análisis de Fourier

rama de las matemáticas

Señal de tiempo del bajo de la nota La de cuerda al aire (55 Hz).

Transformada de Fourier de la señal temporal de un bajo de una nota La de cuerda al aire (55 Hz). El análisis de Fourier revela los componentes oscilatorios de señales y funciones .

En matemáticas , el análisis de Fourier ( / ˈf ʊr i eɪ , -i ər / ) ^[1] es el estudio de la forma en que las funciones generales pueden representarse o aproximarse mediante sumas de funciones trigonométricas más simples . El análisis de Fourier surgió del estudio de las series de Fourier y lleva el nombre de Joseph Fourier , quien demostró que representar una función como una suma de funciones trigonométricas simplifica enormemente el estudio de la transferencia de calor .

El tema del análisis de Fourier abarca un amplio espectro de las matemáticas. En las ciencias y la ingeniería, el proceso de descomponer una función en componentes oscilatorios suele denominarse análisis de Fourier, mientras que la operación de reconstruir la función a partir de estas piezas se conoce como síntesis de Fourier . Por ejemplo, determinar qué frecuencias componentes están presentes en una nota musical implicaría calcular la transformada de Fourier de una nota musical muestreada. Luego se podría resintetizar el mismo sonido incluyendo los componentes de frecuencia como se revela en el análisis de Fourier. En matemáticas, el término análisis de Fourier suele referirse al estudio de ambas operaciones.

El proceso de descomposición en sí se llama transformación de Fourier . Su salida, la transformada de Fourier , a menudo recibe un nombre más específico, que depende del dominio y otras propiedades de la función que se transforma. Además, el concepto original del análisis de Fourier se ha ido ampliando con el tiempo para aplicarse a situaciones cada vez más abstractas y generales, y el campo general suele conocerse como análisis armónico . Cada transformada utilizada para el análisis (consulte la lista de transformadas relacionadas con Fourier ) tiene una transformada inversa correspondiente que se puede utilizar para la síntesis.

Para utilizar el análisis de Fourier, los datos deben estar igualmente espaciados. Se han desarrollado diferentes enfoques para analizar datos espaciados desigualmente, en particular los métodos de análisis espectral de mínimos cuadrados (LSSA) que utilizan un ajuste de mínimos cuadrados de sinusoides a muestras de datos, similar al análisis de Fourier. ^{[2] [3]} El análisis de Fourier, el método espectral más utilizado en la ciencia, generalmente aumenta el ruido de período largo en registros con espacios largos; LSSA mitiga tales problemas. ^[4]

Aplicaciones

El análisis de Fourier tiene muchas aplicaciones científicas: en física , ecuaciones diferenciales parciales , teoría de números , combinatoria , procesamiento de señales , procesamiento de imágenes digitales , teoría de probabilidades , estadística , ciencia forense , fijación de precios de opciones , criptografía , análisis numérico , acústica , oceanografía , sonar , óptica , difracción. , geometría , análisis de estructura de proteínas y otras áreas.

Esta amplia aplicabilidad se debe a muchas propiedades útiles de las transformaciones:

• Las transformadas son operadores lineales y, con una normalización adecuada, también son unitarias (una propiedad conocida como teorema de Parseval o, más generalmente, como teorema de Plancherel , y más generalmente a través de la dualidad de Pontryagin ). ^[5]
• Las transformaciones suelen ser invertibles.
• Las funciones exponenciales son funciones propias de diferenciación , lo que significa que esta representación transforma ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes en algebraicas ordinarias. ^[6] Por lo tanto, el comportamiento de un sistema lineal invariante en el tiempo se puede analizar en cada frecuencia de forma independiente.
• Según el teorema de convolución , las transformadas de Fourier convierten la complicada operación de convolución en una multiplicación simple, lo que significa que proporcionan una forma eficiente de calcular operaciones basadas en convolución, como el filtrado de señales, la multiplicación de polinomios y la multiplicación de números grandes . ^[7]
• La versión discreta de la transformada de Fourier (ver más abajo) se puede evaluar rápidamente en computadoras utilizando algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT). ^[8]

