Álgebra elemental

Conceptos básicos del álgebra

${\displaystyle {\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}}$

La fórmula cuadrática , que es la solución de la ecuación cuadrática donde . Aquí los símbolos a , b y c representan números arbitrarios y x es una variable que representa la solución de la ecuación. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

Gráfico bidimensional (curva roja) de la ecuación algebraica . ${\displaystyle y=x^{2}-x-2}$

El álgebra elemental , también conocida como álgebra universitaria , ^[1] abarca los conceptos básicos del álgebra . A menudo se la contrasta con la aritmética : la aritmética trata con números específicos , ^[2] mientras que el álgebra introduce variables (cantidades sin valores fijos). ^[3]

Este uso de variables implica el uso de la notación algebraica y una comprensión de las reglas generales de las operaciones introducidas en aritmética: suma, resta, multiplicación, división, etc. A diferencia del álgebra abstracta , el álgebra elemental no se ocupa de estructuras algebraicas fuera del ámbito de los números reales y complejos .

Por lo general, se enseña a estudiantes de secundaria y a nivel universitario introductorio en los Estados Unidos ^[4] y se basa en su comprensión de la aritmética . El uso de variables para denotar cantidades permite que las relaciones generales entre cantidades se expresen de manera formal y concisa, y, por lo tanto, permite resolver una gama más amplia de problemas. Muchas relaciones cuantitativas en ciencia y matemáticas se expresan como ecuaciones algebraicas .

Operaciones algebraicas

Operaciones algebraicas en la solución de la ecuación cuadrática . El signo radical √, que denota una raíz cuadrada , es equivalente a la potencia de ⁠1/2⁠ . El signo ± significa que la ecuación se puede escribir con un signo + o un signo –.

En matemáticas , una operación algebraica básica es cualquiera de las operaciones comunes del álgebra elemental, que incluyen la suma , la resta , la multiplicación , la división , la elevación a una potencia de número entero y la extracción de raíces ( potencia fraccionaria ). ^[5] Estas operaciones se pueden realizar sobre números , en cuyo caso a menudo se denominan operaciones aritméticas . También se pueden realizar, de manera similar, sobre variables , expresiones algebraicas , ^[6] y, de manera más general, sobre elementos de estructuras algebraicas , como grupos y cuerpos . ^[7] Una operación algebraica también se puede definir de manera más general como una función de una potencia cartesiana de un conjunto dado al mismo conjunto. ^[8]

El término operación algebraica también se puede utilizar para operaciones que se pueden definir mediante la combinación de operaciones algebraicas básicas, como el producto escalar . En cálculo y análisis matemático , la operación algebraica también se utiliza para las operaciones que se pueden definir mediante métodos puramente algebraicos . Por ejemplo, la exponenciación con un exponente entero o racional es una operación algebraica, pero no la exponenciación general con un exponente real o complejo . Además, la derivada es una operación que no es algebraica.

Notación algebraica

La notación algebraica describe las reglas y convenciones para escribir expresiones matemáticas , así como la terminología utilizada para hablar sobre las partes de las expresiones. Por ejemplo, la expresión tiene los siguientes componentes: ${\displaystyle 3x^{2}-2xy+c}$

1. exponente (potencia)
2. coeficiente
3. término
4. operación
5. constante ,
   x, y . variables

Un coeficiente es un valor numérico, o una letra que representa una constante numérica, que multiplica una variable (se omite el operador). Un término es un sumando o un sumando , un grupo de coeficientes, variables, constantes y exponentes que pueden separarse de los demás términos mediante los operadores más y menos. ^[9] Las letras representan variables y constantes. Por convención, las letras al principio del alfabeto (p. ej. ) se utilizan normalmente para representar constantes , y las que están hacia el final del alfabeto (p. ej. y z ) se utilizan para representar variables . ^[10] Normalmente se imprimen en cursiva. ^[11] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle x,y}$

Las operaciones algebraicas funcionan de la misma manera que las operaciones aritméticas , ^[12] como la suma , la resta , la multiplicación , la división y la exponenciación , ^[13] y se aplican a variables y términos algebraicos. Los símbolos de multiplicación suelen omitirse y se implican cuando no hay espacio entre dos variables o términos, o cuando se utiliza un coeficiente . Por ejemplo, se escribe como y puede escribirse como . ^[14] ${\displaystyle 3\times x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}}$ ${\displaystyle 2\times x\times y}$ ${\displaystyle 2xy}$

