División larga

Algoritmo de división estándar para números de varios dígitos

En aritmética , la división larga es un algoritmo de división estándar adecuado para dividir números arábigos hindúes de varios dígitos ( notación posicional ) que es lo suficientemente simple como para realizarlo a mano. Divide un problema de división en una serie de pasos más sencillos.

Como en todos los problemas de división, un número, llamado dividendo , se divide por otro, llamado divisor , produciendo un resultado llamado cociente . Permite realizar cálculos que involucran números arbitrariamente grandes siguiendo una serie de pasos simples. ^[1] La forma abreviada de la división larga se llama división corta , que casi siempre se usa en lugar de la división larga cuando el divisor tiene solo un dígito.

Historia

Existen algoritmos similares desde el siglo XII. ^[2] Al-Samawal al-Maghribi (1125-1174) realizó cálculos con números decimales que esencialmente requieren una división larga, lo que conduce a resultados decimales infinitos, pero sin formalizar el algoritmo. ^[3] Caldrini (1491) es el primer ejemplo impreso de división larga, conocido como el método Danda en la Italia medieval, ^[4] y se volvió más práctico con la introducción de la notación decimal para fracciones por Pitiscus (1608). El algoritmo específico en uso moderno fue introducido por Henry Briggs alrededor de 1600. ^[5]

Educación

Las calculadoras y computadoras económicas se han convertido en la forma más común de resolver problemas de división, eliminando un ejercicio matemático tradicional y disminuyendo la oportunidad educativa de mostrar cómo hacerlo con técnicas de papel y lápiz. (Internamente, esos dispositivos utilizan uno de una variedad de algoritmos de división , los más rápidos de los cuales se basan en aproximaciones y multiplicaciones para lograr las tareas). En América del Norte, la división larga ha sido especialmente objeto de desestimación o incluso de eliminación del currículo escolar por parte de las matemáticas reformistas , aunque tradicionalmente se ha introducido en los grados 4º, 5º o incluso 6º. ^[6]

Método

En los países de habla inglesa, la división larga no utiliza los símbolos de división ⟨ ∕ ⟩ o el signo de división ⟨÷⟩ sino que construye una tabla . ^[7] El divisor está separado del dividendo por un paréntesis derecho ⟨ ) ⟩ o una barra vertical ⟨ | ⟩ ; el dividendo está separado del cociente por un vinculum (es decir, una barra superior ). La combinación de estos dos símbolos a veces se conoce como símbolo de división larga o corchete de división . ^[8] Se desarrolló en el siglo XVIII a partir de una notación anterior de una sola línea que separaba el dividendo del cociente por un paréntesis izquierdo . ^{[9] [10]}

El proceso comienza dividiendo el dígito más a la izquierda del dividendo por el divisor. El cociente (redondeado hacia abajo a un entero) se convierte en el primer dígito del resultado y se calcula el resto (este paso se anota como una resta). Este resto se mantiene cuando el proceso se repite en el siguiente dígito del dividendo (anotado como "bajar" el siguiente dígito al resto). Cuando se han procesado todos los dígitos y no queda ningún resto, el proceso está completo.

A continuación se muestra un ejemplo que representa la división de 500 por 4 (con un resultado de 125).

  1 2 5 (Explicaciones) 4)500 4 (4 × 1 = 4) 1 0 (5 - 4 = 1 ) 8 ( 4 × 2 = 8) 2 0 (10 - 8 = 2 ) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)

Un ejemplo de división larga realizada sin calculadora.

A continuación se ofrece un desglose más detallado de los pasos:

