Fonón

Cuasipartícula de vibraciones mecánicas

Un fonón es una excitación colectiva en una disposición periódica y elástica de átomos o moléculas en materia condensada , específicamente en sólidos y algunos líquidos . Un tipo de cuasipartícula en física , ^[1] un fonón es un estado excitado en la cuantificación mecánica cuántica de los modos de vibración para estructuras elásticas de partículas en interacción. Los fonones pueden considerarse como ondas sonoras cuantizadas , similares a los fotones como ondas de luz cuantizadas . ^[2]

El estudio de los fonones es una parte importante de la física de la materia condensada. Desempeñan un papel fundamental en muchas de las propiedades físicas de los sistemas de materia condensada, como la conductividad térmica y la conductividad eléctrica , así como en los modelos de dispersión de neutrones y efectos relacionados.

El concepto de fonones fue introducido en 1930 por el físico soviético Igor Tamm . El nombre fonón fue sugerido por Yakov Frenkel . ^[3] Proviene de la palabra griega φωνή ( phonē ), que se traduce como sonido o voz , porque los fonones de longitud de onda larga dan lugar al sonido . El nombre enfatiza la analogía con la palabra fotón , en el sentido de que los fonones representan la dualidad onda-partícula para las ondas sonoras de la misma manera que los fotones representan la dualidad onda-partícula para las ondas de luz . Los sólidos con más de un átomo en la celda unitaria más pequeña exhiben fonones tanto acústicos como ópticos.

Definición

Un fonón es la descripción mecánica cuántica de un movimiento vibracional elemental en el que una red de átomos o moléculas oscila uniformemente a una sola frecuencia . ^[4] En mecánica clásica, esto designa un modo normal de vibración. Los modos normales son importantes porque cualquier vibración reticular arbitraria puede considerarse una superposición de estos modos de vibración elementales (cf. análisis de Fourier ). Si bien los modos normales son fenómenos similares a ondas en la mecánica clásica, los fonones también tienen propiedades similares a partículas , de una manera relacionada con la dualidad onda-partícula de la mecánica cuántica.

Dinámica reticular

Las ecuaciones de esta sección no utilizan axiomas de la mecánica cuántica, sino que utilizan relaciones para las que existe una correspondencia directa en la mecánica clásica.

Por ejemplo: una red regular rígida, cristalina (no amorfa ) está compuesta de N partículas. Estas partículas pueden ser átomos o moléculas. N es un número grande, digamos del orden de 10 ²³ , o del orden del número de Avogadro para una muestra típica de un sólido. Dado que la red es rígida, los átomos deben ejercer fuerzas entre sí para mantener cada átomo cerca de su posición de equilibrio. Estas fuerzas pueden ser fuerzas de Van der Waals , enlaces covalentes , atracciones electrostáticas y otras, todas las cuales se deben en última instancia a la fuerza eléctrica . Las fuerzas magnéticas y gravitacionales son generalmente despreciables. Las fuerzas entre cada par de átomos pueden caracterizarse por una función de energía potencial V que depende de la distancia de separación de los átomos. La energía potencial de toda la red es la suma de todas las energías potenciales por pares multiplicada por un factor de 1/2 para compensar el doble conteo: ^[5]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}$

donde r _i es la posición del i- ésimo átomo y V es la energía potencial entre dos átomos.

Es difícil resolver este problema de muchos cuerpos explícitamente tanto en mecánica clásica como cuántica. Para simplificar la tarea, se suelen imponer dos aproximaciones importantes . En primer lugar, la suma solo se realiza sobre átomos vecinos. Aunque las fuerzas eléctricas en sólidos reales se extienden hasta el infinito, esta aproximación sigue siendo válida porque los campos producidos por átomos distantes se apantallan de manera efectiva . En segundo lugar, los potenciales V se tratan como potenciales armónicos . Esto es permisible siempre que los átomos permanezcan cerca de sus posiciones de equilibrio. Formalmente, esto se logra mediante la expansión de Taylor de V alrededor de su valor de equilibrio hasta el orden cuadrático, dando V proporcional al desplazamiento x ² y la fuerza elástica simplemente proporcional a x . El error al ignorar los términos de orden superior sigue siendo pequeño si x permanece cerca de la posición de equilibrio.

La red resultante puede visualizarse como un sistema de bolas conectadas por resortes. La siguiente figura muestra una red cúbica, que es un buen modelo para muchos tipos de sólidos cristalinos. Otras redes incluyen una cadena lineal, que es una red muy simple que utilizaremos en breve para modelar fonones. (Para otras redes comunes, consulte la estructura cristalina ).

La energía potencial de la red ahora puede escribirse como

${\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.}$

Aquí, ω es la frecuencia natural de los potenciales armónicos, que se supone que son los mismos ya que la red es regular. R _i es la coordenada de posición del átomo i , que ahora medimos desde su posición de equilibrio. La suma sobre los vecinos más cercanos se denota (nn).