En medicina forense, los espectrofotómetros infrarrojos de laboratorio utilizan el análisis de transformada de Fourier para medir las longitudes de onda de la luz en las que un material absorberá en el espectro infrarrojo. El método FT se utiliza para decodificar las señales medidas y registrar los datos de longitud de onda. Y utilizando una computadora, estos cálculos de Fourier se llevan a cabo rápidamente, de modo que en cuestión de segundos, un instrumento FT-IR operado por computadora puede producir un patrón de absorción infrarroja comparable al de un instrumento prismático. ^[9]

La transformada de Fourier también es útil como representación compacta de una señal. Por ejemplo, la compresión JPEG utiliza una variante de la transformación de Fourier ( transformada de coseno discreto ) de pequeños trozos cuadrados de una imagen digital. Los componentes de Fourier de cada cuadrado se redondean para reducir la precisión aritmética y los componentes débiles se eliminan por completo, de modo que los componentes restantes se pueden almacenar de forma muy compacta. En la reconstrucción de imágenes, cada cuadrado de la imagen se vuelve a ensamblar a partir de los componentes transformados de Fourier aproximados conservados, que luego se transforman inversamente para producir una aproximación de la imagen original.

En el procesamiento de señales , la transformada de Fourier a menudo toma una serie de tiempo o una función de tiempo continuo y la transforma en un espectro de frecuencia . Es decir, lleva una función del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia ; es una descomposición de una función en sinusoides de diferentes frecuencias; en el caso de una serie de Fourier o transformada discreta de Fourier , las sinusoides son armónicos de la frecuencia fundamental de la función que se analiza.

Cuando una función es función del tiempo y representa una señal física , la transformada tiene una interpretación estándar como el espectro de frecuencia de la señal. La magnitud de la función de valores complejos resultante en frecuencia representa la amplitud de un componente de frecuencia cuya fase inicial está dada por el ángulo de (coordenadas polares). ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S(f)}$

Las transformadas de Fourier no se limitan a funciones del tiempo y frecuencias temporales. Se pueden aplicar igualmente para analizar frecuencias espaciales y, de hecho, para casi cualquier dominio de función. Esto justifica su uso en campos tan diversos como el procesamiento de imágenes , la conducción de calor y el control automático .

Al procesar señales, como audio , ondas de radio , ondas de luz, ondas sísmicas e incluso imágenes, el análisis de Fourier puede aislar componentes de banda estrecha de una forma de onda compuesta, concentrándolos para facilitar su detección o eliminación. Una gran familia de técnicas de procesamiento de señales consiste en la transformación de Fourier de una señal, la manipulación de los datos transformados de Fourier de una manera sencilla y la inversión de la transformación. ^[10]

Algunos ejemplos incluyen:

• Ecualización de grabaciones de audio con una serie de filtros de paso de banda ;
• Recepción de radio digital sin circuito superheterodino , como en un teléfono móvil moderno o en un escáner de radio ;
• Procesamiento de imágenes para eliminar artefactos periódicos o anisotrópicos , como irregularidades de videos entrelazados , artefactos de tiras de fotografías aéreas o patrones de ondas de interferencias de radiofrecuencia en una cámara digital;
• Correlación cruzada de imágenes similares para alineación;
• Cristalografía de rayos X para reconstruir una estructura cristalina a partir de su patrón de difracción;
• Espectrometría de masas por resonancia de ciclotrón de iones de transformada de Fourier para determinar la masa de iones a partir de la frecuencia del movimiento del ciclotrón en un campo magnético;
• Muchas otras formas de espectroscopia, incluidas las espectroscopias de resonancia magnética nuclear y infrarroja ;
• Generación de espectrogramas de sonido utilizados para analizar sonidos;
• Sonar pasivo utilizado para clasificar objetivos según el ruido de la maquinaria.