1. Encuentra la secuencia más corta de dígitos comenzando desde el extremo izquierdo del dividendo, 500, en la que el divisor 4 entre al menos una vez. En este caso, se trata simplemente del primer dígito, 5. El número más grande por el que se puede multiplicar el divisor 4 sin exceder 5 es 1, por lo que el dígito 1 se coloca encima del 5 para comenzar a construir el cociente.
2. A continuación, se multiplica el 1 por el divisor 4, para obtener el mayor número entero que sea múltiplo del divisor 4 sin sobrepasar el 5 (4 en este caso). A continuación, se coloca este 4 debajo del 5 y se le resta para obtener el resto, 1, que se coloca debajo del 4 debajo del 5.
3. A continuación, el primer dígito aún no utilizado en el dividendo, en este caso el primer dígito 0 después del 5, se copia directamente debajo de sí mismo y al lado del resto 1, para formar el número 10.
4. En este punto, el proceso se repite las veces suficientes para llegar a un punto de parada: el mayor número por el que se puede multiplicar el divisor 4 sin exceder 10 es 2, por lo que se escribe 2 arriba como el segundo dígito del cociente más a la izquierda. Luego, este 2 se multiplica por el divisor 4 para obtener 8, que es el mayor múltiplo de 4 que no excede 10; por lo tanto, se escribe 8 debajo de 10 y se realiza la resta 10 menos 8 para obtener el resto 2, que se coloca debajo del 8.
5. El siguiente dígito del dividendo (el último 0 de 500) se copia directamente debajo de sí mismo y al lado del resto 2 para formar 20. Luego, el número más grande por el cual se puede multiplicar el divisor 4 sin exceder 20, que es 5, se coloca encima como el tercer dígito del cociente más a la izquierda. Este 5 se multiplica por el divisor 4 para obtener 20, que se escribe debajo y se resta del 20 existente para obtener el resto 0, que luego se escribe debajo del segundo 20.
6. En este punto, como ya no quedan dígitos para restar del dividendo y el resultado de la última resta fue 0, podemos estar seguros de que el proceso ha terminado.

Si el último resto cuando nos quedamos sin dígitos de dividendos hubiera sido algo distinto de 0, habría habido dos posibles cursos de acción:

1. Podríamos detenernos allí y decir que el dividendo dividido por el divisor es el cociente escrito en la parte superior con el resto escrito en la parte inferior, y escribir la respuesta como el cociente seguido de una fracción que es el resto dividido por el divisor.
2. Podríamos extender el dividendo escribiéndolo como, digamos, 500.000... y continuar el proceso (utilizando un punto decimal en el cociente directamente encima del punto decimal en el dividendo), para obtener una respuesta decimal, como en el siguiente ejemplo.

  31,75  4)127,00 12 (12 ÷ 4 = 3)07 ( resto 0 , bajar la siguiente cifra) 4 (7 ÷ 4 = 1 r 3)  3.0 (baja el 0 y el punto decimal) 2.8 (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2) 20 (se baja un cero adicional) 20 (5 × 4 = 20) 0

En este ejemplo, la parte decimal del resultado se calcula continuando el proceso más allá del dígito de las unidades, "bajando" los ceros como parte decimal del dividendo.

Este ejemplo también ilustra que, al comienzo del proceso, se puede omitir un paso que produce un cero. Como el primer dígito 1 es menor que el divisor 4, el primer paso se realiza en los dos primeros dígitos 12. De manera similar, si el divisor fuera 13, se realizaría el primer paso en 127 en lugar de 12 o 1.

Procedimiento básico para la división larga den÷m

1. Encuentra la ubicación de todos los puntos decimales en el dividendo n y el divisor m .
2. Si es necesario, simplifique el problema de división larga moviendo los decimales del divisor y del dividendo por el mismo número de decimales, hacia la derecha (o hacia la izquierda), de modo que el decimal del divisor esté a la derecha del último dígito.
3. Al realizar una división larga, mantenga los números alineados directamente de arriba a abajo debajo de la tabla.
4. Después de cada paso, asegúrese de que el resto de ese paso sea menor que el divisor. Si no lo es, existen tres posibles problemas: la multiplicación es incorrecta, la resta es incorrecta o se necesita un cociente mayor.
5. Al final, el resto, r , se suma al cociente creciente como una fracción , r ⁄ n .

Propiedad invariante y corrección

La presentación básica de los pasos del proceso (arriba) se centra en los pasos que se deben realizar, en lugar de las propiedades de esos pasos que garantizan que el resultado será correcto (específicamente, que q × m + r = n , donde q es el cociente final y r el resto final). Una ligera variación de la presentación requiere más redacción y requiere que cambiemos, en lugar de solo actualizar, los dígitos del cociente, pero puede arrojar más luz sobre por qué estos pasos realmente producen la respuesta correcta al permitir la evaluación de q × m + r en puntos intermedios en el proceso. Esto ilustra la propiedad clave utilizada en la derivación del algoritmo (abajo).

En concreto, modificamos el procedimiento básico anterior de modo que rellenamos con 0 el espacio después de los dígitos del cociente en construcción, al menos hasta el lugar de los 1, e incluimos esos 0 en los números que escribimos debajo del corchete de división.

Esto nos permite mantener una relación invariante en cada paso: q × m + r = n , donde q es el cociente parcialmente construido (encima del corchete de división) y r el resto parcialmente construido (número inferior debajo del corchete de división). Nótese que, inicialmente q=0 y r=n , por lo que esta propiedad se cumple inicialmente; el proceso reduce r y aumenta q con cada paso, deteniéndose finalmente cuando r<m si buscamos la respuesta en forma de cociente + resto entero.

