Mosaico de Penrose

Teselación no periódica del plano

Un mosaico de Penrose con rombos que muestran simetría quíntuple

Un mosaico de Penrose es un ejemplo de mosaico aperiódico . Aquí, un mosaico es una cobertura del plano por polígonos no superpuestos u otras formas, y un mosaico es aperiódico si no contiene regiones o parches periódicos arbitrariamente grandes . Sin embargo, a pesar de su falta de simetría traslacional , los mosaicos de Penrose pueden tener tanto simetría de reflexión como simetría rotacional quíntuple . Los mosaicos de Penrose reciben su nombre del matemático y físico Roger Penrose , quien los investigó en la década de 1970.

Existen varias variantes de mosaicos de Penrose con diferentes formas de mosaicos. La forma original de mosaicos de Penrose utilizaba mosaicos de cuatro formas diferentes, pero luego se redujo a solo dos formas: dos rombos diferentes o dos cuadriláteros diferentes llamados cometas y dardos. Los mosaicos de Penrose se obtienen restringiendo las formas en que se permite que estas formas encajen entre sí de una manera que evite el mosaico periódico. Esto se puede hacer de varias formas diferentes, incluidas las reglas de coincidencia, el mosaico de sustitución o las reglas de subdivisión finita , los esquemas de corte y proyecto y las cubiertas. Incluso restringidos de esta manera, cada variación produce infinitos mosaicos de Penrose diferentes.

Roger Penrose en el vestíbulo del Instituto Mitchell de Física Fundamental y Astronomía, Universidad Texas A&M , de pie sobre un suelo con baldosas de Penrose

Los mosaicos de Penrose son autosimilares : se pueden convertir en mosaicos de Penrose equivalentes con diferentes tamaños de mosaicos, utilizando procesos llamados inflación y deflación . El patrón representado por cada parche finito de mosaicos en un mosaico de Penrose ocurre infinitas veces a lo largo del mosaico. Son cuasicristales : implementados como una estructura física, un mosaico de Penrose producirá patrones de difracción con picos de Bragg y simetría quíntuple, revelando los patrones repetidos y las orientaciones fijas de sus mosaicos. ^[1] El estudio de estos mosaicos ha sido importante en la comprensión de los materiales físicos que también forman cuasicristales. ^[2] Los mosaicos de Penrose también se han aplicado en arquitectura y decoración, como en el mosaico de piso que se muestra.

Antecedentes e historia

Teselación periódica y aperiódica

Figura 1. Parte de un mosaico periódico con dos prototipos

Cubrir una superficie plana ("el plano") con algún patrón de formas geométricas ("azulejos"), sin superposiciones ni espacios, se llama mosaico . Los mosaicos más conocidos, como cubrir un piso con cuadrados que se encuentran borde con borde, son ejemplos de mosaicos periódicos . Si un mosaico cuadrado se desplaza por el ancho de un mosaico, paralelo a los lados del mosaico, el resultado es el mismo patrón de mosaicos que antes del desplazamiento. Un desplazamiento (formalmente, una traslación ) que conserva el mosaico de esta manera se llama período del mosaico. Un mosaico se llama periódico cuando tiene períodos que desplazan el mosaico en dos direcciones diferentes. ^[3]

Las piezas en el mosaico cuadrado tienen una sola forma, y ​​es común que otros mosaicos tengan solo un número finito de formas. Estas formas se llaman proto-piezas , y se dice que un conjunto de proto-piezas admite un mosaico o que embaldosa el plano si hay un mosaico del plano que usa solo estas formas. Es decir, cada pieza en el mosaico debe ser congruente con una de estas proto-piezas. ^[4]

Un teselado que no tiene períodos es no periódico . Se dice que un conjunto de prototiles es aperiódico si todos sus teselados son no periódicos, y en este caso sus teselados también se denominan teselados aperiódicos . ^[5] Los teselados de Penrose se encuentran entre los ejemplos más simples conocidos de teselados aperiódicos del plano por conjuntos finitos de prototiles. ^[3]

Los primeros teselados aperiódicos

Un conjunto aperiódico de fichas de dominó de Wang . ^[6]

El tema de los mosaicos aperiódicos recibió un nuevo interés en la década de 1960 cuando el lógico Hao Wang notó conexiones entre los problemas de decisión y los mosaicos. ^[7] En particular, introdujo mosaicos mediante placas cuadradas con bordes coloreados, ahora conocidas como fichas o dominós de Wang , y planteó el " problema del dominó ": determinar si un conjunto dado de fichas de dominó de Wang podía teselar el plano con colores coincidentes en los bordes adyacentes del dominó. Observó que si este problema fuera indecidible , entonces tendría que existir un conjunto aperiódico de fichas de dominó de Wang. En ese momento, esto parecía improbable, por lo que Wang conjeturó que tal conjunto no podría existir.

