9. Munkres, James R. (2000). Topología. Prentice Hall, Incorporated. pág. 171. ISBN 978-0-13-181629-9.

Lectura adicional

• Aliprantis, CD, Border, KC: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , 3.ª ed., Springer 2007, ISBN 978-3-540-32696-0 . Doi en línea : 10.1007/3-540-29587-9 (por suscripción) 
• Bachman, G., Narici, L.: Análisis funcional , Academic Press, 1966. (reimpresión Dover Publications)
• Banach S. Teoría de operaciones lineales Archivado el 28 de octubre de 2021 en Wayback Machine . Volumen 38, North-Holland Mathematical Library, 1987, ISBN 0-444-70184-2 
• Brezis, H .: Analizar Fonctionnelle , Dunod ISBN 978-2-10-004314-9 o ISBN 978-2-10-049336-4  
• Conway, JB : Un curso de análisis funcional , 2.ª edición, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5 
• Dunford, N. y Schwartz, JT : Operadores lineales, teoría general, John Wiley & Sons y otros 3 volúmenes, incluye gráficos de visualización
• Edwards, RE: Análisis funcional, teoría y aplicaciones , Hold, Rinehart y Winston, 1965.
• Eidelman, Yuli, Vitali Milman y Antonis Tsolomitis: Análisis funcional: una introducción , American Mathematical Society, 2004.
• Friedman, A. : Fundamentos del análisis moderno , Dover Publications, edición de bolsillo, 21 de julio de 2010
• Giles, JR: Introducción al análisis de espacios lineales normados , Cambridge University Press, 2000
• Hirsch F., Lacombe G. - "Elementos del análisis funcional", Springer 1999.
• Hutson, V., Pym, JS, Cloud MJ: Aplicaciones del análisis funcional y la teoría de operadores , 2.ª edición, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1 
• Kantorovitz, S., Introducción al análisis moderno , Oxford University Press, 2003, 2ª ed.2006.
• Kolmogorov, AN y Fomin, SV : Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional , Dover Publications, 1999
• Kreyszig, E. : Análisis funcional introductorio con aplicaciones , Wiley, 1989.
• Lax, P. : Análisis funcional , Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1 
• Lebedev, LP y Vorovich, II: Análisis funcional en mecánica , Springer-Verlag, 2002
• Michel, Anthony N. y Charles J. Herget: Álgebra aplicada y análisis funcional , Dover, 1993.
• Pietsch, Albrecht: Historia de los espacios de Banach y los operadores lineales , Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6 
• Reed, M. , Simon, B. : "Análisis funcional", Academic Press 1980.
• Riesz, F. y Sz.-Nagy, B.: Análisis funcional , Dover Publications, 1990
• Rudin, W. : Análisis funcional , McGraw-Hill Science, 1991
• Saxe, Karen: Introducción al análisis funcional , Springer, 2001
• Schechter, M.: Principios del análisis funcional , AMS, 2.ª edición, 2001
• Shilov, Georgi E.: Análisis funcional elemental , Dover, 1996.
• Sobolev, SL : Aplicaciones del análisis funcional en la física matemática , AMS, 1963
• Vogt, D., Meise, R.: Introducción al análisis funcional , Oxford University Press, 1997.
• Yosida, K. : Análisis funcional , Springer-Verlag, 6.ª edición, 1980

Enlaces externos

• "Análisis funcional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Temas de análisis real y funcional por Gerald Teschl , Universidad de Viena.
• Apuntes de la clase sobre análisis funcional, a cargo de Yevgeny Vilensky, Universidad de Nueva York.
• Vídeos de conferencias sobre análisis funcional por Greg Morrow Archivado el 1 de abril de 2017 en Wayback Machine de la Universidad de Colorado, Colorado Springs