Revisando el ejemplo 500 ÷ 4 anterior, encontramos

  1 2 5 ( q , cambia de 000 a 100 a 1 20 a 1 2 5 según las notas a continuación) 4)500 400 ( 4 × 100 = 400) 100 (500 - 400 = 100 ; ahora q = 100 , r = 100 ; nota q × 4 + r = 500 .) 80 ( 4 × 20 = 80) 20 (100 - 80 = 20 ; ahora q = 1 20 , r = 20 ; nota q × 4 + r = 500 .) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 ( 20 - 20 = 0; ahora q = 1 2 5 , r = 0 ; tenga en cuenta q×4+r = 500 .)

Ejemplo con divisor de varios dígitos

Ejemplo animado de división larga de varios dígitos

Se puede utilizar un divisor de cualquier número de dígitos. En este ejemplo, se debe dividir 1260257 por 37. Primero, el problema se plantea de la siguiente manera:

   37)1260257

Se toman los dígitos del número 1260257 hasta que aparece un número mayor o igual a 37. Por lo tanto, 1 y 12 son menores que 37, pero 126 es mayor. A continuación, se calcula el mayor múltiplo de 37 menor o igual a 126. Por lo tanto, 3 × 37 = 111 < 126, pero 4 × 37 > 126. El múltiplo 111 se escribe debajo del 126 y el 3 se escribe en la parte superior, donde aparecerá la solución:

  3  37)1260257 111

Fíjate bien en qué columna de valor posicional se escriben estos dígitos. El 3 del cociente va en la misma columna (decenas de millar) que el 6 del dividendo 1260257, que es la misma columna que el último dígito de 111.

Luego se resta el 111 de la línea anterior, ignorando todos los dígitos a la derecha:

  3  37)1260257 111 15

Ahora, el dígito del siguiente valor posicional más pequeño del dividendo se copia y se agrega al resultado 15:

  3  37)1260257 111 150

El proceso se repite: se resta el mayor múltiplo de 37 menor o igual a 150. Esto es 148 = 4 × 37, por lo que se añade un 4 en la parte superior como siguiente dígito del cociente. Luego, el resultado de la resta se amplía con otro dígito tomado del dividendo:

  34  37)1260257 111 150 148 22

El mayor múltiplo de 37 menor o igual a 22 es 0 × 37 = 0. Al restar 0 a 22 obtenemos 22. A menudo no escribimos el paso de la resta. En su lugar, simplemente tomamos otro dígito del dividendo:

  340  37)1260257 111 150 148 225

El proceso se repite hasta que 37 divida exactamente la última línea:

  34061 37)1260257 111 150 148 225 222 37

División larga en modo mixto

Para las monedas no decimales (como el sistema británico de la libra esterlina antes de 1971) y las medidas (como el avoirdupois ) se debe utilizar la división de modo mixto . Considere dividir 50 millas y 600 yardas en 37 partes:

 mi - yd - pie - pulg  1 - 634 1 9 r. 15" 37) 50 - 600 - 0 - 0 37  22880  66  348 13 23480 66 348 1760  222  37  333 22880 128 29 15 ===== 111 348 == 170 === 148  22 66 ==

Cada una de las cuatro columnas se trabaja por turno. Empezando con las millas: 50/37 = 1 resto 13. No es posible realizar más divisiones, por lo que se realiza una multiplicación larga por 1.760 para convertir millas a yardas; el resultado es 22.880 yardas. Se lleva esto a la parte superior de la columna de yardas y se suma a las 600 yardas del dividendo, lo que da 23.480. La división larga de 23.480 / 37 ahora procede de manera normal y da como resultado 634 con un resto de 22. El resto se multiplica por 3 para obtener los pies y se lleva hasta la columna de los pies. La división larga de los pies da como resultado 1 resto 29 que luego se multiplica por doce para obtener 348 pulgadas. La división larga continúa con el resto final de 15 pulgadas que se muestra en la línea de resultados.

Interpretación de resultados decimales

Cuando el cociente no es un número entero y el proceso de división se extiende más allá del punto decimal, pueden suceder una de dos cosas:

1. El proceso puede terminar, lo que significa que se alcanza un resto de 0; o
2. Se podría llegar a un resto idéntico a un resto anterior que se produjo después de escribir los puntos decimales. En este último caso, continuar el proceso no tendría sentido, porque a partir de ese punto aparecería la misma secuencia de dígitos en el cociente una y otra vez. Por lo tanto, se dibuja una barra sobre la secuencia repetida para indicar que se repite para siempre (es decir, cada número racional es un decimal exacto o periódico ).