Variantes del análisis de Fourier

Una transformada de Fourier y 3 variaciones causadas por el muestreo periódico (en el intervalo T) y/o la suma periódica (en el intervalo P) de la función subyacente en el dominio del tiempo. La relativa facilidad computacional de la secuencia DFT y la información que brinda sobre S ( f ) la convierten en una herramienta de análisis popular.

(Continua) Transformada de Fourier

Muy a menudo, el término simple transformada de Fourier se refiere a la transformada de funciones de un argumento real continuo y produce una función continua de frecuencia, conocida como distribución de frecuencia . Una función se transforma en otra y la operación es reversible. Cuando el dominio de la función de entrada (inicial) es el tiempo ( t ), y el dominio de la función de salida (final) es la frecuencia ordinaria , la transformada de la función s ( t ) en la frecuencia f viene dada por el número complejo :

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}$

La evaluación de esta cantidad para todos los valores de f produce la función en el dominio de la frecuencia . Entonces s ( t ) se puede representar como una recombinación de exponenciales complejas de todas las frecuencias posibles:

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}$

que es la fórmula de transformación inversa. El número complejo, S ( f ) , transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia f .

Consulte Transformada de Fourier para obtener mucha más información, que incluye:

• convenciones para normalización de amplitud y escalado/unidades de frecuencia
• transformar propiedades
• transformaciones tabuladas de funciones específicas
• una extensión/generalización para funciones de múltiples dimensiones, como imágenes.

series de Fourier

La transformada de Fourier de una función periódica, s _P ( t ) , con período P , se convierte en una función peine de Dirac , modulada por una secuencia de coeficientes complejos :

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (donde ∫ _P es la integral sobre cualquier intervalo de longitud P ).

La transformada inversa, conocida como serie de Fourier , es una representación de s _P ( t ) en términos de una suma de un número potencialmente infinito de sinusoides armónicamente relacionadas o funciones exponenciales complejas , cada una con una amplitud y fase especificada por uno de los coeficientes:

${\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}$

Cualquier s _P ( t ) se puede expresar como una suma periódica de otra función, s ( t ) :

${\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}$

y los coeficientes son proporcionales a muestras de S ( f ) en intervalos discretos de1/PAG:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[A]

Tenga en cuenta que cualquier s ( t ) cuya transformada tenga los mismos valores de muestra discretos se puede utilizar en la suma periódica. Una condición suficiente para recuperar s ( t ) (y por lo tanto S ( f ) ) solo de estas muestras (es decir, de la serie de Fourier) es que la porción distinta de cero de s ( t ) se limite a un intervalo conocido de duración P , que es el dominio de frecuencia dual del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon .

Consulte la serie de Fourier para obtener más información, incluido el desarrollo histórico.

Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)

El DTFT es el dual matemático de la serie de Fourier en el dominio del tiempo. Por tanto, una suma periódica convergente en el dominio de la frecuencia puede representarse mediante una serie de Fourier, cuyos coeficientes son muestras de una función de tiempo continua relacionada:

${\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier series (DTFT)}}} _{\text{Poisson summation formula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,}$

que se conoce como DTFT. Por tanto, la DTFT de la secuencia s [ n ] es también la transformada de Fourier de la función de peine de Dirac modulada . ^[B]

Los coeficientes de la serie de Fourier (y la transformada inversa) se definen por:

${\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.}$

El parámetro T corresponde al intervalo de muestreo, y esta serie de Fourier ahora puede reconocerse como una forma de la fórmula de suma de Poisson . Por lo tanto, tenemos el importante resultado de que cuando una secuencia de datos discreta, s [ n ] , es proporcional a muestras de una función continua subyacente, s ( t ) , se puede observar una suma periódica de la transformada continua de Fourier, S ( f ) . Tenga en cuenta que cualquier s ( t ) con los mismos valores de muestra discretos produce la misma DTFT. Pero bajo ciertas condiciones idealizadas, teóricamente se puede recuperar S ( f ) y s ( t ) exactamente. Una condición suficiente para una recuperación perfecta es que la porción distinta de cero de S ( f ) se limite a un intervalo de frecuencia conocido de ancho1/t. Cuando ese intervalo es [-1/2 cucharadas,1/2 cucharadas] , la fórmula de reconstrucción aplicable es la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon . Esta es una piedra angular en la base del procesamiento de señales digitales .