Por lo general, los términos con la mayor potencia ( exponente ), se escriben a la izquierda, por ejemplo, se escribe a la izquierda de x . Cuando un coeficiente es uno, generalmente se omite (por ejemplo, se escribe ). ^[15] Del mismo modo, cuando el exponente (potencia) es uno, (por ejemplo, se escribe ). ^[16] Cuando el exponente es cero, el resultado siempre es 1 (por ejemplo, siempre se reescribe a 1 ). ^[17] Sin embargo , al no estar definido, no debería aparecer en una expresión y se debe tener cuidado al simplificar expresiones en las que las variables pueden aparecer en exponentes. ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 1x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{1}}$ ${\displaystyle 3x}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle 0^{0}}$

Notación alternativa

Otros tipos de notación se utilizan en expresiones algebraicas cuando el formato requerido no está disponible, o no se puede implicar, como cuando solo hay letras y símbolos disponibles. Como ilustración de esto, mientras que los exponentes generalmente se formatean usando superíndices, por ejemplo, en texto simple y en el lenguaje de marcado TeX , el símbolo de intercalación ^ representa la exponenciación, por lo que se escribe como "x^2". ^{[18] [19]} Esto también se aplica a algunos lenguajes de programación como Lua. En lenguajes de programación como Ada , ^[20] Fortran , ^[21] Perl , ^[22] Python ^[23] y Ruby , ^[24] se usa un asterisco doble, por lo que se escribe como "x**2". Muchos lenguajes de programación y calculadoras usan un solo asterisco para representar el símbolo de multiplicación, ^[25] y debe usarse explícitamente, por ejemplo, se escribe "3*x". ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x}$

Conceptos

Variables

Ejemplo de variables que muestran la relación entre el diámetro de un círculo y su circunferencia. Para cualquier círculo , su circunferencia c , dividida por su diámetro d , es igual a la constante pi ( aproximadamente 3,14). ${\displaystyle \pi }$

El álgebra elemental se basa en la aritmética y la amplía ^[26] al introducir letras llamadas variables para representar números generales (no especificados). Esto resulta útil por varias razones.

1. Las variables pueden representar números cuyos valores aún no se conocen . Por ejemplo, si la temperatura del día actual, C, es 20 grados más alta que la temperatura del día anterior, P, entonces el problema se puede describir algebraicamente como . ^[27] ${\displaystyle C=P+20}$
2. Las variables permiten describir problemas generales , ^[4] sin especificar los valores de las cantidades involucradas. Por ejemplo, se puede afirmar específicamente que 5 minutos equivalen a segundos. Una descripción más general (algebraica) puede afirmar que el número de segundos, , donde m es el número de minutos. ${\displaystyle 60\times 5=300}$ ${\displaystyle s=60\times m}$
3. Las variables permiten describir relaciones matemáticas entre cantidades que pueden variar. ^[28] Por ejemplo, la relación entre la circunferencia, c , y el diámetro, d , de un círculo se describe mediante . ${\displaystyle \pi =c/d}$
4. Las variables permiten describir algunas propiedades matemáticas. Por ejemplo, una propiedad básica de la suma es la conmutatividad , que establece que el orden de los números que se suman no importa. La conmutatividad se expresa algebraicamente como . ^[29] ${\displaystyle (a+b)=(b+a)}$

Simplificando expresiones

Las expresiones algebraicas pueden evaluarse y simplificarse basándose en las propiedades básicas de las operaciones aritméticas ( suma , resta , multiplicación , división y exponenciación ). Por ejemplo,

• Los términos añadidos se simplifican mediante coeficientes. Por ejemplo, se puede simplificar como (donde 3 es un coeficiente numérico). ${\displaystyle x+x+x}$ ${\displaystyle 3x}$
• Los términos multiplicados se simplifican utilizando exponentes. Por ejemplo, se representa como ${\displaystyle x\times x\times x}$ ${\displaystyle x^{3}}$
• Los términos iguales se suman entre sí, ^[30] por ejemplo, se escribe como , porque los términos que contienen se suman entre sí, y, los términos que contienen se suman entre sí. ${\displaystyle 2x^{2}+3ab-x^{2}+ab}$ ${\displaystyle x^{2}+4ab}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle ab}$
• Los corchetes se pueden "multiplicar" mediante la propiedad distributiva . Por ejemplo, se puede escribir como que se puede escribir como ${\displaystyle x(2x+3)}$ ${\displaystyle (x\times 2x)+(x\times 3)}$ ${\displaystyle 2x^{2}+3x}$
• Las expresiones se pueden factorizar. Por ejemplo, , al dividir ambos términos por se puede escribir como ${\displaystyle 6x^{5}+3x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}(2x^{3}+1)}$

Ecuaciones

Animación que ilustra la regla de Pitágoras para un triángulo rectángulo, que muestra la relación algebraica entre la hipotenusa del triángulo y los otros dos lados.