Notación en países no angloparlantes

China, Japón y Corea utilizan la misma notación que los países de habla inglesa, incluida la India. En el resto del mundo se utilizan los mismos principios generales, pero las cifras suelen estar organizadas de forma diferente.

América Latina

En América Latina (excepto Argentina , Bolivia , México , Colombia , Paraguay , Venezuela , Uruguay y Brasil ), el cálculo es casi exactamente el mismo, pero se escribe de forma diferente, como se muestra a continuación con los mismos dos ejemplos utilizados anteriormente. Por lo general, el cociente se escribe debajo de una barra dibujada debajo del divisor. A veces se dibuja una línea vertical larga a la derecha de los cálculos.

 500 ÷ 4 = 1 2 5 (Explicaciones) 4 ( 4 × 1 = 4) 1 0 ( 5 - 4 = 1 ) 8 ( 4 × 2 = 8) 2 0 (10 - 8 = 2 ) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)

y

 127 ÷ 4 = 31,75 124  30 (reducir 0; decimal a cociente) 28 (7 × 4 = 28) 20 (se añade un cero adicional) 20 (5 × 4 = 20) 0

En México se utiliza la notación del mundo angloparlante, excepto que sólo se anota el resultado de la resta y el cálculo se hace mentalmente, como se muestra a continuación:

  1 2 5 (Explicaciones) 4)500 1 0 ( 5 - 4 = 1 ) 2 0 ( 10 - 8 = 2 ) 0 (20 - 20 = 0)

En Bolivia , Brasil , Paraguay , Venezuela , Canadá francófono , Colombia y Perú , se utiliza la notación europea (ver más abajo), excepto que el cociente no está separado por una línea vertical, como se muestra a continuación:

 127| 4  − 124 31,75 30 − 28 20 - 20 0

En México , Uruguay y Argentina se aplica el mismo procedimiento , sólo se anota el resultado de la resta y el cálculo se hace mentalmente.

Eurasia

En España, Italia, Francia, Portugal, Lituania, Rumanía, Turquía, Grecia, Bélgica, Bielorrusia, Ucrania y Rusia, el divisor se encuentra a la derecha del dividendo y separado por una barra vertical. La división también se realiza en la columna, pero el cociente (resultado) se escribe debajo del divisor y separado por la línea horizontal. El mismo método se utiliza en Irán, Vietnam y Mongolia.

 127| 4  − 124 | 31,75 30 − 28 20 - 20 0

En Chipre, así como en Francia, una barra vertical larga separa el dividendo y las restas posteriores del cociente y el divisor, como en el ejemplo siguiente de 6359 dividido por 17, que es 374 con un resto de 1.

 6359| 17  − 51 | 374 125 | − 119 | 69| − 68 | 1|

Los números decimales no se dividen directamente, el dividendo y el divisor se multiplican por una potencia de diez, de modo que la división involucra dos números enteros. Por lo tanto, si uno estuviera dividiendo 12,7 por 0,4 (usando comas en lugar de puntos decimales), el dividendo y el divisor primero se cambiarían a 127 y 4, y luego la división se realizaría como se indicó anteriormente.

En Austria , Alemania y Suiza , se utiliza la forma de notación de una ecuación normal. <dividendo>: <divisor> = <cociente>, con los dos puntos : ", que denotan un símbolo infijo binario para el operador de división (análogo a "/" o "÷"). En estas regiones, el separador decimal se escribe como una coma (véase la primera sección de los países latinoamericanos mencionada anteriormente, donde se hace prácticamente de la misma manera):

 127 : 4 = 31,75 − 12 07 − 4 30 − 28 20 - 20 0

La misma notación se adopta en Dinamarca , Noruega , Bulgaria , Macedonia del Norte , Polonia , Croacia , Eslovenia , Hungría , República Checa , Eslovaquia , Vietnam y Serbia .