Es importante mencionar que el tratamiento matemático dado aquí está altamente simplificado para hacerlo accesible a los no expertos. La simplificación se ha logrado haciendo dos suposiciones básicas en la expresión para la energía potencial total del cristal. Estas suposiciones son que (i) la energía potencial total se puede escribir como una suma de interacciones por pares, y (ii) cada átomo interactúa solo con sus vecinos más cercanos. Estas suposiciones se usan solo con moderación en la dinámica reticular moderna. ^[6] Un enfoque más general es expresar la energía potencial en términos de constantes de fuerza. ^[6] Véase, por ejemplo, el artículo de Wiki sobre funciones de Green multiescala.

Ondas reticulares

Fonón propagándose a través de una red cuadrada (desplazamientos atómicos muy exagerados)

Debido a las conexiones entre los átomos, el desplazamiento de uno o más átomos de sus posiciones de equilibrio da lugar a un conjunto de ondas de vibración que se propagan a través de la red. Una de estas ondas se muestra en la figura de la derecha. La amplitud de la onda está dada por los desplazamientos de los átomos desde sus posiciones de equilibrio. La longitud de onda λ está marcada.

Existe una longitud de onda mínima posible, dada por el doble de la separación de equilibrio a entre átomos. Cualquier longitud de onda más corta que esta puede ser mapeada sobre una longitud de onda más larga que 2 a , debido a la periodicidad de la red. Esto puede considerarse como una consecuencia del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , en el que los puntos de la red se consideran los "puntos de muestreo" de una onda continua.

No todas las vibraciones reticulares posibles tienen una longitud de onda y una frecuencia bien definidas. Sin embargo, los modos normales sí poseen longitudes de onda y frecuencias bien definidas .

Red unidimensional

Animación que muestra 6 modos normales de una red unidimensional: una cadena lineal de partículas. La longitud de onda más corta se encuentra en la parte superior y las longitudes de onda progresivamente más largas en la parte inferior. En las líneas inferiores se puede ver el movimiento de las ondas hacia la derecha.

Para simplificar el análisis necesario para una red tridimensional de átomos, es conveniente modelar una red unidimensional o cadena lineal. Este modelo es lo suficientemente complejo como para mostrar las características más destacadas de los fonones.

Tratamiento clásico

Se supone que las fuerzas entre los átomos son lineales y vecinas, y se representan mediante un resorte elástico. Se supone que cada átomo es una partícula puntual y que el núcleo y los electrones se mueven al unísono ( teorema adiabático ):

n − 1 n n + 1 ← a →        

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···

→→  →  →→→

u _{n − 1} u _n u _{n + 1}  

donde n marca el n- ésimo átomo de un total de N , a es la distancia entre átomos cuando la cadena está en equilibrio y u _n el desplazamiento del n- ésimo átomo desde su posición de equilibrio.

Si C es la constante elástica del resorte y m la masa del átomo, entonces la ecuación de movimiento del n- ésimo átomo es

${\displaystyle -2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}$

Este es un conjunto de ecuaciones acopladas.

Como se espera que las soluciones sean oscilatorias, se definen nuevas coordenadas mediante una transformada de Fourier discreta , para desacoplarlas. ^[7]

Poner

${\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}$

Aquí, na corresponde y degenera en la variable continua x de la teoría de campos escalares. Las Q _k se conocen como las coordenadas normales para los modos de campo continuo con para . ${\displaystyle \phi _{k}=e^{ikna}}$ ${\displaystyle k=2\pi j/(Na)}$ ${\displaystyle j=1\dots N}$

La sustitución en la ecuación de movimiento produce las siguientes ecuaciones desacopladas (esto requiere una manipulación significativa utilizando las relaciones de ortonormalidad y completitud de la transformada de Fourier discreta), ^[8]

${\displaystyle 2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}$

Estas son las ecuaciones para osciladores armónicos desacoplados que tienen la solución

${\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}$

Cada coordenada normal Q _k representa un modo vibracional independiente de la red con número de onda k , que se conoce como modo normal .

La segunda ecuación, para ω _k , se conoce como la relación de dispersión entre la frecuencia angular y el número de onda .

En el límite continuo , a →0, N →∞, con Na fijo, u _n → φ ( x ) , un campo escalar, y . Esto equivale a la teoría clásica de campos escalares libres , un conjunto de osciladores independientes. ${\displaystyle \omega (k)\propto ka}$

Tratamiento cuántico

Una cadena armónica unidimensional de mecánica cuántica consta de N átomos idénticos. Este es el modelo mecánico cuántico más simple de una red que permite que surjan fonones de ella. El formalismo de este modelo se puede generalizar fácilmente a dos y tres dimensiones.