Una ecuación establece que dos expresiones son iguales utilizando el símbolo de igualdad, = (el signo igual ). ^[31] Una de las ecuaciones más conocidas describe la ley de Pitágoras que relaciona la longitud de los lados de un triángulo rectángulo : ^[32]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Esta ecuación establece que , representando el cuadrado de la longitud del lado que es la hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto, es igual a la suma (suma) de los cuadrados de los otros dos lados cuyas longitudes están representadas por a y b . ${\displaystyle c^{2}}$

Una ecuación es la afirmación de que dos expresiones tienen el mismo valor y son iguales. Algunas ecuaciones son verdaderas para todos los valores de las variables involucradas (como ); dichas ecuaciones se denominan identidades . Las ecuaciones condicionales son verdaderas solo para algunos valores de las variables involucradas, por ejemplo, es verdadera solo para y . Los valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera son las soluciones de la ecuación y se pueden encontrar mediante la resolución de ecuaciones . ${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle x^{2}-1=8}$ ${\displaystyle x=3}$ ${\displaystyle x=-3}$

Otro tipo de ecuación es la desigualdad. Las desigualdades se utilizan para mostrar que un lado de la ecuación es mayor o menor que el otro. Los símbolos que se utilizan para esto son: donde representa "mayor que" y donde representa "menor que". Al igual que las ecuaciones de igualdad estándar, los números se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir. La única excepción es que al multiplicar o dividir por un número negativo, el símbolo de desigualdad debe invertirse. ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle >}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle <}$

Propiedades de la igualdad

Por definición, la igualdad es una relación de equivalencia , lo que significa que es reflexiva (es decir, ), simétrica (es decir, si entonces ) y transitiva (es decir, si y entonces ). ^[33] También satisface la importante propiedad de que si se utilizan dos símbolos para cosas iguales, entonces un símbolo puede sustituirse por el otro en cualquier enunciado verdadero sobre el primero y el enunciado seguirá siendo verdadero. Esto implica las siguientes propiedades: ${\displaystyle b=b}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle a=c}$

• si y entonces y ; ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c=d}$ ${\displaystyle a+c=b+d}$ ${\displaystyle ac=bd}$
• si entonces y ; ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a+c=b+c}$ ${\displaystyle ac=bc}$
• de manera más general, para cualquier función f , si entonces . ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

Propiedades de la desigualdad

Las relaciones menor que y mayor que tienen la propiedad de transitividad: ^[34] ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$

• Si     y     entonces   ; ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle b<c}$ ${\displaystyle a<c}$
• Si     y     entonces   ; ^[35] ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c<d}$ ${\displaystyle a+c<b+d}$
• Si     y     entonces   ; ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle ac<bc}$
• Si     y     entonces   . ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c<0}$ ${\displaystyle bc<ac}$

Invirtiendo la inecuación, y se pueden intercambiar, ^[36] por ejemplo: ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle >}$

• ${\displaystyle a<b}$es equivalente a ${\displaystyle b>a}$

Sustitución

La sustitución es reemplazar los términos en una expresión para crear una nueva expresión. Sustituir 3 por a en la expresión a *5 crea una nueva expresión 3*5 con el significado 15 . Sustituir los términos de un enunciado crea un nuevo enunciado. Cuando el enunciado original es verdadero independientemente de los valores de los términos, el enunciado creado por sustituciones también es verdadero. Por lo tanto, las definiciones se pueden hacer en términos simbólicos e interpretar a través de la sustitución: si se entiende como la definición de como el producto de a consigo mismo, sustituir 3 por a informa al lector de este enunciado que significa 3 × 3 = 9 . A menudo no se sabe si el enunciado es verdadero independientemente de los valores de los términos. Y, la sustitución permite derivar restricciones sobre los valores posibles, o mostrar bajo qué condiciones se cumple el enunciado. Por ejemplo, tomando la afirmación x + 1 = 0 , si x se sustituye por 1 , esto implica 1 + 1 = 2 = 0 , lo cual es falso, lo que implica que si x + 1 = 0 entonces x no puede ser 1 . ${\displaystyle a^{2}:=a\times a}$ ${\displaystyle a^{2},}$ ${\displaystyle 3^{2}}$

Si x e y son números enteros , racionales o reales , entonces xy = 0 implica x = 0 o y = 0. Considere abc = 0. Luego, sustituyendo a por x y bc por y , aprendemos que a = 0 o bc = 0. Luego podemos sustituir nuevamente, dejando x = b e y = c , para mostrar que si bc = 0 entonces b = 0 o c = 0. Por lo tanto, si abc = 0 , entonces a = 0 o ( b = 0 o c = 0 ), por lo que abc = 0 implica a = 0 o b = 0 o c = 0 .