En los Países Bajos se utiliza la siguiente notación:

 12 / 135 \ 11,25 12 15 12 30 24 60 60 0

En Finlandia , el método italiano detallado anteriormente fue reemplazado por el angloamericano en la década de 1970. Sin embargo, a principios de la década de 2000, algunos libros de texto adoptaron el método alemán, ya que conserva el orden entre el divisor y el dividendo. ^[11]

Algoritmo para base arbitraria

Todo número natural puede representarse de forma única en una base numérica arbitraria como una secuencia de dígitos donde para todo , donde es el número de dígitos en . El valor de en términos de sus dígitos y la base es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n=\alpha _{0}\alpha _{1}\alpha _{2}...\alpha _{k-1}}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha _{i}<b}$ ${\displaystyle 0\leq i<k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}\alpha _{i}b^{k-i-1}}$

Sea el dividendo y el divisor, donde es el número de dígitos de . Si , entonces el cociente y el resto son . De lo contrario, iteramos desde , antes de detenernos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k<l}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle r=n}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$

Para cada iteración , sea el cociente extraído hasta el momento, sea el dividendo intermedio, sea el resto intermedio, sea el siguiente dígito del dividendo original y sea el siguiente dígito del cociente. Por definición de dígitos en base , . Por definición de resto, . Todos los valores son números naturales. Iniciamos ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0\leq \beta _{i}<b}$ ${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

${\displaystyle q_{-1}=0}$

${\displaystyle r_{-1}=\sum _{i=0}^{l-2}\alpha _{i}b^{l-2-i}}$

los primeros dígitos de . ${\displaystyle l-1}$ ${\displaystyle n}$

Con cada iteración, las tres ecuaciones son verdaderas:

${\displaystyle d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

${\displaystyle r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}}$

${\displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}}$

Sólo existe un tal tal que . ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

Prueba de existencia y unicidad de ${\displaystyle \beta _{i}}$

Según la definición del resto , ${\displaystyle r_{i}}$

${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

${\displaystyle 0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}<m}$

${\displaystyle m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}+1)}$

Para el lado izquierdo de la desigualdad, seleccionamos el mayor tal que ${\displaystyle \beta _{i}}$

${\displaystyle m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

Siempre hay un mayor tal , porque y si , entonces ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle 0\leq \beta _{i}<b}$ ${\displaystyle \beta _{i}=0}$

${\displaystyle 0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

pero como , , , esto siempre es cierto. Para el lado derecho de la desigualdad suponemos que existe un mínimo tal que ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle r_{i-1}\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha _{i+l-1}\geq 0}$ ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$

${\displaystyle br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}^{\prime }+1)}$

Dado que este es el valor más pequeño en el que la desigualdad es cierta, esto debe significar que para ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }-1}$

${\displaystyle br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}\geq m\beta _{i}^{\prime }}$

que es exactamente lo mismo que el lado izquierdo de la desigualdad. Por lo tanto, . Como siempre existirá, entonces será igual a , y solo hay un único que es válido para la desigualdad. Por lo tanto, hemos demostrado la existencia y unicidad de . ${\displaystyle \beta _{i}=\beta _{i}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$

El cociente final es y el resto final es ${\displaystyle q=q_{k-l}}$ ${\displaystyle r=r_{k-l}}$

Ejemplos

En base 10 , utilizando el ejemplo anterior con y , los valores iniciales y . ${\displaystyle n=1260257}$ ${\displaystyle m=37}$ ${\displaystyle q_{-1}=0}$ ${\displaystyle r_{-1}=1}$

Por lo tanto, y . ${\displaystyle q=34061}$ ${\displaystyle r=0}$

En base 16 , con y , los valores iniciales son y . ${\displaystyle n={\text{f412df}}}$ ${\displaystyle m=12}$ ${\displaystyle q_{-1}=0}$ ${\displaystyle r_{-1}={\text{f}}}$

Por lo tanto, y . ${\displaystyle q={\text{d8f45}}}$ ${\displaystyle r={\text{5}}}$

Si no se tienen memorizadas las tablas de suma , resta o multiplicación de base b , este algoritmo funciona igualmente si los números se convierten a decimal y al final se vuelven a convertir a base b . Por ejemplo, con el ejemplo anterior,

${\displaystyle n={\text{f412df}}_{16}=15\cdot 16^{5}+4\cdot 16^{4}+1\cdot 16^{3}+2\cdot 16^{2}+13\cdot 16^{1}+15\cdot 16^{0}}$

y

${\displaystyle m={\text{12}}_{16}=1\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}=18}$

con . Los valores iniciales son y . ${\displaystyle b=16}$ ${\displaystyle q_{-1}=0}$ ${\displaystyle r_{-1}=15}$

Por lo tanto, y . ${\displaystyle q=16^{4}\cdot 13+16^{3}\cdot 8+16^{2}\cdot 15+16^{1}\cdot 4+5={\text{d8f45}}_{16}}$ ${\displaystyle r=5={\text{5}}_{16}}$

