División corta

En aritmética , la división corta es un algoritmo de división que descompone un problema de división en una serie de pasos más sencillos. Es una forma abreviada de la división larga , en la que se omiten los productos y los restos parciales se anotan como superíndices .

Como resultado, una tabla de división corta es más corta que su contraparte de división larga, aunque a veces a costa de depender del cálculo mental , lo que podría limitar el tamaño del divisor .

Para la mayoría de las personas, los divisores enteros pequeños hasta 12 se manejan utilizando tablas de multiplicar memorizadas , aunque el procedimiento también podría adaptarse a divisores más grandes.

Como en todos los problemas de división, un número llamado dividendo se divide por otro, llamado divisor . La respuesta del problema sería el cociente y, en el caso de la división euclidiana , también se incluiría el resto .

Utilizando la división corta, se pueden manejar dividendos arbitrariamente grandes. ^[1]

Cuadro

La división corta no utiliza los símbolos de barra (/) o de división (÷). En su lugar, muestra el dividendo, el divisor y el cociente (cuando se encuentra) en una tabla . A continuación se muestra un ejemplo que representa la división de 500 por 4. El cociente es 125.

{\begin{array}{r}125\\4{\overline {)500}}\\\end{array}}

Alternativamente, la barra puede colocarse debajo del número, lo que significa que la suma continúa hacia abajo en la página. Esto se diferencia de la división larga , donde el espacio debajo del dividendo es necesario para realizar los cálculos:

{\begin{array}{r}4{\underline {)500}}\\125\\\end{array}}

Ejemplo

El procedimiento consta de varios pasos. Por ejemplo, supongamos que 950 se divide entre 4:

El dividendo y el divisor se escriben en la tabla de división corta:
$4{\overline {)950}}\$
Dividir 950 por 4 en un solo paso requeriría conocer la tabla de multiplicar hasta 238 × 4. En cambio, la división se reduce a pequeños pasos. Comenzando desde la izquierda, se seleccionan suficientes dígitos para formar un número (llamado dividendo parcial ) que sea al menos 4 × 1 pero menor que 4 × 10 (4 es el divisor en este problema). Aquí, el dividendo parcial es 9.
El primer número que se divide por el divisor (4) es el dividendo parcial (9). Se escribe la parte entera del resultado (2) encima de la barra de división sobre el dígito más a la izquierda del dividendo, y se escribe el resto (1) como un dígito pequeño encima y a la derecha del dividendo parcial (9).
${\begin{matrix}2\\4{\overline {)9^{1}50}}\end{matrix}}$
A continuación, se repite el paso 2, utilizando el dígito pequeño concatenado con el siguiente dígito del dividendo para formar un nuevo dividendo parcial (15). Al dividir el nuevo dividendo parcial por el divisor (4), se escribe el resultado como antes: el cociente sobre el siguiente dígito del dividendo y el resto como un dígito pequeño en la esquina superior derecha. (Aquí, 15 dividido por 4 es 3, con un resto de 3).
${\begin{matrix}\,\,2\ 3\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0}}\\\end{matrix}}$
Se repite el paso 2 hasta que no queden dígitos en el dividendo. En este ejemplo, vemos que 30 dividido por 4 es 7 con un resto de 2. El número escrito sobre la barra (237) es el cociente y el último dígito pequeño (2) es el resto.
${\begin{matriz}\quad 2\ 3\ 7\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0^{2}}}\\\end{matriz}}$
La respuesta en este ejemplo es 237 con un resto de 2. Alternativamente, podemos continuar con el procedimiento anterior si queremos obtener una respuesta decimal. Para ello, agregamos un punto decimal y ceros según sea necesario a la derecha del dividendo y luego tratamos cada cero como otro dígito del dividendo. Por lo tanto, el siguiente paso en dicho cálculo arrojaría lo siguiente:
${\begin{matrix}\quad 2\ 3\ 7.\ 5\\4{\overline {)9^{1}5^{3}0.^{2}0}}\\\end{matrix}}$

Usando el diseño alternativo el funcionamiento final sería:

{\begin{array}{r}4{\underline {)9^{1}5^{3}0.^{2}0}}\\2^{\color {Blanco}1}3^{\color {Blanco}3}7.^{\color {Blanco}2}5\\\end{array}}

Como es habitual, también se pueden utilizar pasos similares para manejar los casos con un dividendo decimal o los casos en los que el divisor involucra varios dígitos. ^[2]

Factorización prima

Un requisito común es reducir un número a sus factores primos. Esto se utiliza especialmente al trabajar con fracciones vulgares . El dividendo se divide sucesivamente por números primos, repitiéndose siempre que sea posible:

{\begin{array}{r}2{\underline {)950}}\\5{\underline {)475}}\\5{\underline {){\color {Blanco}0}95}}\\\ \ \ 19\\\end{array}}

Esto da como resultado 950 = 2 x 5² x 19

División de módulo

Cuando solo se está interesado en el resto de la división, este procedimiento (una variación de la división corta) ignora el cociente y cuenta solo los restos. Se puede utilizar para el cálculo manual del módulo o como prueba de divisibilidad par . Los dígitos del cociente no se escriben.

A continuación se muestra la solución (usando división corta) de 16762109 dividido por siete.

{\begin{matrix}7)16^{2}7^{6}6^{3}2^{4}1^{6}0^{4}9^{0}\end{matrix}}

El resto es cero, por lo que 16762109 es exactamente divisible por 7.

Como un autómata

Dado un divisor $k$ , este procedimiento puede escribirse como un autómata finito determinista con $k$ estados, cada uno correspondiente a un posible resto. ^[3] Esto implica que el conjunto de números divisibles por $k$ es un lenguaje regular .

Véase también

Referencias

^ GP Quackenbos, Doctor en Derecho (1874). "Capítulo VII: División". Aritmética práctica. D. Appleton & Company.
^ "División de números enteros: un curso completo de aritmética". www.themathpage.com . Consultado el 23 de junio de 2019 .
^ Alexeev, Boris (1 de septiembre de 2004). "DFA mínimo para probar la divisibilidad". Revista de Ciencias de la Computación y de Sistemas . 69 (2): 235. doi : 10.1016/j.jcss.2004.02.001 .

Enlaces externos

Algoritmos de división alternativos: división doble, cocientes parciales y división en columnas, película de cocientes parciales
Lección de división corta: TheMathPage.com