Si el hecho original se enunciara como " ab = 0 implica a = 0 o b = 0 ", entonces al decir "consideremos abc = 0 ", tendríamos un conflicto de términos al sustituir. Sin embargo, la lógica anterior sigue siendo válida para demostrar que si abc = 0 entonces a = 0 o b = 0 o c = 0 si, en lugar de dejar a = a y b = bc , se sustituye a por a y b por bc (y con bc = 0 , se sustituye b por a y c por b ). Esto demuestra que sustituir los términos de un enunciado no siempre es lo mismo que dejar que los términos del enunciado sean iguales a los términos sustituidos. En esta situación, está claro que si sustituimos una expresión a en el término a de la ecuación original, la a sustituida no se refiere a la a del enunciado " ab = 0 implica a = 0 o b = 0 ".

Resolver ecuaciones algebraicas

Un problema típico de álgebra.

Las siguientes secciones presentan ejemplos de algunos de los tipos de ecuaciones algebraicas que pueden encontrarse.

Ecuaciones lineales con una variable

Las ecuaciones lineales se llaman así porque, al representarlas gráficamente, describen una línea recta. Las ecuaciones más sencillas de resolver son las ecuaciones lineales que tienen una sola variable. Contienen únicamente números constantes y una única variable sin exponente. A modo de ejemplo, considere lo siguiente:

Problema en palabras: Si duplicas la edad de un niño y le sumas 4, la respuesta resultante es 12. ¿Qué edad tiene el niño?

Ecuación equivalente: donde x representa la edad del niño ${\displaystyle 2x+4=12}$

Para resolver este tipo de ecuaciones, la técnica consiste en sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número para aislar la variable en un lado de la ecuación. Una vez aislada la variable, el otro lado de la ecuación es el valor de la variable. ^[37] Este problema y su solución son los siguientes:

Resolviendo para x

En palabras: el niño tiene 4 años.

La forma general de una ecuación lineal con una variable, se puede escribir como: ${\displaystyle ax+b=c}$

Siguiendo el mismo procedimiento (es decir, restar b de ambos lados y luego dividir por a ), la solución general está dada por ${\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}$

Ecuaciones lineales con dos variables

Resolver dos ecuaciones lineales con una única solución en el punto en que se intersecan.

Una ecuación lineal con dos variables tiene muchas soluciones (es decir, un número infinito de ellas). ^[38] Por ejemplo:

Problema en palabras: Un padre tiene 22 años más que su hijo. ¿Qué edad tienen?

Ecuación equivalente: donde y es la edad del padre, x es la edad del hijo. ${\displaystyle y=x+22}$

Esto no se puede resolver por sí solo. Si se supiera la edad del hijo, ya no habría dos incógnitas (variables). El problema se convierte entonces en una ecuación lineal con una sola variable, que se puede resolver como se ha descrito anteriormente.

Para resolver una ecuación lineal con dos variables (incógnitas), se requieren dos ecuaciones relacionadas. Por ejemplo, si también se revelara que:

Problema en palabras

Dentro de 10 años el padre tendrá el doble de edad que su hijo.

Ecuación equivalente

${\displaystyle {\begin{aligned}y+10&=2\times (x+10)\\y&=2\times (x+10)-10&&{\text{Subtract 10 from both sides}}\\y&=2x+20-10&&{\text{Multiple out brackets}}\\y&=2x+10&&{\text{Simplify}}\end{aligned}}}$

Ahora hay dos ecuaciones lineales relacionadas, cada una con dos incógnitas, lo que permite la producción de una ecuación lineal con sólo una variable, restando una de la otra (llamado método de eliminación): ^[39]

${\displaystyle {\begin{cases}y=x+22&{\text{First equation}}\\y=2x+10&{\text{Second equation}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&&{\text{Subtract the first equation from}}\\(y-y)&=(2x-x)+10-22&&{\text{the second in order to remove }}y\\0&=x-12&&{\text{Simplify}}\\12&=x&&{\text{Add 12 to both sides}}\\x&=12&&{\text{Rearrange}}\end{aligned}}}$

En otras palabras, el hijo tiene 12 años y, como el padre es 22 años mayor, debe tener 34. En 10 años, el hijo tendrá 22 años y el padre tendrá el doble de su edad, 44. Este problema se ilustra en el gráfico asociado de las ecuaciones.

Para otras formas de resolver este tipo de ecuaciones, consulte a continuación, Sistema de ecuaciones lineales .