A diferencia de la sección anterior, las posiciones de las masas no se denotan por , sino por medidas desde sus posiciones de equilibrio. (Es decir, si la partícula está en su posición de equilibrio). En dos o más dimensiones, son cantidades vectoriales. El hamiltoniano para este sistema es ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ ${\displaystyle x_{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}$

donde m es la masa de cada átomo (suponiendo que es igual para todos), y x _i y p _i son los operadores de posición y momento , respectivamente, para el i ésimo átomo y la suma se realiza sobre los vecinos más próximos (nn). Sin embargo, se espera que en una red también puedan aparecer ondas que se comporten como partículas. Es habitual tratar con ondas en el espacio de Fourier que utiliza modos normales del vector de onda como variables en lugar de coordenadas de partículas. El número de modos normales es el mismo que el número de partículas. Aún así, el espacio de Fourier es muy útil dada la periodicidad del sistema.

Se puede introducir un conjunto de N "coordenadas normales" Q _k , definidas como las transformadas de Fourier discretas de x _k y N "momentos conjugados" Π _k, definidos como las transformadas de Fourier de p _k :

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}$

La cantidad k resulta ser el número de onda del fonón, es decir, 2 π dividido por la longitud de onda .

Esta elección conserva las relaciones de conmutación deseadas tanto en el espacio real como en el espacio del vector de onda.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}}$

Del resultado general

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}$

El término de energía potencial es

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}$

dónde

${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

El hamiltoniano puede escribirse en el espacio vectorial de onda como

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}$

Los acoplamientos entre las variables de posición se han transformado; si Q y Π fueran hermíticos (lo cual no es así), el hamiltoniano transformado describiría N osciladores armónicos desacoplados.

La forma de cuantificación depende de la elección de las condiciones de contorno; para simplificar, se imponen condiciones de contorno periódicas , definiendo el átomo ( N  +1) como equivalente al primer átomo. Físicamente, esto corresponde a unir la cadena por sus extremos. La cuantificación resultante es

${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }$

El límite superior de n proviene de la longitud de onda mínima, que es el doble del espaciado reticular a , como se explicó anteriormente.

Los valores propios o niveles de energía del oscilador armónico para el modo ω _k son:

${\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

Los niveles están espaciados uniformemente en:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$

donde ⁠1/2⁠ ħω es la energía del punto cero de un oscilador armónico cuántico .

Se debe suministrar una cantidad exacta de energía ħω a la red del oscilador armónico para impulsarlo al siguiente nivel de energía. Por analogía con el caso del fotón , cuando el campo electromagnético está cuantizado, el cuanto de energía vibracional se denomina fonón.

Todos los sistemas cuánticos presentan simultáneamente propiedades ondulatorias y corpusculares. Las propiedades corpusculares del fonón se entienden mejor utilizando los métodos de segunda cuantificación y las técnicas de operadores que se describen más adelante. ^[9]

Retícula tridimensional

Esto se puede generalizar a una red tridimensional. El número de onda k se reemplaza por un vector de onda tridimensional k . Además, cada k ahora está asociado con tres coordenadas normales.

Los nuevos índices s = 1, 2, 3 marcan la polarización de los fonones. En el modelo unidimensional, los átomos estaban restringidos a moverse a lo largo de la línea, por lo que los fonones correspondían a ondas longitudinales . En tres dimensiones, la vibración no está restringida a la dirección de propagación, y también puede ocurrir en los planos perpendiculares, como las ondas transversales . Esto da lugar a las coordenadas normales adicionales, que, como lo indica la forma del hamiltoniano, podemos considerar como especies independientes de fonones.

Relación de dispersión

Curvas de dispersión en cadena diatómica lineal

Vibraciones ópticas y acústicas en una cadena diatómica lineal.

Vibraciones de la cadena diatómica a diferentes frecuencias.

Relación de dispersión ω  =  ω ( k ) para algunas ondas correspondientes a vibraciones reticulares en GaAs. ^[10]

Para una matriz alternada unidimensional de dos tipos de iones o átomos de masa m ₁ , m ₂ repetidos periódicamente a una distancia a , conectados por resortes de constante elástica K , resultan dos modos de vibración: ^[11]

${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}$

donde k es el vector de onda de la vibración relacionado con su longitud de onda por . ${\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}$

La relación entre la frecuencia y el vector de onda, ω  =  ω ( k ), se conoce como relación de dispersión . El signo más da como resultado el llamado modo óptico , y el signo menos, el modo acústico . En el modo óptico, dos átomos adyacentes diferentes se mueven uno contra el otro, mientras que en el modo acústico se mueven juntos.

La velocidad de propagación de un fonón acústico, que también es la velocidad del sonido en la red, está dada por la pendiente de la relación de dispersión acústica ,∂ωk​_​/∂ k⁠ (ver velocidad de grupo ). A valores bajos de k (es decir, longitudes de onda largas), la relación de dispersión es casi lineal y la velocidad del sonido es aproximadamente ωa , independientemente de la frecuencia del fonón. Como resultado, los paquetes de fonones con longitudes de onda diferentes (pero largas) pueden propagarse a grandes distancias a través de la red sin romperse. Esta es la razón por la que el sonido se propaga a través de sólidos sin distorsión significativa. Este comportamiento falla a valores grandes de k , es decir, longitudes de onda cortas, debido a los detalles microscópicos de la red.

