Superficie de tipo general

En geometría algebraica , una superficie de tipo general es una superficie algebraica con dimensión de Kodaira  2. Debido al teorema de Chow, cualquier variedad compleja compacta de dimensión 2 y con dimensión de Kodaira 2 será en realidad una superficie algebraica, y en cierto sentido la mayoría de las superficies están en esta clase.

Clasificación

Gieseker demostró que existe un esquema de módulos aproximados para superficies de tipo general; esto significa que para cualquier valor fijo de los números de Chern existe un esquema cuasi proyectivo que clasifica las superficies de tipo general con esos números de Chern. Sigue siendo un problema muy difícil describir estos esquemas explícitamente, y hay pocos pares de números de Chern para los que se haya hecho esto (excepto cuando el esquema está vacío). Hay algunos indicios de que estos esquemas son en general demasiado complicados para escribirlos explícitamente: los límites superiores conocidos para el número de componentes son muy grandes, algunos componentes pueden no reducirse en todas partes, los componentes pueden tener muchas dimensiones diferentes y las pocas piezas Los aspectos que se han estudiado explícitamente tienden a parecer bastante complicados. ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2},}$

Chern números de superficies complejas mínimas.

El estudio de qué pares de números de Chern pueden darse para una superficie de tipo general se conoce como "geografía de los números de Chern " y hay una respuesta casi completa a esta pregunta. Hay varias condiciones quedeben satisfacer los números de Chern de una superficie mínima compleja de tipo general:

• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}}}$(ya que es igual a 12χ)
• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}\geqslant 0}$
• ${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$(la desigualdad Bogomolov-Miyaoka-Yau )
• ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 12q\geqslant 0}$donde q es la irregularidad de una superficie (la desigualdad de Noether ).

Muchos (y posiblemente todos) los pares de números enteros que satisfacen estas condiciones son los números de Chern para alguna superficie compleja de tipo general. Por el contrario, para superficies casi complejas , la única restricción es:

${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}},}$

y esto siempre se puede realizar. ^[1]

Ejemplos

Esta es sólo una pequeña selección del gran número de ejemplos de superficies de tipo general que se han encontrado. Muchas de las superficies de tipo general que se han investigado se encuentran en (o cerca de) los bordes de la región de posibles números de Chern. En particular, las superficies de Horikawa se encuentran en o cerca de la "línea de Noether", muchas de las superficies enumeradas a continuación se encuentran en la línea del valor mínimo posible para el tipo general, y las superficies en la línea son todas cocientes de la bola unitaria en C ² (y son particularmente difícil de encontrar). ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}=12\chi =12,}$ ${\displaystyle 3c_{2}=c_{1}^{2}}$

Superficies con χ=1

Estas superficies que se encuentran en el límite "inferior izquierdo" del diagrama se han estudiado en detalle. Para estas superficies con segunda clase Chern puede ser cualquier número entero de 3 a 11. Las superficies con todos estos valores son conocidas; Algunos de los muchos ejemplos que se han estudiado son:

• c ₂ = 3: Plano proyectivo falso (superficie de Mumford). Mumford encontró el primer ejemplo utilizando geometría p -ádica, y hay 50 ejemplos en total. Tienen los mismos números de Betti que el plano proyectivo, pero no son homeomórficos ya que sus grupos fundamentales son infinitos.
• c ₂ = 4: Las superficies de Beauville llevan el nombre de Arnaud Beauville y tienen un grupo fundamental infinito.
• c ₂ ≥ 4: Superficies Burniat
• c ₂ = 10: Superficies Campedelli . Las superficies con los mismos números de Hodge se denominan superficies numéricas de Campedelli .
• c ₂ = 10: Las superficies catanesas están simplemente conectadas.
• c ₂ = 11: Superficies Godeaux . El grupo cíclico de orden 5 actúa libremente sobre la superficie de Fermat de puntos en P ³ satisfaciendo mapeando donde ρ es una raíz quinta de 1. El cociente de esta acción es la superficie original de Godeaux . Otras superficies construidas de manera similar con los mismos números de Hodge también se denominan a veces superficies Godeaux. Las superficies con los mismos números de Hodge (como las superficies de Barlow) se denominan superficies numéricas de Godeaux . El grupo fundamental (de la superficie original de Godeaux) es cíclico de orden 5. ${\displaystyle (w:x:y:z)}$ ${\displaystyle w^{5}+x^{5}+y^{5}+z^{5}=0}$ ${\displaystyle (w:x:y:z)}$ ${\displaystyle (w:\rho x:\rho ^{2}y:\rho ^{3}z)}$
• c ₂ = 11: Las superficies de Barlow están simplemente conexas. Junto con la superficie de Craighero-Gattazzo, estos son los únicos ejemplos conocidos de superficies simplemente conectadas de tipo general con p _g  = 0.
• Las superficies de Todorov dan contraejemplos a la conclusión del teorema de Torelli