Ecuaciones cuadráticas

Gráfica de ecuación cuadrática que muestra sus raíces en y , y que la ecuación cuadrática se puede reescribir como ${\displaystyle y=x^{2}+3x-10}$ ${\displaystyle x=-5}$ ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle y=(x+5)(x-2)}$

Una ecuación cuadrática es aquella que incluye un término con un exponente de 2, por ejemplo, , ^[40] y ningún término con un exponente mayor. El nombre deriva del latín quadrus , que significa cuadrado. ^[41] En general, una ecuación cuadrática se puede expresar en la forma , ^[42] donde a no es cero (si fuera cero, entonces la ecuación no sería cuadrática sino lineal). Debido a esto, una ecuación cuadrática debe contener el término , que se conoce como el término cuadrático. Por lo tanto , y por lo tanto podemos dividir por a y reorganizar la ecuación en la forma estándar ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ${\displaystyle ax^{2}}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

donde y . Resolviendo esto, mediante un proceso conocido como completar el cuadrado , se llega a la fórmula cuadrática ${\displaystyle p={\frac {b}{a}}}$ ${\displaystyle q={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

donde el símbolo "±" indica que ambos

${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{and}}\quad x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

son soluciones de la ecuación cuadrática.

Las ecuaciones cuadráticas también se pueden resolver mediante factorización (cuyo proceso inverso es la expansión , pero para dos términos lineales a veces se denota como factorización ). Como ejemplo de factorización:

${\displaystyle x^{2}+3x-10=0,}$

que es lo mismo que

${\displaystyle (x+5)(x-2)=0.}$

De la propiedad del producto cero se deduce que o bien o bien son las soluciones, puesto que precisamente uno de los factores debe ser igual a cero . Todas las ecuaciones cuadráticas tendrán dos soluciones en el sistema de números complejos , pero no necesitan tener ninguna en el sistema de números reales . Por ejemplo, ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle x=-5}$

${\displaystyle x^{2}+1=0}$

No tiene solución en forma de número real, ya que ningún número real al cuadrado es igual a -1. A veces, una ecuación cuadrática tiene una raíz de multiplicidad 2, como:

${\displaystyle (x+1)^{2}=0.}$

Para esta ecuación, −1 es una raíz de multiplicidad 2. Esto significa que −1 aparece dos veces, ya que la ecuación se puede reescribir en forma factorizada como

${\displaystyle [x-(-1)][x-(-1)]=0.}$

Números complejos

Todas las ecuaciones cuadráticas tienen exactamente dos soluciones en números complejos (pero pueden ser iguales entre sí), una categoría que incluye números reales , números imaginarios y sumas de números reales e imaginarios. Los números complejos surgen por primera vez en la enseñanza de ecuaciones cuadráticas y la fórmula cuadrática. Por ejemplo, la ecuación cuadrática

${\displaystyle x^{2}+x+1=0}$

tiene soluciones

${\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}.}$

Como no es ningún número real, ambas soluciones para x son números complejos. ${\displaystyle {\sqrt {-3}}}$

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

La gráfica del logaritmo en base 2 corta el eje x (eje horizontal) en 1 y pasa por los puntos con coordenadas (2, 1) , (4, 2) , y (8, 3) . Por ejemplo, log ₂ (8) = 3 , porque 2 ³ = 8. La gráfica se acerca arbitrariamente al eje y , pero no lo encuentra ni lo interseca .

Una ecuación exponencial es aquella que tiene la forma para , ^[43] que tiene solución ${\displaystyle a^{x}=b}$ ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle x=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}}$

Cuando . Se utilizan técnicas algebraicas elementales para reescribir una ecuación dada de la manera anterior antes de llegar a la solución. Por ejemplo, si ${\displaystyle b>0}$

${\displaystyle 3\cdot 2^{x-1}+1=10}$

entonces, restando 1 de ambos lados de la ecuación, y luego dividiendo ambos lados por 3 obtenemos

${\displaystyle 2^{x-1}=3}$

De dónde

${\displaystyle x-1=\log _{2}3}$

o

${\displaystyle x=\log _{2}3+1.}$

Una ecuación logarítmica es una ecuación de la forma para , que tiene solución ${\displaystyle log_{a}(x)=b}$ ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle x=a^{b}.}$

Por ejemplo, si

${\displaystyle 4\log _{5}(x-3)-2=6}$

luego, sumando 2 a ambos lados de la ecuación, seguido de dividir ambos lados por 4, obtenemos

${\displaystyle \log _{5}(x-3)=2}$

De dónde

${\displaystyle x-3=5^{2}=25}$

de donde obtenemos

${\displaystyle x=28.}$

Ecuaciones radicales

${\displaystyle {\overset {}{\underset {}{{\sqrt[{2}]{x^{3}}}\equiv x^{\frac {3}{2}}}}}}$

Ecuación radical que muestra dos formas de representar la misma expresión. La triple barra significa que la ecuación es verdadera para todos los valores de x