Para un cristal que tiene al menos dos átomos en su celda primitiva , las relaciones de dispersión exhiben dos tipos de fonones, a saber, modos ópticos y acústicos correspondientes a la curva azul superior y roja inferior en el diagrama, respectivamente. El eje vertical es la energía o frecuencia del fonón, mientras que el eje horizontal es el vector de onda . Los límites en − ⁠π/a⁠ y ⁠π/a⁠ son los de la primera zona de Brillouin . ^[11] Un cristal con N  ≥ 2 átomos diferentes en la celda primitiva exhibe tres modos acústicos: un modo acústico longitudinal y dos modos acústicos transversales . El número de modos ópticos es 3 N  – 3. La figura inferior muestra las relaciones de dispersión para varios modos de fonón en GaAs en función del vector de onda k en las direcciones principales de su zona de Brillouin. ^[10]

Los modos también se denominan ramas de dispersión de fonones. En general, si hay átomos p (indicados anteriormente por N) en la celda unitaria primitiva, habrá 3 ramas p de dispersión de fonones en un cristal tridimensional. De estas, 3 ramas corresponden a modos acústicos y las 3 ramas p-3 restantes corresponderán a modos ópticos. En algunas direcciones especiales, algunas ramas coinciden debido a la simetría. Estas ramas se denominan degeneradas. En los modos acústicos, todos los átomos p vibran en fase. Por lo tanto, no hay cambios en los desplazamientos relativos de estos átomos durante la propagación de la onda.

El estudio de la dispersión de fonones es útil para modelar la propagación de ondas sonoras en sólidos, que se caracteriza por los fonones. La energía de cada fonón, como se indicó anteriormente, es ħω. La velocidad de la onda también se da en términos de ω y k . La dirección del vector de onda es la dirección de propagación de la onda y el vector de polarización de fonones da la dirección en la que vibran los átomos. En realidad, en general, la velocidad de onda en un cristal es diferente para diferentes direcciones de k. En otras palabras, la mayoría de los cristales son anisotrópicos para la propagación de fonones.

Una onda es longitudinal si los átomos vibran en la misma dirección que la propagación de la onda. En una onda transversal, los átomos vibran perpendicularmente a la propagación de la onda. Sin embargo, a excepción de los cristales isotrópicos, las ondas en un cristal no son exactamente longitudinales o transversales. En el caso de los cristales anisotrópicos generales, las ondas de fonón son longitudinales o transversales solo en ciertas direcciones de simetría especiales. En otras direcciones, pueden ser casi longitudinales o casi transversales. Es solo por conveniencia de etiquetado que a menudo se las llama longitudinales o transversales, pero en realidad son cuasi-longitudinales o cuasi-transversales. Tenga en cuenta que en el caso tridimensional, hay dos direcciones perpendiculares a una línea recta en cada punto de la línea. Por lo tanto, siempre hay dos ondas (cuasi) transversales para cada onda (cuasi) longitudinal.

Se han medido muchas curvas de dispersión de fonones mediante dispersión de neutrones inelástica .

La física del sonido en fluidos difiere de la física del sonido en sólidos, aunque ambas son ondas de densidad: las ondas sonoras en fluidos solo tienen componentes longitudinales, mientras que las ondas sonoras en sólidos tienen componentes longitudinales y transversales. Esto se debe a que los fluidos no pueden soportar tensiones de corte (pero véase fluidos viscoelásticos , que solo se aplican a altas frecuencias).

Interpretación de fonones mediante técnicas de segunda cuantificación

El hamiltoniano derivado anteriormente puede parecer una función hamiltoniana clásica, pero si se interpreta como un operador , entonces describe una teoría cuántica de campos de bosones que no interactúan . ^[2] La segunda técnica de cuantificación, similar al método del operador de escalera utilizado para los osciladores armónicos cuánticos , es un medio para extraer valores propios de energía sin resolver directamente las ecuaciones diferenciales. Dado el hamiltoniano, , así como la posición conjugada, , y el momento conjugado definidos en la sección de tratamiento cuántico anterior, podemos definir los operadores de creación y aniquilación : ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle Q_{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}$   y   ${\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}$

Los siguientes conmutadores se pueden obtener fácilmente sustituyendo en la relación de conmutación canónica :

${\displaystyle \left[b_{k},{b_{k'}}^{\dagger }\right]=\delta _{k,k'},\quad {\Big [}b_{k},b_{k'}{\Big ]}=\left[{b_{k}}^{\dagger },{b_{k'}}^{\dagger }\right]=0}$

Usando esto, los operadores b _k ^† y b _k se pueden invertir para redefinir la posición y el momento conjugados como:

${\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)}$   y   ${\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)}$

Sustituyendo directamente estas definiciones por y en el hamiltoniano del espacio vectorial de onda, tal como se define arriba, y simplificando, el resultado es que el hamiltoniano toma la forma: ^[2] ${\displaystyle Q_{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}$