Los seis prototipos de Robinson

El alumno de Wang, Robert Berger, demostró que el problema del dominó era indecidible (por lo que la conjetura de Wang era incorrecta) en su tesis de 1964, ^[8] y obtuvo un conjunto aperiódico de 20.426 fichas de dominó de Wang. ^[9] También describió una reducción a 104 de esas protofichas; esto último no apareció en su monografía publicada, ^[10] pero en 1968, Donald Knuth detalló una modificación del conjunto de Berger que requería solo 92 fichas de dominó. ^[11]

La correspondencia de colores requerida en un mosaico de dominó de Wang se puede lograr fácilmente modificando los bordes de las fichas como piezas de un rompecabezas para que puedan encajar entre sí solo como lo prescriben los colores de los bordes. ^[12] Raphael Robinson , en un artículo de 1971 ^[13] que simplificó las técnicas de Berger y la prueba de indecidibilidad, utilizó esta técnica para obtener un conjunto aperiódico de solo seis prototipos de fichas. ^[14]

Desarrollo de los mosaicos de Penrose

Figura 2. Teselación pentagonal de Penrose (P1) dibujada en negro sobre una teselación romboidal coloreada (P3) con bordes amarillos. ^[15]

El primer mosaico de Penrose (mosaico P1 a continuación) es un conjunto aperiódico de seis protoazulejos, introducido por Roger Penrose en un artículo de 1974, ^[16] basado en pentágonos en lugar de cuadrados. Cualquier intento de teselar el plano con pentágonos regulares necesariamente deja huecos, pero Johannes Kepler demostró, en su obra de 1619 Harmonices Mundi , que estos huecos se pueden llenar utilizando pentagramas ( polígonos estrellados ), decágonos y formas relacionadas. ^[17] Kepler extendió este mosaico con cinco polígonos y no encontró patrones periódicos, y ya conjeturó que cada extensión introduciría una nueva característica ^[18] creando así un mosaico aperiódico. También se pueden encontrar rastros de estas ideas en el trabajo de Albrecht Dürer . ^[19] Reconociendo la inspiración de Kepler, Penrose encontró reglas de coincidencia para estas formas, obteniendo un conjunto aperiódico. Estas reglas de coincidencia se pueden imponer mediante decoraciones de los bordes, como con los mosaicos de Wang. El mosaico de Penrose puede verse como una finalización del patrón Aa finito de Kepler . ^[20]

Un mosaico no Penrose con pentágonos y rombos finos en la iglesia de peregrinación de San Juan Nepomuceno de principios del siglo XVIII en Zelená hora, República Checa

Penrose redujo posteriormente el número de prototiles a dos, descubriendo el mosaico de cometas y dardos (mosaico P2 a continuación) y el mosaico de rombos (mosaico P3 a continuación). ^[21] El mosaico de rombos fue descubierto independientemente por Robert Ammann en 1976. ^[22] Penrose y John H. Conway investigaron las propiedades de los mosaicos de Penrose y descubrieron que una propiedad de sustitución explicaba su naturaleza jerárquica; sus hallazgos fueron publicados por Martin Gardner en su columna " Juegos matemáticos " de enero de 1977 en Scientific American . ^[23]

En 1981, NG de Bruijn proporcionó dos métodos diferentes para construir mosaicos de Penrose. El "método multigrid" de De Bruijn obtiene los mosaicos de Penrose como los gráficos duales de arreglos de cinco familias de líneas paralelas. En su "método de corte y proyecto", los mosaicos de Penrose se obtienen como proyecciones bidimensionales a partir de una estructura cúbica de cinco dimensiones . En estos enfoques, el mosaico de Penrose se ve como un conjunto de puntos, sus vértices, mientras que los mosaicos son formas geométricas obtenidas al conectar vértices con aristas. ^{[24] Una construcción de 1990 por Baake, Kramer, Schlottmann y Zeidler derivó el mosaico de Penrose y el mosaico} de triángulos de Tübingen relacionado de manera similar a partir del panal de abeja de cinco celdas de cuatro dimensiones . ^[25]

Teselación de Penrose

Un mosaico P1 que utiliza el conjunto original de seis prototipos de Penrose

Mosaicos Penrose P1 con arcos circulares superpuestos y nodos para aplicar las reglas de mosaico