Una ecuación radical es aquella que incluye un signo radical, que incluye raíces cuadradas , raíces cúbicas , y raíces n -ésimas , . Recordemos que una raíz n- ésima se puede reescribir en formato exponencial, por lo que es equivalente a . Combinada con exponentes regulares (potencias), entonces (la raíz cuadrada de x al cubo), se puede reescribir como . ^[44] Por lo tanto, una forma común de una ecuación radical es (equivalente a ) donde m y n son números enteros . Tiene una o más soluciones reales : ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ${\displaystyle x^{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{x^{3}}}}$ ${\displaystyle x^{\frac {3}{2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x^{m}}}=a}$ ${\displaystyle x^{\frac {m}{n}}=a}$

Por ejemplo, si:

${\displaystyle (x+5)^{2/3}=4}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}x+5&=\pm ({\sqrt {4}})^{3},\\x+5&=\pm 8,\\x&=-5\pm 8,\end{aligned}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle x=3\quad {\text{or}}\quad x=-13}$

Sistema de ecuaciones lineales

Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables.

Método de eliminación

El conjunto solución de las ecuaciones es el único punto (2, 3). ${\displaystyle x-y=-1}$ ${\displaystyle 3x+y=9}$

Un ejemplo de solución de un sistema de ecuaciones lineales es mediante el método de eliminación:

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}$

Multiplicando los términos de la segunda ecuación por 2:

${\displaystyle 4x+2y=14}$

${\displaystyle 4x-2y=2.}$

Sumando las dos ecuaciones se obtiene:

${\displaystyle 8x=16}$

Lo cual se simplifica a

${\displaystyle x=2.}$

Como se conoce el hecho de que , entonces es posible deducir que por cualquiera de las dos ecuaciones originales (usando 2 en lugar de x ) La solución completa a este problema es entonces ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle y=3}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}$

Esta no es la única forma de resolver este sistema específico; y podría haberse resuelto antes que x .

Método de sustitución

Otra forma de resolver el mismo sistema de ecuaciones lineales es por sustitución.

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y&=14\\2x-y&=1.\end{cases}}}$

Se puede deducir un equivalente para y utilizando una de las dos ecuaciones. Utilizando la segunda ecuación:

${\displaystyle 2x-y=1}$

Restando de cada lado de la ecuación: ${\displaystyle 2x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2x-2x-y&=1-2x\\-y&=1-2x\end{aligned}}}$

y multiplicando por −1:

${\displaystyle y=2x-1.}$

Usando este valor y en la primera ecuación del sistema original:

${\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(2x-1)&=14\\4x+4x-2&=14\\8x-2&=14\end{aligned}}}$

Sumando 2 en cada lado de la ecuación:

${\displaystyle {\begin{aligned}8x-2+2&=14+2\\8x&=16\end{aligned}}}$

Lo cual se simplifica a

${\displaystyle x=2}$

Utilizando este valor en una de las ecuaciones, se obtiene la misma solución que en el método anterior.

${\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}}$

Esta no es la única manera de resolver este sistema específico; también en este caso, y podría haberse resuelto antes que x .

Otros tipos de sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas inconsistentes

Las ecuaciones y son paralelas y no se pueden intersecar y son irresolubles. ${\displaystyle 3x+2y=6}$ ${\displaystyle 3x+2y=12}$

Gráfico de una ecuación cuadrática (roja) y una ecuación lineal (azul) que no se intersecan y, en consecuencia, para las cuales no existe una solución común.

En el ejemplo anterior, existe una solución. Sin embargo, también hay sistemas de ecuaciones que no tienen solución. Un sistema de este tipo se llama inconsistente . Un ejemplo obvio es

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+y&=1\\0x+0y&=2\,.\end{aligned}}\end{cases}}}$

Como 0 ≠ 2, la segunda ecuación del sistema no tiene solución. Por lo tanto, el sistema no tiene solución. Sin embargo, no todos los sistemas inconsistentes se reconocen a primera vista. Como ejemplo, considere el sistema

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-4\,.\end{aligned}}\end{cases}}}$

Multiplicando por 2 ambos lados de la segunda ecuación y sumándolo a la primera, obtenemos como resultado

${\displaystyle 0x+0y=4\,,}$

Lo cual claramente no tiene solución.

