Teorema de Riemann-Roch para superficies

Teorema matemático

En matemáticas, el teorema de superficies de Riemann-Roch describe la dimensión de sistemas lineales en una superficie algebraica . La forma clásica fue dada por primera vez por Castelnuovo (1896, 1897), después de que Max Noether  (1886) y Enriques  (1894)  encontraran versiones preliminares . La versión teórica de la gavilla se debe a Hirzebruch.

Declaración

Una forma del teorema de Riemann-Roch establece que si D es un divisor en una superficie proyectiva no singular, entonces

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(D-K)\,}$

donde χ es la característica holomorfa de Euler , el punto. es el número de intersección y K es el divisor canónico. La constante χ(0 ₎ es la característica holomorfa de Euler del paquete trivial y es igual a 1 +  pag , donde _pag es el género aritmético de la superficie. A modo de comparación, el teorema de Riemann-Roch para una curva establece que χ( D ) = χ(0) + grados( D ).

la fórmula de noether

La fórmula de Noether establece que

${\displaystyle \chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(K.K)+e}{12}}}$

donde χ=χ(0) es la característica holomorfa de Euler, c ₁ ² = ( K . K ) es un número de Chern y el número de autointersección de la clase canónica K , y e  =  c ₂ es la característica topológica de Euler. Puede utilizarse para reemplazar el término χ(0) en el teorema de Riemann-Roch con términos topológicos; esto da el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch para superficies.

Relación con el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

Para superficies, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch es esencialmente el teorema de Riemann-Roch para superficies combinado con la fórmula de Noether. Para ver esto, recuerde que para cada divisor D en una superficie hay una gavilla invertible L = O( D ) tal que el sistema lineal de D es más o menos el espacio de secciones de L. Para superficies , la clase de Todd es y el carácter de Chern de la gavilla L es justo , por lo que el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch establece que ${\displaystyle 1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12}$ ${\displaystyle 1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac {1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}}$

Afortunadamente, esto se puede escribir de forma más clara de la siguiente manera. Primero poniendo D  = 0 se muestra que

${\displaystyle \chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)}$     (fórmula de Noether)

Para las poleas reversibles (haces de líneas), la segunda clase Chern desaparece. Los productos de segundas clases de cohomología se pueden identificar con números de intersección en el grupo Picard , y obtenemos una versión más clásica de Riemann Roch para superficies:

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2}}(D.D-D.K)}$

Si queremos, podemos usar la dualidad de Serre para expresar h ² (O( D )) como h ⁰ (O( K  −  D )), pero a diferencia del caso de las curvas, en general no existe una manera fácil de escribir h ¹ ( O( D )) término en una forma que no implica cohomología de gavilla (aunque en la práctica a menudo desaparece).

Versiones tempranas

Las primeras formas del teorema de Riemann-Roch para superficies a menudo se expresaban como una desigualdad más que como una igualdad, porque no había una descripción geométrica directa de los primeros grupos de cohomología. Un ejemplo típico lo da Zariski (1995, p. 78), quien afirma que

${\displaystyle r\geq n-\pi +p_{a}+1-i}$

dónde

• r es la dimensión del sistema lineal completo | D | de un divisor D (entonces r  =  h ⁰ (O( D )) −1)
• n es el grado virtual de D , dado por el número de autointersección ( D . D )
• π es el género virtual de D , igual a 1 + (DD + KD)/2
• p _a es el género aritmético χ(O _F ) − 1 de la superficie
• i es el índice de especialidad de D , igual a dim H ⁰ (O( K  −  D )) (que por dualidad de Serre es lo mismo que dim H ² (O(D))).

La diferencia entre los dos lados de esta desigualdad se llamó superabundancia s del divisor D. La comparación de esta desigualdad con la versión teórica de la gavilla del teorema de Riemann-Roch muestra que la superabundancia de D viene dada por s  = dim H ¹ (O( D )). El divisor D se llamaba regular si i  =  s  = 0 (o en otras palabras, si todos los grupos de cohomología superiores de O( D ) desaparecían) y superabundante si  s  > 0.

Referencias

• Métodos topológicos en geometría algebraica por Friedrich Hirzebruch ISBN  3-540-58663-6
• Zariski, Oscar (1995), Superficies algebraicas , Clásicos de las matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58658-6, SEÑOR  1336146
• Smith, Roy. "Sobre la generalización clásica de Riemann Roch y Hirzebruch" (PDF) . Departamento de Matemáticas Centro de Educación e Investigación Boyd Universidad de Georgia .