Los tres tipos de mosaico de Penrose, P1–P3, se describen individualmente a continuación. ^[26] Tienen muchas características comunes: en cada caso, los mosaicos se construyen a partir de formas relacionadas con el pentágono (y por lo tanto con la proporción áurea ), pero las formas básicas de los mosaicos deben complementarse con reglas de coincidencia para poder colocarlos de manera aperiódica. Estas reglas pueden describirse utilizando vértices o aristas etiquetadas, o patrones en las caras de los mosaicos; alternativamente, el perfil de la arista puede modificarse (por ejemplo, mediante indentaciones y protuberancias) para obtener un conjunto aperiódico de protomoselados. ^{[9] [27]}

Revestimiento original pentagonal de Penrose (P1)

El primer mosaico de Penrose utiliza pentágonos y otras tres formas: una "estrella" de cinco puntas (un pentagrama), un "barco" (aproximadamente 3/5 de una estrella) y un "diamante" (un rombo delgado). ^[28] Para garantizar que todos los mosaicos no sean periódicos, hayreglas de coincidencia que especifican cómo pueden encontrarse las fichas entre sí, y hay tres tipos diferentes de reglas de coincidencia para las fichas pentagonales. Al tratar estos tres tipos como prototipos diferentes, se obtiene un conjunto de seis prototipos en total. Es común indicar los tres tipos diferentes de fichas pentagonales utilizando tres colores diferentes, como en la figura de arriba a la derecha.^[29]

Mosaico de cometas y dardos (P2)

Parte del plano cubierto por mosaicos de Penrose de tipo P2 (cometa y dardo). Se crea aplicando varias deflaciones, consulte la sección siguiente.

El segundo mosaico de Penrose utiliza cuadriláteros llamados "cometa" y "dardo", que pueden combinarse para formar un rombo. Sin embargo, las reglas de correspondencia prohíben tal combinación. ^[30] Tanto la cometa como el dardo están compuestos por dos triángulos, llamados triángulos de Robinson , en honor a las notas de Robinson de 1975. ^[31]

Las fichas de cometa y dardo (arriba) y las siete posibles figuras de vértice en una ficha P2, a las que se les asignan los siguientes apodos: Primera fila: estrella, as, sol. Segunda fila: rey, jota, reina, dos.

• La cometa es un cuadrilátero cuyos cuatro ángulos interiores miden 72, 72, 72 y 144 grados. La cometa puede dividirse a lo largo de su eje de simetría para formar un par de triángulos acutángulos de Robinson (con ángulos de 36, 72 y 72 grados).
• El dardo es un cuadrilátero no convexo cuyos cuatro ángulos interiores miden 36, 72, 36 y 216 grados. El dardo puede dividirse en dos a lo largo de su eje de simetría para formar un par de triángulos obtusos de Robinson (con ángulos de 36, 36 y 108 grados), que son más pequeños que los triángulos acutángulos.

Las reglas de coincidencia se pueden describir de varias maneras. Un enfoque consiste en colorear los vértices (con dos colores, por ejemplo, negro y blanco) y exigir que los mosaicos adyacentes tengan vértices coincidentes. ^[32] Otro enfoque consiste en utilizar un patrón de arcos circulares (como se muestra arriba a la izquierda en verde y rojo) para restringir la colocación de los mosaicos: cuando dos mosaicos comparten un borde en un mosaico, los patrones deben coincidir en estos bordes. ^[21]

Estas reglas a menudo obligan a la colocación de ciertas fichas: por ejemplo, el vértice cóncavo de cualquier dardo se llena necesariamente con dos cometas. La figura correspondiente (centro de la fila superior en la imagen inferior de la izquierda) es llamada "as" por Conway; aunque parece una cometa agrandada, no se tesela de la misma manera. ^[33] De manera similar, el vértice cóncavo formado cuando dos cometas se encuentran a lo largo de un borde corto se llena necesariamente con dos dardos (abajo a la derecha). De hecho, solo hay siete formas posibles para que las fichas se encuentren en un vértice; dos de estas figuras, a saber, la "estrella" (arriba a la izquierda) y el "sol" (arriba a la derecha), tienen simetría diedra quíntuple (por rotaciones y reflexiones), mientras que el resto tienen un solo eje de reflexión (vertical en la imagen). ^[34] Aparte del as (arriba en el medio) y el sol, todas estas figuras de vértice obligan a la colocación de fichas adicionales. ^[35]

Mosaico de rombos (P3)

Regla de correspondencia para rombos de Penrose que utilizan arcos circulares o modificaciones de aristas para aplicar las reglas de mosaico