Sistemas indeterminados

También hay sistemas que tienen infinitas soluciones, en contraste con un sistema con una solución única (es decir, un par único de valores para x e y ). Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}4x+2y&=12\\-2x-y&=-6\end{aligned}}\end{cases}}}$

Aislando y en la segunda ecuación:

${\displaystyle y=-2x+6}$

Y usando este valor en la primera ecuación del sistema:

${\displaystyle {\begin{aligned}4x+2(-2x+6)=12\\4x-4x+12=12\\12=12\end{aligned}}}$

La igualdad es verdadera, pero no proporciona un valor para x . De hecho, se puede verificar fácilmente (con solo completar algunos valores de x ) que para cualquier x existe una solución siempre que . Hay un número infinito de soluciones para este sistema. ${\displaystyle y=-2x+6}$

Sistemas sobre y subdeterminados

Los sistemas con más variables que el número de ecuaciones lineales se denominan indeterminados . Un sistema de este tipo, si tiene alguna solución, no tiene una única, sino una infinidad de ellas. Un ejemplo de un sistema de este tipo es

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}x+2y&=10\\y-z&=2.\end{aligned}}\end{cases}}}$

Al intentar resolverlo, uno se ve obligado a expresar algunas variables como funciones de otras si existen soluciones, pero no puede expresar todas las soluciones numéricamente porque hay un número infinito de ellas si las hay.

Un sistema con un número mayor de ecuaciones que de variables se denomina sobredeterminado . Si un sistema sobredeterminado tiene soluciones, necesariamente algunas ecuaciones son combinaciones lineales de otras.

Véase también

• Historia del álgebra
• Operación binaria
• Eliminación gaussiana
• Educación matemática
• Línea numérica
• Polinomio
• Cancelando
• El problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski

Referencias

• Leonhard Euler , Elementos de álgebra , 1770. Traducción al inglés Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8 , también ediciones digitalizadas en línea ^[45] 2006, ^[46] 1822.  
• Charles Smith, Tratado de álgebra , en Monografías históricas de matemáticas de la biblioteca de la Universidad de Cornell.
• Redden, John. Álgebra elemental Archivado el 10 de junio de 2016 en Wayback Machine . Conocimiento del mundo plano, 2011