Esto se conoce como la segunda técnica de cuantificación, también conocida como la formulación del número de ocupación, donde n _k = b _k ^† b _k es el número de ocupación. Esto puede verse como una suma de N hamiltonianos de oscilador independientes, cada uno con un vector de onda único, y compatible con los métodos utilizados para el oscilador armónico cuántico (nótese que n _k es hermítico ). ^[12] Cuando un hamiltoniano puede escribirse como una suma de subhamiltonianos conmutativos, los estados propios de energía estarán dados por los productos de los estados propios de cada uno de los subhamiltonianos separados. El espectro de energía correspondiente estará dado entonces por la suma de los valores propios individuales de los subhamiltonianos. ^[12]

Al igual que con el oscilador armónico cuántico, se puede demostrar que b _k ^† y b _k crean y destruyen respectivamente una única excitación de campo, un fonón, con una energía de ħω _k . ^{[12] [2]}

De esta técnica se pueden deducir tres propiedades importantes de los fonones. En primer lugar, los fonones son bosones , ya que se puede crear cualquier número de excitaciones idénticas mediante la aplicación repetida del operador de creación b _k ^† . En segundo lugar, cada fonón es un "modo colectivo" causado por el movimiento de cada átomo en la red. Esto se puede ver a partir del hecho de que los operadores de creación y aniquilación, definidos aquí en el espacio de momento, contienen sumas sobre los operadores de posición y momento de cada átomo cuando se escriben en el espacio de posición. (Véase espacio de posición y momento .) ^[12] Por último, utilizando la función de correlación posición-posición , se puede demostrar que los fonones actúan como ondas de desplazamiento en la red. ^{[ cita requerida ]}

Esta técnica se puede generalizar fácilmente a tres dimensiones, donde el hamiltoniano toma la forma: ^{[12] [2]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}$

Esto puede interpretarse como la suma de 3N hamiltonianos osciladores independientes, uno para cada vector de onda y polarización. ^[12]

Fonones acústicos y ópticos

Los sólidos con más de un átomo en la celda unitaria más pequeña exhiben dos tipos de fonones: fonones acústicos y fonones ópticos.

Los fonones acústicos son movimientos coherentes de los átomos de la red que salen de sus posiciones de equilibrio. Si el desplazamiento se produce en la dirección de propagación, en algunas zonas los átomos estarán más cerca y en otras más lejos, como en una onda sonora en el aire (de ahí el nombre de acústica). El desplazamiento perpendicular a la dirección de propagación es comparable a las ondas en una cuerda. Si la longitud de onda de los fonones acústicos tiende al infinito, esto corresponde a un simple desplazamiento de todo el cristal, y esto cuesta cero energía de deformación. Los fonones acústicos muestran una relación lineal entre la frecuencia y el vector de onda del fonón para longitudes de onda largas. Las frecuencias de los fonones acústicos tienden a cero con longitudes de onda más largas. Los fonones acústicos longitudinales y transversales suelen abreviarse como fonones LA y TA, respectivamente.

Los fonones ópticos son movimientos desfasados ​​de los átomos en la red, un átomo se mueve hacia la izquierda y su vecino hacia la derecha. Esto ocurre si la base de la red consta de dos o más átomos. Se denominan ópticos porque en los cristales iónicos, como el cloruro de sodio , las fluctuaciones en el desplazamiento crean una polarización eléctrica que se acopla al campo electromagnético. ^[2] Por lo tanto, pueden ser excitados por la radiación infrarroja , el campo eléctrico de la luz moverá cada ion de sodio positivo en la dirección del campo y cada ion de cloruro negativo en la otra dirección, lo que hará que el cristal vibre.

Los fonones ópticos tienen una frecuencia distinta de cero en el centro de la zona de Brillouin y no muestran dispersión cerca de ese límite de longitud de onda larga. Esto se debe a que corresponden a un modo de vibración en el que los iones positivos y negativos en sitios reticulares adyacentes oscilan entre sí, creando un momento dipolar eléctrico variable en el tiempo . Los fonones ópticos que interactúan de esta manera con la luz se denominan activos infrarrojos . Los fonones ópticos que son activos Raman también pueden interactuar indirectamente con la luz, a través de la dispersión Raman . Los fonones ópticos a menudo se abrevian como fonones LO y TO, para los modos longitudinal y transversal respectivamente; la división entre frecuencias LO y TO a menudo se describe con precisión mediante la relación Lyddane–Sachs–Teller .

Al medir experimentalmente la energía de los fonones ópticos, las frecuencias de los fonones ópticos a veces se dan en notación de número de onda espectroscópica, donde el símbolo ω representa la frecuencia ordinaria (no la frecuencia angular) y se expresa en unidades de cm ⁻¹ . El valor se obtiene dividiendo la frecuencia por la velocidad de la luz en el vacío . En otras palabras, el número de onda en unidades cm ⁻¹ corresponde a la inversa de la longitud de onda de un fotón en el vacío que tiene la misma frecuencia que el fonón medido. ^[13]

Impulso cristalino

Los vectores k que exceden la primera zona de Brillouin (rojo) no transportan más información que sus contrapartes (negro) en la primera zona de Brillouin.