Regla de correspondencia para rombos de Penrose que utilizan bordes parabólicos para aplicar las reglas de mosaico

Un mosaico de Penrose de tipo P3 que utiliza rombos de Penrose con bordes parabólicos

El tercer mosaico utiliza un par de rombos (a menudo denominados "rombos" en este contexto) con lados iguales pero ángulos diferentes. ^[9] Se pueden utilizar mosaicos ordinarios con forma de rombo para teselar el plano periódicamente, por lo que se deben hacer restricciones sobre cómo se pueden ensamblar los mosaicos: no se pueden formar dos mosaicos con un paralelogramo, ya que esto permitiría un mosaico periódico, pero esta restricción no es suficiente para forzar la aperiodicidad, como lo muestra la figura 1 anterior.

Hay dos tipos de fichas, ambas pueden descomponerse en triángulos de Robinson. ^[31]

• El rombo delgado t tiene cuatro esquinas con ángulos de 36, 144, 36 y 144 grados. El rombo puede dividirse en dos a lo largo de su diagonal corta para formar un par de triángulos acutángulos de Robinson.
• El rombo grueso T tiene ángulos de 72, 108, 72 y 108 grados. El rombo T puede dividirse en dos a lo largo de su diagonal mayor para formar un par de triángulos obtusos de Robinson; a diferencia del mosaico P2, estos son más grandes que los triángulos agudos.

Las reglas de emparejamiento distinguen los lados de las fichas e implican que las fichas pueden yuxtaponerse de ciertas maneras particulares, pero no de otras. En la imagen de la derecha se muestran dos formas de describir estas reglas de emparejamiento. En una forma, las fichas deben ensamblarse de manera que las curvas de las caras coincidan en color y posición a lo largo de un borde. En la otra, las fichas deben ensamblarse de manera que las protuberancias de sus bordes encajen entre sí. ^[9]

Hay 54 combinaciones ordenadas cíclicamente de tales ángulos que suman 360 grados en un vértice, pero las reglas del mosaico permiten que sólo aparezcan siete de estas combinaciones (aunque una de ellas surge de dos maneras). ^[36]

Las diversas combinaciones de ángulos y curvaturas faciales permiten la construcción de mosaicos arbitrariamente complejos, como los pollos de Penrose . ^[37]

Características y construcciones

Proporción áurea y simetría pentagonal local

Varias propiedades y características comunes de los teselados de Penrose involucran la proporción áurea (aproximadamente 1,618). ^{[31] [32]} Esta es la relación entre las longitudes de las cuerdas y las longitudes de los lados en un pentágono regular , y satisface φ = 1 + 1/ φ . ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Pentágono con un rombo grueso inscrito (claro), triángulos de Robinson agudos (sombreados ligeramente) y un triángulo de Robinson obtuso pequeño (más oscuro). Las líneas de puntos proporcionan bordes adicionales para cometas y dardos inscritos.

En consecuencia, la razón entre las longitudes de los lados largos y los lados cortos en los triángulos de Robinson ( isósceles ) es φ :1. De ello se deduce que la razón entre las longitudes de los lados largos y los cortos en las fichas de cometa y de dardo también es φ :1, al igual que las razones entre las longitudes de los lados y la diagonal corta en el rombo delgado t , y entre las diagonales largas y los lados en el rombo grueso T . En las fichas P2 y P3, la razón entre el área del triángulo de Robinson más grande y la más pequeña es φ :1, por lo tanto, también lo son las razones entre las áreas de la cometa y el dardo, y entre el rombo grueso y el rombo delgado. (En el pentágono de la izquierda se pueden encontrar triángulos obtusos de Robinson tanto más grandes como más pequeños: los triángulos más grandes en la parte superior –las mitades del rombo grueso– tienen dimensiones lineales escaladas en φ en comparación con el pequeño triángulo sombreado en la base, por lo que la relación de las áreas es φ ² :1).