Este algoritmo se puede realizar utilizando el mismo tipo de notaciones de lápiz y papel que se muestran en las secciones anteriores.

  d8f45 r.5 12 ) f412df cada uno a1 90 112 10e 4d 48 5f 5a 5

Cocientes racionales

Si el cociente no está restringido a ser un entero, entonces el algoritmo no termina para . En cambio, si entonces por definición. Si el resto es igual a cero en cualquier iteración, entonces el cociente es una fracción -ádica y se representa como una expansión decimal finita en notación posicional base. De lo contrario, sigue siendo un número racional pero no un racional -ádico y, en cambio, se representa como una expansión decimal periódica infinita en notación posicional base. ${\displaystyle i>k-l}$ ${\displaystyle i>k-l}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

División binaria

Actuación

En cada iteración, la tarea que consume más tiempo es seleccionar . Sabemos que hay valores posibles, por lo que podemos encontrar usando comparaciones . Cada comparación requerirá evaluar . Sea el número de dígitos en el dividendo y el número de dígitos en el divisor . El número de dígitos en . La multiplicación de es por lo tanto , y lo mismo ocurre con la resta de . Por lo tanto, se tarda en seleccionar . El resto del algoritmo son la suma y el desplazamiento de dígitos de y a la izquierda un dígito, por lo que lleva tiempo y en base , por lo que cada iteración lleva , o solo . Para todos los dígitos, el algoritmo lleva tiempo , o en base . ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle O(\log(b))}$ ${\displaystyle d_{i}-m\beta _{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle d_{i}\leq l+1}$ ${\displaystyle m\beta _{i}}$ ${\displaystyle O(l)}$ ${\displaystyle d_{i}-m\beta _{i}}$ ${\displaystyle O(l\log(b))}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle O(k)}$ ${\displaystyle O(l)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle O(l\log(b)+k+l)}$ ${\displaystyle O(l\log(b)+k)}$ ${\displaystyle k-l+1}$ ${\displaystyle O((k-l+1)(l\log(b)+k))}$ ${\displaystyle O(kl\log(b)+k^{2})}$ ${\displaystyle b}$

Generalizaciones

Números racionales

La división larga de números enteros se puede extender fácilmente para incluir dividendos no enteros, siempre que sean racionales . Esto se debe a que cada número racional tiene una expansión decimal periódica . El procedimiento también se puede extender para incluir divisores que tienen una expansión decimal finita o terminal (es decir, fracciones decimales ). En este caso, el procedimiento implica multiplicar el divisor y el dividendo por la potencia de diez adecuada para que el nuevo divisor sea un número entero, aprovechando el hecho de que a  ÷  b = ( ca ) ÷ ( cb ) - y luego proceder como se indicó anteriormente.

Polinomios

También se utiliza una versión generalizada de este método llamada división larga de polinomios para dividir polinomios (a veces utilizando una versión abreviada llamada división sintética ).

Véase también

• Algorismo
• Aritmética de precisión arbitraria
• Multiplicación y división egipcia
• Aritmética elemental
• División de Fourier
• División larga de polinomios
• División corta

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "División larga". MathWorld .
2. "Matemáticas islámicas". new.math.uiuc.edu . Consultado el 31 de marzo de 2016 .
3. Victor J. Katz, Una historia de las matemáticas: una introducción, Addison-Wesley, 2008
4. Will Windsor y George Booker (2005). "Un análisis histórico del concepto de división" (PDF) .
5. Henry Briggs - Referencia de Oxford.
6. Klein, Milgram. "El papel de la división larga en el currículo K-12" (PDF) . CiteSeer . Consultado el 21 de junio de 2019 .
7. Nicholson, W. Keith (2012), Introducción al álgebra abstracta, 4ª ed., John Wiley & Sons, pág. 206.
8. "Símbolo de división larga", Wolfram MathWorld , consultado el 11 de febrero de 2016.
9. Miller, Jeff (2010), "Símbolos de operación", Los primeros usos de varios símbolos matemáticos.
10. Hill, John (1772) [Publicado por primera vez en 1712], Arithmetick both in the theory and practice (11.ª ed.), Londres: Straben et al., pág. 200 , consultado el 12 de febrero de 2016
11. Ikäheimo, Hannele: Jakolaskuun ymmärrystä ( en finlandés )

Enlaces externos

• Algoritmo de división larga
• División larga y lema de Euclides