Por analogía con los fotones y las ondas de materia , los fonones han sido tratados con el vector de onda k como si tuviera un momento ħk ; ^[14] sin embargo, esto no es estrictamente correcto, porque ħk no es en realidad un momento físico; se llama momento cristalino o pseudomomento . Esto se debe a que k solo se determina hasta la adición de vectores constantes (los vectores reticulares recíprocos y múltiplos enteros de los mismos). Por ejemplo, en el modelo unidimensional, las coordenadas normales Q y Π se definen de modo que

${\displaystyle Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}}$

dónde

${\displaystyle K={\frac {2n\pi }{a}}}$

para cualquier entero n . Un fonón con número de onda k es, por tanto, equivalente a una familia infinita de fonones con números de onda k  ±  ⁠2π​/a⁠ , k  ±  ⁠4π​/a⁠ , y así sucesivamente. Físicamente, los vectores reticulares recíprocos actúan como porciones adicionales de momento que la red puede impartir al fonón. Los electrones de Bloch obedecen a un conjunto similar de restricciones.

Zonas de Brillouin, (a) en una red cuadrada y (b) en una red hexagonal

Por lo general, resulta conveniente considerar los vectores de onda de fonón k que tienen la magnitud más pequeña | k | en su "familia". El conjunto de todos esos vectores de onda define la primera zona de Brillouin . Se pueden definir zonas de Brillouin adicionales como copias de la primera zona, desplazadas por algún vector reticular recíproco.

Termodinámica

Las propiedades termodinámicas de un sólido están directamente relacionadas con su estructura fonónica. El conjunto completo de todos los fonones posibles que se describen mediante las relaciones de dispersión fonónica se combinan en lo que se conoce como densidad de estados fonónicos , que determina la capacidad térmica de un cristal. Por la naturaleza de esta distribución, la capacidad térmica está dominada por la parte de alta frecuencia de la distribución, mientras que la conductividad térmica es principalmente el resultado de la región de baja frecuencia. ^{[ cita requerida ]}

A temperatura de cero absoluto , una red cristalina se encuentra en su estado fundamental y no contiene fonones. Una red a una temperatura distinta de cero tiene una energía que no es constante, sino que fluctúa aleatoriamente alrededor de un valor medio . Estas fluctuaciones de energía son causadas por vibraciones aleatorias de la red, que pueden verse como un gas de fonones. Debido a que estos fonones son generados por la temperatura de la red, a veces se los denomina fonones térmicos. ^[15]

Los fonones térmicos pueden ser creados y destruidos por fluctuaciones aleatorias de energía. En el lenguaje de la mecánica estadística esto significa que el potencial químico para agregar un fonón es cero. ^[15] Este comportamiento es una extensión del potencial armónico en el régimen anarmónico. El comportamiento de los fonones térmicos es similar al gas de fotones producido por una cavidad electromagnética , donde los fotones pueden ser emitidos o absorbidos por las paredes de la cavidad. Esta similitud no es casual, ya que resulta que el campo electromagnético se comporta como un conjunto de osciladores armónicos, dando lugar a la radiación de cuerpo negro . Ambos gases obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein : en equilibrio térmico y dentro del régimen armónico, la probabilidad de encontrar fonones o fotones en un estado dado con una frecuencia angular dada es: ^[16]

${\displaystyle n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$

donde ω _{k , s} es la frecuencia de los fonones (o fotones) en el estado, k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura.

Tunelización de fonones

Se ha demostrado que los fonones exhiben un comportamiento de tunelización cuántica (o tunelización de fonones ) donde, a través de espacios de hasta un nanómetro de ancho, el calor puede fluir a través de fonones que "hacen túnel" entre dos materiales. ^[17] Este tipo de transferencia de calor funciona entre distancias demasiado grandes para que se produzca la conducción pero demasiado pequeñas para que se produzca la radiación y, por lo tanto, no puede explicarse mediante modelos clásicos de transferencia de calor . ^[17]

Formalismo de operadores

El hamiltoniano del fonón viene dado por

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)}$

En términos de los operadores de creación y aniquilación , estos se dan por

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }}$

Aquí, al expresar el hamiltoniano en el formalismo de operadores, no hemos tenido en cuenta la1/2⁠ ħω _q término ya que, dado un continuo o red infinita , el ⁠1/2⁠ ħω _q términos se sumarán dando como resultado un término infinito . Debido a que la diferencia de energía es lo que medimos y no su valor absoluto, el término constante ⁠1/2⁠ ħω _q se puede ignorar sin cambiar las ecuaciones de movimiento. Por lo tanto, ⁠1/2_{El factor q} ħω está ausente en la expresión formalizada del operador para el hamiltoniano .