Otra razón para estar interesado en S _{1/ T} ( f ) es que a menudo proporciona información sobre la cantidad de aliasing causado por el proceso de muestreo.

Las aplicaciones de DTFT no se limitan a funciones muestreadas. Consulte Transformada de Fourier en tiempo discreto para obtener más información sobre este y otros temas, incluidos:

• unidades de frecuencia normalizadas
• ventanas (secuencias de longitud finita)
• transformar propiedades
• transformaciones tabuladas de funciones específicas

Transformada discreta de Fourier (DFT)

Similar a una serie de Fourier, la DTFT de una secuencia periódica, con período , se convierte en una función de peine de Dirac, modulada por una secuencia de coeficientes complejos (ver DTFT § Datos periódicos ): ${\displaystyle s_{N}[n]}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle S[k]=\sum _{n}s_{N}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (donde Σ _n es la suma de cualquier secuencia de longitud N ).

La secuencia S [ k ] es lo que habitualmente se conoce como DFT de un ciclo de s _N. También es N -periódico, por lo que nunca es necesario calcular más de N coeficientes. La transformada inversa, también conocida como serie discreta de Fourier , viene dada por:

${\displaystyle s_{N}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},}$   donde Σ _k es la suma de cualquier secuencia de longitud N .

Cuando s _N [ n ] se expresa como una suma periódica de otra función:

${\displaystyle s_{N}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],}$   y   ^C] ${\displaystyle s[n]\,\triangleq \,s(nT),}$

los coeficientes son proporcionales a muestras de S _{1/ T} ( f ) a intervalos discretos de1/PAG=1/Nuevo Testamento:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[D]

Por el contrario, cuando se quiere calcular un número arbitrario ( N ) de muestras discretas de un ciclo de una DTFT continua, S _{1/ T} ( f ) , se puede hacer calculando la DFT relativamente simple de s _N [ n ] , como definido anteriormente. En la mayoría de los casos, N se elige igual a la longitud de la porción distinta de cero de s [ n ] . El aumento de N , conocido como relleno con ceros o interpolación , da como resultado muestras más estrechamente espaciadas de un ciclo de S _{1/ T} ( f ) . La disminución de N provoca superposición (adición) en el dominio del tiempo (análogo al aliasing ), lo que corresponde a la diezma en el dominio de la frecuencia. (ver Transformada de Fourier en tiempo discreto § L=N×I ) En la mayoría de los casos de interés práctico, la secuencia s [ n ] representa una secuencia más larga que fue truncada mediante la aplicación de una función de ventana de longitud finita o una matriz de filtros FIR .

La DFT se puede calcular utilizando un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT), lo que la convierte en una transformación práctica e importante en las computadoras.

Consulte Transformada discreta de Fourier para obtener mucha más información, que incluye:

• transformar propiedades
• aplicaciones
• transformaciones tabuladas de funciones específicas

Resumen

Para funciones periódicas, tanto la transformada de Fourier como la DTFT comprenden sólo un conjunto discreto de componentes de frecuencia (serie de Fourier), y las transformadas divergen en esas frecuencias. Una práctica común (no analizada anteriormente) es manejar esa divergencia mediante las funciones delta de Dirac y peine de Dirac . Pero la misma información espectral se puede discernir en un solo ciclo de la función periódica, ya que todos los demás ciclos son idénticos. De manera similar, las funciones de duración finita se pueden representar como una serie de Fourier, sin pérdida real de información, excepto que la periodicidad de la transformada inversa es un mero artefacto.

En la práctica es común que la duración de s ( •) se limite al período P o N. Pero estas fórmulas no exigen esa condición.