1. Pierce, R., Álgebra universitaria, las matemáticas son divertidas , consultado el 28 de agosto de 2023
2. HE Slaught y NJ Lennes, Álgebra elemental , Publ. Allyn y Bacon, 1915, página 1 (republicado por Forgotten Books)
3. Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Comprensión del álgebra elemental con geometría: un curso para estudiantes universitarios , Editorial: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727 , 9780534999728, 654 páginas, página 2 
4. Lawrence S. Leff, College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys , Editorial: Barron's Educational Series, 2005, ISBN 0764129147 , 9780764129148, 230 páginas, página 2 
5. "operación algebraica | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com . Consultado el 27 de agosto de 2020 .
6. William Smyth, Álgebra elemental: para escuelas y academias , Editorial Bailey y Noyes, 1864, "Operaciones algebraicas"
7. Horatio Nelson Robinson, Nueva álgebra elemental: contiene los rudimentos de la ciencia para escuelas y academias , Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, página 7
8. "Operación algebraica - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 27 de agosto de 2020 .
9. Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, Álgebra introductoria: un enfoque aplicado , Editorial Cengage Learning, 2010, ISBN 1439046042 , 9781439046043, página 78 
10. William L. Hosch (editor), Guía británica de álgebra y trigonometría , Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190 , 9781615302192, página 71 
11. James E. Gentle, Álgebra lineal numérica para aplicaciones en estadística , Editorial: Springer, 1998, ISBN 0387985425 , 9780387985428, 221 páginas, [James E. Gentle página 184] 
12. Horatio Nelson Robinson, Nueva álgebra elemental: contiene los rudimentos de la ciencia para escuelas y academias , Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, página 7
13. Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, Álgebra y trigonometría: un enfoque gráfico , Editorial: Cengage Learning, 2007, ISBN 061885195X , 9780618851959, 1114 páginas, página 6 
14. Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Notación algebraica", en Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook , Editorial Panpac Education Pte Ltd, ISBN 9812738827 , 9789812738820, página 68 
15. David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra , Editorial John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597 , 9780470185599, 304 páginas, página 72 
16. John C. Peterson, Matemáticas técnicas con cálculo , Editorial Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 páginas, página 31 
17. Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Álgebra para estudiantes universitarios , Editorial Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543 , 9780538733540, 803 páginas, página 222 
18. Ramesh Bangia, Diccionario de tecnología de la información , Editorial Laxmi Publications, Ltd., 2010, ISBN 9380298153 , 9789380298153, página 212 
19. George Grätzer, Primeros pasos en LaTeX , Editorial Springer, 1999, ISBN 0817641327 , 9780817641320, página 17 
20. S. Tucker Taft, Robert A. Duff, Randall L. Brukardt, Erhard Ploedereder, Pascal Leroy, Manual de referencia de Ada 2005 , volumen 4348 de Lecture Notes in Computer Science, editorial Springer, 2007, ISBN 3540693351 , 9783540693352, página 13 
21. C. Xavier, Fortran 77 y métodos numéricos , Editorial New Age International, 1994, ISBN 812240670X , 9788122406702, página 20 
22. Randal Schwartz, Brian Foy, Tom Phoenix, Aprendiendo Perl , Editorial O'Reilly Media, Inc., 2011, ISBN 1449313140 , 9781449313142, página 24 
23. Matthew A. Telles, Python Power!: The Comprehensive Guide , publicado por Course Technology PTR, 2008, ISBN 1598631586 , 9781598631586, página 46 
24. Kevin C. Baird, Ruby by Example: Concepts and Code , Editorial No Starch Press, 2007, ISBN 1593271484 , 9781593271480, página 72 
25. William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, Matemáticas a través de los tiempos: una historia amable para profesores y otros , Editorial MAA, 2004, ISBN 0883857367 , 9780883857366, página 75 
26. Thomas Sonnabend, Matemáticas para profesores: un enfoque interactivo para los grados K-8 , Editorial: Cengage Learning, 2009, ISBN 0495561665 , 9780495561668, 759 páginas, página xvii 
27. Lewis Hirsch, Arthur Goodman, Comprensión del álgebra elemental con geometría: un curso para estudiantes universitarios , Editorial: Cengage Learning, 2005, ISBN 0534999727 , 9780534999728, 654 páginas, página 48 
28. Ron Larson, Kimberly Nolting, Álgebra elemental , Editorial: Cengage Learning, 2009, ISBN 0547102275 , 9780547102276, 622 páginas, página 210 
29. Charles P. McKeague, Álgebra elemental , Editorial: Cengage Learning, 2011, ISBN 0840064217 , 9780840064219, 571 páginas, página 49 
30. Andrew Marx, Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores , Editorial Kaplan Publishing, 2007, ISBN 1419552880 , 9781419552885, 288 páginas, página 51 
31. Mark Clark, Cynthia Anfinson, Álgebra básica: conexión de conceptos mediante aplicaciones , editorial Cengage Learning, 2011, ISBN 0534419380 , 9780534419387, 793 páginas, página 134 
32. Alan S. Tussy, R. David Gustafson, Álgebra elemental e intermedia , Editorial Cengage Learning, 2012, ISBN 1111567689 , 9781111567682, 1163 páginas, página 493 
33. Douglas Downing, Álgebra de manera sencilla , Editorial Barron's Educational Series, 2003, ISBN 0764119729 , 9780764119729, 392 páginas, página 20 
34. Ron Larson, Robert Hostetler, Álgebra intermedia , Editorial Cengage Learning, 2008, ISBN 0618753524 , 9780618753529, 857 páginas, página 96 
35. "¿Cómo se llama la siguiente propiedad de desigualdad?". Stack Exchange . 29 de noviembre de 2014 . Consultado el 4 de mayo de 2018 .
36. Chris Carter, Física: hechos y práctica para el nivel A , editorial Oxford University Press, 2001, ISBN 019914768X , 9780199147687, 144 páginas, página 50 
37. Slavin, Steve (1989). Todas las matemáticas que necesitarás. John Wiley & Sons . pág. 72. ISBN 0-471-50636-2.
38. Sinha, The Pearson Guide to Quantitative Aptitude for CAT 2/e Editor: Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723666 , 9788131723661, 599 páginas, página 195 
39. Cynthia Y. Young , Precálculo , Editorial John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0471756849 , 9780471756842, 1175 páginas, página 699 
40. Mary Jane Sterling, Álgebra II para tontos , Editorial: John Wiley & Sons, 2006, ISBN 0471775819 , 9780471775812, 384 páginas, página 37 
41. John T. Irwin, El misterio de una solución: Poe, Borges y la historia detectivesca analítica , Editorial JHU Press, 1996, ISBN 0801854660 , 9780801854668, 512 páginas, página 372 
42. Sharma/khattar, The Pearson Guide To Objective Mathematics For Engineering Entrance Examinations, 3/E , Editorial Pearson Education India, 2010, ISBN 8131723631 , 9788131723630, 1248 páginas, página 621 
43. Aven Choo, LMAN OL Guía de revisión adicional de matemáticas 3 , Editorial Pearson Education South Asia, 2007, ISBN 9810600011 , 9789810600013, página 105 
44. John C. Peterson, Matemáticas técnicas con cálculo , Editorial Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899 , 9780766861893, 1613 páginas, página 525 
45. Elementos del álgebra de Euler Archivado el 13 de abril de 2011 en Wayback Machine.
46. Euler, Leonhard; Hewlett, John; Horner, Francis; Bernoulli, Jean; Lagrange, Joseph Louis (4 de mayo de 2018). «Elementos de álgebra». Longman, Orme . Consultado el 4 de mayo de 2018 en Google Books.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Álgebra elemental en Wikimedia Commons