El estado fundamental, también llamado " estado de vacío ", es el estado compuesto por ningún fonón. Por lo tanto, la energía del estado fundamental es 0. Cuando un sistema está en el estado | n ₁ n ₂ n ₃ …⟩ , decimos que hay n _α fonones de tipo α , donde n _α es el número de ocupación de los fonones. La energía de un único fonón de tipo α está dada por ħω _q y la energía total de un sistema de fonones general está dada por n ₁ ħω ₁  +  n ₂ ħω ₂  +.... Como no hay términos cruzados (por ejemplo, n ₁ ħω ₂ ), se dice que los fonones no interactúan. La acción de los operadores de creación y aniquilación está dada por:

${\displaystyle {a_{\alpha }}^{\dagger }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }}$

y,

${\displaystyle a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }}$

El operador de creación, a _α ^† crea un fonón de tipo α mientras que a _α lo aniquila. Por lo tanto, son respectivamente los operadores de creación y aniquilación de fonones. De manera análoga al caso del oscilador armónico cuántico , podemos definir el operador de número de partículas como

${\displaystyle N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }.}$

El operador de número conmuta con una cadena de productos de los operadores de creación y aniquilación si y solo si el número de operadores de creación es igual al número de operadores de aniquilación.

Se puede demostrar que los fonones son simétricos bajo intercambio (es decir, | α , β ⟩  =  | β , α ⟩ ), por lo que se consideran bosones . ^[18]

No linealidad

Además de los fotones , los fonones pueden interactuar a través de una conversión descendente paramétrica ^[19] y formar estados coherentes comprimidos . ^[20]

Propiedades previstas

Investigaciones recientes han demostrado que los fonones y los rotones pueden tener una masa no despreciable y verse afectados por la gravedad al igual que las partículas estándar. ^[21] En particular, se predice que los fonones tienen un tipo de masa negativa y gravedad negativa. ^[22] Esto se puede explicar por cómo se sabe que los fonones viajan más rápido en materiales más densos. Debido a que la parte de un material que apunta hacia una fuente gravitatoria está más cerca del objeto, se vuelve más denso en ese extremo. A partir de esto, se predice que los fonones se desviarían al detectar la diferencia de densidades, exhibiendo las cualidades de un campo gravitatorio negativo. ^[23] Aunque el efecto sería demasiado pequeño para medirlo, es posible que el equipo futuro pueda conducir a resultados exitosos.

Superconductividad

La superconductividad es un estado de la materia electrónica en el que la resistencia eléctrica desaparece y los campos magnéticos son expulsados ​​del material. En un superconductor, los electrones están unidos entre sí en pares de Cooper por una fuerza de atracción débil. En un superconductor convencional, esta atracción es causada por un intercambio de fonones entre los electrones. ^[24] La evidencia de que los fonones, las vibraciones de la red iónica, son relevantes para la superconductividad la proporciona el efecto isotópico , la dependencia de la temperatura crítica superconductora de la masa de los iones.

Otras investigaciones

En 2019, los investigadores pudieron aislar fonones individuales sin destruirlos por primera vez. ^[25]

También se ha demostrado que forman “vientos de fonones” donde una corriente eléctrica en una superficie de grafeno es generada por un flujo de líquido sobre ella debido a las fuerzas viscosas en la interfaz líquido-sólido. ^{[26] [27]}

Véase también

• Portal de física

• Bosón
• Dispersión de Brillouin
• Fractón
• Elasticidad lineal
• Onda mecánica
• Dispersión de fonones
• Dispersión de portadora
• Cristal fonónico
• Onda de Rayleigh
• Conducción de calor relativista
• Modos de unidad rígida
• SASER
• Segundo sonido
• Onda acústica de superficie
• Fonón de superficie
• Conductividad térmica
• Vibración

