En matemáticas , una superficie algebraica es una variedad algebraica de dimensión dos. En el caso de la geometría sobre el campo de números complejos , una superficie algebraica tiene dimensión compleja dos (como variedad compleja , cuando es no singular ) y por tanto de dimensión cuatro como variedad suave .
La teoría de las superficies algebraicas es mucho más complicada que la de las curvas algebraicas (incluidas las superficies compactas de Riemann, que son superficies genuinas de dimensión (real) dos). Se obtuvieron muchos resultados, pero, en la escuela italiana de geometría algebraica , tienen hasta 100 años.
En el caso de la dimensión uno, las variedades se clasifican únicamente por el género topológico , pero, en la dimensión dos, es necesario distinguir el género aritmético y el género geométrico porque no se puede distinguir biracionalmente sólo el género topológico. Luego se introduce la irregularidad para la clasificación de variedades. A continuación se presenta un resumen de los resultados (en detalle, para cada tipo de superficie se refiere a cada redirección):
Ejemplos de superficies algebraicas incluyen (κ es la dimensión de Kodaira ):
Para más ejemplos consulte la lista de superficies algebraicas .
Los primeros cinco ejemplos son de hecho biracionalmente equivalentes . Es decir, por ejemplo, una superficie cúbica tiene un campo de funciones isomorfa al del plano proyectivo , estando las funciones racionales en dos indeterminadas. El producto cartesiano de dos curvas también proporciona ejemplos.
La geometría birracional de las superficies algebraicas es rica gracias a la transformación (también conocida como transformación monoidal ), en la que un punto es reemplazado por la curva de todas las direcciones tangentes limitantes que entran en él (una línea proyectiva ). Ciertas curvas también se pueden derribar , pero hay una restricción (el número de autointersección debe ser −1).
Uno de los teoremas fundamentales para la geometría biracional de superficies es el teorema de Castelnuovo . Esto establece que cualquier mapa biracional entre superficies algebraicas está dado por una secuencia finita de explosiones y explosiones.
El criterio de Nakai dice que:
Los divisores amplios tienen una buena propiedad, como es el retroceso de algún paquete hiperplano de espacio proyectivo, cuyas propiedades son muy conocidas. Sea el grupo abeliano formado por todos los divisores de S. Entonces debido al teorema de la intersección
se ve como una forma cuadrática . Dejar
entonces se convierte en un grupo de clases equivalente numérico de S y
también pasa a ser una forma cuadrática en , donde es la imagen de un divisor D en S . (A continuación, la imagen se abrevia con D ).
Para un paquete de líneas amplio H en S , la definición
se utiliza en la versión superficial del teorema del índice de Hodge :
Este teorema se demuestra utilizando el criterio de Nakai y el teorema de Riemann-Roch para superficies. El teorema del índice de Hodge se utiliza en la prueba de Deligne de la conjetura de Weil .
Los resultados básicos sobre superficies algebraicas incluyen el teorema del índice de Hodge y la división en cinco grupos de clases de equivalencia birracionales denominada clasificación de superficies algebraicas . La clase de tipo general , de dimensión 2 de Kodaira, es muy grande (grado 5 o mayor para una superficie no singular en P 3 , por ejemplo).
Hay tres invariantes esenciales del número de Hodge de una superficie. De ellos, h 1,0 se llamaba clásicamente irregularidad y se denotaba por q ; y h 2,0 se llamó género geométrico p g . El tercero, h 1,1 , no es un invariante biracional , porque al ampliarlo se pueden agregar curvas enteras, con clases en H 1,1 . Se sabe que los ciclos de Hodge son algebraicos y que la equivalencia algebraica coincide con la equivalencia homológica, de modo que h 1,1 es un límite superior para ρ, el rango del grupo de Néron-Severi . El género aritmético p a es la diferencia.
Esto explica por qué la irregularidad recibió su nombre, como una especie de "término de error".
El teorema de Riemann-Roch para superficies fue formulado por primera vez por Max Noether . Las familias de curvas en superficies pueden clasificarse, en cierto sentido, y dan lugar a gran parte de su interesante geometría.