Propiedades de simetría

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, indicados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay un mapeo uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja: ^[11]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

De esto se desprenden varias relaciones, por ejemplo:

• La transformada de una función de valor real ( s _RE + s _RO ) es la función simétrica par S _RE + i S _IO . Por el contrario, una transformación simétrica par implica un dominio del tiempo de valor real.
• La transformada de una función con valores imaginarios ( i s _IE + i s _IO ) es la función simétrica impar S _RO + i S _IE , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función simétrica par ( s _RE + i s _IO ) es la función de valor real S _RE + S _RO , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función simétrica impar ( s _RO + i s _IE ) es la función de valor imaginario i S _IE + i S _IO , y lo contrario es cierto.

Historia

Una forma temprana de series armónicas se remonta a las antiguas matemáticas babilónicas , donde se utilizaban para calcular efemérides (tablas de posiciones astronómicas). ^{[12] [13] [14] [15]}

Los conceptos griegos clásicos de deferente y epiciclo en el sistema de astronomía ptolemaico estaban relacionados con las series de Fourier (ver Deferente y epiciclo § Formalismo matemático ).

En los tiempos modernos, Alexis Clairaut utilizó variantes de la transformada discreta de Fourier en 1754 para calcular una órbita, ^[16] que ha sido descrita como la primera fórmula para la DFT, ^[17] y en 1759 por Joseph Louis Lagrange , en computación. los coeficientes de una serie trigonométrica para una cuerda vibrante. ^[17] Técnicamente, el trabajo de Clairaut era una serie de sólo coseno (una forma de transformada de coseno discreta ), mientras que el trabajo de Lagrange era una serie de sólo seno (una forma de transformada de seno discreta ); Gauss utilizó una verdadera DFT coseno + seno en 1805 para la interpolación trigonométrica de órbitas de asteroides . ^[18] Euler y Lagrange discretizaron el problema de la cuerda vibrante, utilizando lo que hoy se llamaría muestras. ^[17]

Uno de los primeros avances modernos hacia el análisis de Fourier fue el artículo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations de Lagrange, que en el método de los resolutivos de Lagrange utilizó una descomposición compleja de Fourier para estudiar la solución de una cúbica: ^[19] Lagrange transformó las raíces x ₁ , x ₂ , x ₃ en los resolutivos:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}$

donde ζ es una raíz cúbica de la unidad , que es la DFT de orden 3.

Varios autores, en particular Jean le Rond d'Alembert y Carl Friedrich Gauss , utilizaron series trigonométricas para estudiar la ecuación del calor , ^[20] pero el avance revolucionario fue el artículo de 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides de Joseph . Fourier , cuya idea crucial fue modelar todas las funciones mediante series trigonométricas, introduciendo la serie de Fourier.

Los historiadores están divididos en cuanto a cuánto crédito dar a Lagrange y otros por el desarrollo de la teoría de Fourier: Daniel Bernoulli y Leonhard Euler habían introducido representaciones trigonométricas de funciones, y Lagrange había dado la solución en serie de Fourier a la ecuación de onda, por lo que la contribución de Fourier fue principalmente la La audaz afirmación de que una función arbitraria podría representarse mediante una serie de Fourier. ^[17]

El desarrollo posterior de este campo se conoce como análisis armónico y es también un ejemplo temprano de la teoría de la representación .

El primer algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT) para la DFT fue descubierto alrededor de 1805 por Carl Friedrich Gauss al interpolar mediciones de la órbita de los asteroides Juno y Pallas , aunque ese algoritmo FFT en particular se atribuye más a menudo a sus redescubridores modernos Cooley y Tukey . ^{[18] [16]}

Transformaciones tiempo-frecuencia

En términos de procesamiento de señales , una función (de tiempo) es una representación de una señal con una resolución de tiempo perfecta , pero sin información de frecuencia, mientras que la transformada de Fourier tiene una resolución de frecuencia perfecta , pero sin información de tiempo.