Referencias

1. Schwabl, Franz (2008). Mecánica cuántica avanzada (4.ª ed.). Springer. pág. 253. ISBN 978-3-540-85062-5.
2. Girvin, Steven M.; Yang, Kun (2019). Física moderna de la materia condensada . Cambridge University Press. págs. 78–96. ISBN 978-1-107-13739-4.
3. Kozhevnikov, AB (2004). La gran ciencia de Stalin: los tiempos y las aventuras de los físicos soviéticos. Londres: Imperial College Press. pp. 64–69. ISBN 978-1-86094-419-2.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
4. Simon, Steven H. (2013). Fundamentos del estado sólido de Oxford (1.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. pág. 82. ISBN 978-0-19-968077-1.
5. Krauth, Werner (abril de 2006). Mecánica estadística: algoritmos y cálculos. Publicación internacional: Oxford University Press. pp. 231–232. ISBN 978-0-19-851536-4.
6. Maradudin, A.; Montroll, E.; Weiss, G.; Ipatova, I. (1971). Teoría de la dinámica reticular en la aproximación armónica . Física del estado sólido. Vol. Suplemento 3 (segunda edición). Nueva York: Academic Press.
7. Mattuck, R. (1976). Una guía para los diagramas de Feynman en el problema de muchos cuerpos . McGraw-Hill. ISBN 9780070409545.
8. Fetter, Alexander; Walecka, John (16 de diciembre de 2003). Mecánica teórica de partículas y continuos . Dover Books on Physics. ISBN 978-0486432618.
9. Mahan, GD (1981). Física de muchas partículas . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-306-46338-9.
10. Yu, Peter Y.; Cardona, Manuel (2010). "Fig. 3.2: Curvas de dispersión de fonones en GaAs a lo largo de ejes de alta simetría". Fundamentos de semiconductores . Física y propiedades de los materiales (4.ª ed.). Springer. pág. 111. ISBN 978-3-642-00709-5.
11. Misra, Prasanta Kumar (2010). "§2.1.3 Modos normales de una cadena unidimensional con una base". Física de la materia condensada . Academic Press. pág. 44. ISBN 978-0-12-384954-0.
12. Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Física del estado sólido . Saunders College Publishing. págs. 780–783. ISBN 0-03-083993-9.
13. Mahan, Gerald (2010). Materia condensada en pocas palabras . Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14016-2.
14. Kittel, Charles (2004). Introducción a la física del estado sólido , 8.ª edición . Wiley. pp. 100. ISBN. 978-0-471-41526-8.
15. "No metales: fonones térmicos". Biblioteca de paquetes de enseñanza y aprendizaje de la Universidad de Cambridge . Consultado el 15 de agosto de 2020 .
16. Pathria; Beale (2011). Mecánica estadística (3.ª ed.). India: Elsevier. pág. 201. ISBN 978-93-80931-89-0.
17. "Tunneling across a tiny gap" (Tunnelaje a través de una pequeña brecha). News.mit.edu . 7 de abril de 2015. Consultado el 13 de agosto de 2019 .
18. Feynman, Richard P. (1982). Mecánica estadística, un conjunto de conferencias. Reading, MA: Benjamin-Cummings. pág. 159. ISBN 978-0-8053-2508-9.
19. Marquet, C.; Schmidt-Kaler, F.; James, DFV (2003). "Interacciones fonón-fonón debidas a efectos no lineales en una trampa de iones lineal" (PDF) . Applied Physics B . 76 (3): 199–208. arXiv : quant-ph/0211079 . Bibcode :2003ApPhB..76..199M. doi :10.1007/s00340-003-1097-7. S2CID  17019967.
20. Reiter, DE; Sauer, S.; Huneke, J.; Papenkort, T.; Kuhn, T.; Vagov, A.; Axt, VM (2009). "Generación de estados de fonones comprimidos mediante excitación óptica de un punto cuántico". Journal of Physics: Conference Series . 193 (1). Instituto de Física : 012121. Bibcode :2009JPhCS.193a2121R. doi : 10.1088/1742-6596/193/1/012121 .
21. Alberto Nicolis y Riccardo Penco. (2017). Mutual Interactions of Phonons, Rotons, and Gravity, Arxiv.org, consultado el 27 de noviembre de 2018
22. Angelo Esposito, Rafael Krichevsky y Alberto Nicolis. (2018). La masa del sonido. Consultado el 11 de noviembre de 2018.
23. "Los investigadores sugieren que los fonones pueden tener masa y quizás gravedad negativa". Phys.org . Consultado el 13 de agosto de 2019 .
24. Tinkham, Michael (1996). Introducción a la superconductividad. Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. pág. 9. ISBN 0486435032.
25. "Detectando los sonidos más suaves del Universo". Nature . 571 (7763): 8–9. 1 de julio de 2019. Bibcode :2019Natur.571....8.. doi : 10.1038/d41586-019-02009-5 . S2CID  195774243.
26. Lizée, Mathieu; Marcotte, Alice; Coquinot, Baptiste; Kavokine, Nikita; Sobnath, Karen; Barraud, Clément; Bhardwaj, Ankit; Radha, Boya; Niguès, Antoine; Bocquet, Lydéric; Siria, Alessandro (17 de febrero de 2023). "Fuertes vientos electrónicos que soplan bajo flujos de líquido en superficies de carbono". Physical Review X . 13 (1): 011020. arXiv : 2205.05037 . Código Bibliográfico :2023PhRvX..13a1020L. doi :10.1103/PhysRevX.13.011020. S2CID  248665478.
27. Schirber, Michael (17 de febrero de 2023). "Se revela el secreto de las corrientes eléctricas inducidas por flujo". Física . 16 (1): 26. arXiv : 2205.05037 . Código Bibliográfico :2023PhRvX..13a1020L. doi :10.1103/PhysRevX.13.011020. S2CID  248665478.

Enlaces externos

• Citas relacionadas con Phonon en Wikiquote
• Explicado: Fonones, MIT News, 2010.
• Modos ópticos y acústicos
• Fonones en un cristal microfluídico unidimensional [1] y [2] con películas en [3].