Otros ejemplos

• Superficies de Castelnuovo : Otro caso extremo, Castelnuovo demostró que si el paquete canónico es muy amplio para una superficie de tipo general, entonceslas superficies de Castelnuovo son superficies de tipo general tales que el paquete canónico es muy amplio y que ${\displaystyle c_{1}^{2}\geqslant 3p_{g}-7.}$ ${\displaystyle c_{1}^{2}=3p_{g}-7.}$
• Intersecciones completas : Una intersección completa y suave de hipersuperficies de gradosen P ⁿ es una superficie de tipo general a menos que los grados sean (2), (3), (2, 2) (racional), (4), (3, 2) , (2, 2, 2) (dimensión 0 de Kodaira). Todas las intersecciones completas están simplemente conectadas. Un caso especial son las hipersuperficies : por ejemplo, en P ³ , las superficies no singulares de grado al menos 5 son de tipo general (las hipersuperficies no singulares de grado 4 son superficies K3 , y las de grado menor que 4 son racionales ). ${\displaystyle d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant \cdots \geqslant d_{n-2}\geqslant 2}$
• Fano superficies de líneas en un triple cúbico.
• Las superficies modulares Hilbert son en su mayoría de tipo general.
• Las superficies de Horikawa son superficies con q  = 0 yo(lo que implica que están más o menos en el borde de la "línea de Noether" de la región de posibles valores de los números de Chern). Todos están simplemente conectados y Horikawa dio una descripción detallada de ellos. ${\displaystyle p_{g}={\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+2}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+{\tfrac {3}{2}}}$
• Productos: el producto de dos curvas ambas de género al menos 2 es una superficie de tipo general.
• Las cubiertas dobles de curvas de 2 m de grado no singular en P ² son de tipo general si (Para 2 m =2 son racionales, para 2 m =4 son nuevamente racionales y se llaman planos dobles del Pezzo , y para 2 m =6 son superficies K3 ). Están simplemente conectadas y tienen números de Chern. ${\displaystyle 2m\geqslant 8.}$ ${\displaystyle c_{1}^{2}=2(m-3)^{2},c_{2}=4m^{2}-6m+6.}$

Modelos canónicos

Bombieri (1973) demostró que el mapa multicanónico φ _nK para una superficie compleja de tipo general es un isomorfismo biracional en su imagen siempre que n ≥5, y Ekedahl (1988) demostró que el mismo resultado aún se cumple en característica positiva. Hay algunas superficies para las cuales no es un isomorfismo biracional cuando n es 4. Estos resultados se derivan del teorema de Reider .

Ver también

• Clasificación Enriques-Kodaira
• Lista de superficies algebraicas

Notas

1. Van De Ven, A. (junio de 1966). "Sobre los números chern de ciertas variedades complejas y casi complejas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 55 (6): 1624-1627. Código bibliográfico : 1966PNAS...55.1624V. doi : 10.1073/pnas.55.6.1624 . PMC  224368 . PMID  16578639.

Referencias

• Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, SEÑOR  2030225
• Bombieri, Enrico (1973), "Modelos canónicos de superficies de tipo general", Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS , 42 (42): 171–219, doi :10.1007/BF02685880, MR  0318163, S2CID  56081921
• Ekedahl, Torsten (1988), "Modelos canónicos de superficies de tipo general en característica positiva", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 67 (67): 97–144, doi :10.1007/BF02699128, MR  0972344, S2CID  54756971
• P. Griffiths ; J. Harris (1994), Principios de geometría algebraica , Biblioteca de clásicos de Wiley, Wiley Interscience, ISBN 0-471-05059-8
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Superficie algebraica de tipo general", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press