Como alternativas a la transformada de Fourier, en el análisis tiempo-frecuencia , se utilizan transformadas tiempo-frecuencia para representar señales en una forma que tiene cierta información de tiempo y cierta información de frecuencia; según el principio de incertidumbre , existe una compensación entre estas. Estas pueden ser generalizaciones de la transformada de Fourier, como la transformada de Fourier de tiempo corto , la transformada de Gabor o la transformada fraccionada de Fourier (FRFT), o pueden usar diferentes funciones para representar señales, como en las transformadas wavelet y chirplet , con el análogo wavelet. de la transformada de Fourier (continua) es la transformada wavelet continua .

Transformaciones de Fourier en grupos topológicos abelianos arbitrarios localmente compactos

Las variantes de Fourier también se pueden generalizar a transformadas de Fourier en grupos topológicos abelianos arbitrarios localmente compactos , que se estudian en análisis armónicos ; allí, la transformada de Fourier toma funciones de un grupo y pasa a funcionar en el grupo dual. Este tratamiento también permite una formulación general del teorema de convolución , que relaciona las transformadas de Fourier y las convoluciones . Véase también la dualidad de Pontryagin para conocer los fundamentos generalizados de la transformada de Fourier.

Más específicamente, el análisis de Fourier se puede realizar en clases laterales, ^[21] incluso en clases laterales discretas.

Ver también

• Serie conjugada de Fourier
• Serie de Fourier generalizada
• Serie de Fourier-Bessel
• Transformadas relacionadas con Fourier
• Transformada de Laplace (LT)
• Transformada de Laplace de dos caras
• Transformación de Mellin
• Transformada de Fourier discreta no uniforme (NDFT)
• Transformada cuántica de Fourier (QFT)
• Transformada de teoría de números
• Vectores básicos
• Biespectro
• Función característica (teoría de la probabilidad)
• Funciones ortogonales
• espacio de schwartz
• Densidad espectral
• Estimación de densidad espectral
• musica espectral
• función de Walsh
• Ondícula

Notas

1. ${\displaystyle \int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt} _{\triangleq \,S\left({\frac {k}{P}}\right)}}$
2. También podemos observar que:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(nT)\delta (t-nT)&=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(t)\delta (t-nT)\\&=s(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT).\end{aligned}}}$

   En consecuencia, una práctica común es modelar el "muestreo" como una multiplicación por la función peine de Dirac , lo que por supuesto sólo es "posible" en un sentido puramente matemático.
   
   
3. Tenga en cuenta que esta definición difiere intencionalmente de la sección DTFT por un factor de T. Esto facilita la tabla de "transformaciones". Alternativamente, se puede definir como en cuyo caso ${\displaystyle s(nT)}$ ${\displaystyle s[n]}$ ${\displaystyle T\cdot s(nT),}$ ${\displaystyle S[k]=S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$
4. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s([n-mN]T)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}=\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\triangleq \,{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\right)}}$

Referencias

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Otras lecturas

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• Polianina, AD; Manzhirov, AV (1998). Manual de ecuaciones integrales . Boca Ratón: CRC Press. ISBN 978-0-8493-2876-3.
• Smith, Steven W. (1999). La guía para científicos e ingenieros sobre el procesamiento de señales digitales (Segunda ed.). San Diego: Publicaciones técnicas de California. ISBN 978-0-9660176-3-2.
• Stein, EM; Weiss, G. (1971). Introducción al análisis de Fourier sobre espacios euclidianos . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-08078-9.

enlaces externos

• Tablas de transformadas integrales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Una explicación intuitiva de la teoría de Fourier de Steven Lehar.
• Conferencias sobre procesamiento de imágenes: una colección de 18 conferencias en formato pdf de la Universidad de Vanderbilt. La lección 6 trata sobre la transformada de Fourier 1 y 2-D. Las conferencias 7 a 15 hacen uso de él., por Alan Peters
• Moriarty, Felipe; Bowley, Roger (2009). "Σ Suma (y análisis de Fourier)". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .
• Introducción al análisis de Fourier de series temporales en Medium