Cualquier mosaico de Penrose tiene simetría pentagonal local, en el sentido de que hay puntos en el mosaico rodeados por una configuración simétrica de mosaicos: tales configuraciones tienen simetría rotacional quíntuple sobre el punto central, así como cinco líneas especulares de simetría de reflexión que pasan por el punto, un grupo de simetría diedro . ^[9] Esta simetría generalmente preservará solo un parche de mosaicos alrededor del punto central, pero el parche puede ser muy grande: Conway y Penrose demostraron que siempre que las curvas coloreadas en los mosaicos P2 o P3 se cierran en un bucle, la región dentro del bucle tiene simetría pentagonal y, además, en cualquier mosaico, hay como máximo dos curvas de cada color que no se cierran. ^[38]

Puede haber como máximo un punto central de simetría quíntuple global: si hubiera más de uno, entonces rotar cada uno sobre el otro produciría dos centros más cercanos de simetría quíntuple, lo que lleva a una contradicción matemática. ^[39] Solo hay dos teselas de Penrose (de cada tipo) con simetría pentagonal global: para la tesela P2 de cometas y dardos, el punto central es un vértice "sol" o "estrella". ^[40]

Inflación y deflación

Un pentágono descompuesto en seis pentágonos más pequeños (la mitad de una red dodecaédrica) con huecos

Muchas de las características comunes de los mosaicos de Penrose se derivan de una estructura pentagonal jerárquica dada por reglas de sustitución : esto a menudo se conoce como inflación y deflación , o composición y descomposición , de mosaicos o (colecciones de) mosaicos. ^{[9] [23] [41]} Las reglas de sustitución descomponen cada mosaico en mosaicos más pequeños de la misma forma que los utilizados en el mosaico (y por lo tanto permiten que los mosaicos más grandes se "compongan" a partir de los más pequeños). Esto muestra que el mosaico de Penrose tiene una autosimilitud de escala, y por lo tanto puede considerarse como un fractal , utilizando el mismo proceso que el pentaflake . ^[42]

Penrose descubrió originalmente el teselado P1 de esta manera, al descomponer un pentágono en seis pentágonos más pequeños (la mitad de una red de un dodecaedro ) y cinco medios diamantes; luego observó que cuando repetía este proceso, los espacios entre los pentágonos podían llenarse con estrellas, diamantes, barcos y otros pentágonos. ^[28] Al iterar este proceso indefinidamente, obtuvo uno de los dos teselados P1 con simetría pentagonal. ^{[9] [20]}

Descomposiciones en triángulos de Robinson

Triángulos de Robinson y sus descomposiciones

El método de sustitución para los mosaicos P2 y P3 se puede describir utilizando triángulos de Robinson de diferentes tamaños. Los triángulos de Robinson que surgen en los mosaicos P2 (al bisecar cometas y dardos) se denominan mosaicos A, mientras que los que surgen en los mosaicos P3 (al bisecar rombos) se denominan mosaicos B. ^[31] El mosaico A más pequeño, denotado A _S , es un triángulo de Robinson obtuso , mientras que el mosaico A más grande, A _L , es agudo ; en contraste, un mosaico B más pequeño, denotado B _S , es un triángulo de Robinson agudo, mientras que el mosaico B más grande, B _L , es obtuso.

Concretamente, si A _S tiene lados de longitud (1, 1, φ ), entonces A _L tiene lados de longitud ( φ , φ , 1). Las teselas B pueden relacionarse con dichas teselas A de dos maneras:

• Si B _S tiene el mismo tamaño que A _L, entonces B _L es una versión ampliada φ A _S de A _S , con longitudes de lado ( φ , φ , φ ²  = 1 +  φ ) – esto se descompone en una loseta A _{L y una loseta A S} unidas a lo largo de un lado común de longitud 1.
• Si en cambio B _L se identifica con A _S , entonces B _S es una versión reducida (1/ φ )A _L de A _L con longitudes de lado (1/ φ ,1/ φ ,1) – uniendo una baldosa B _S y una baldosa B _L a lo largo de un lado común de longitud 1 se obtiene (una descomposición de) una baldosa A _L.

En estas descomposiciones, parece haber una ambigüedad: los triángulos de Robinson pueden descomponerse de dos maneras, que son imágenes especulares una de la otra en el eje de simetría (isósceles) del triángulo. En un mosaico de Penrose, esta elección está determinada por las reglas de correspondencia. Además, las reglas de correspondencia también determinan cómo se componen los triángulos más pequeños del mosaico para dar los más grandes. ^[31]

Inflación parcial de una estrella para producir rombos, y de una colección de rombos para producir un as.

De ello se deduce que los mosaicos P2 y P3 son mutuamente derivables localmente : un mosaico de un conjunto de mosaicos puede utilizarse para generar un mosaico de otro. Por ejemplo, un mosaico de cometas y dardos puede subdividirse en mosaicos A, y estos pueden componerse de manera canónica para formar mosaicos B y, por lo tanto, rombos. ^[15] Los mosaicos P2 y P3 también son mutuamente derivables localmente con el mosaico P1 (véase la figura 2 anterior). ^[43]

La descomposición de las fichas B en fichas A se puede escribir

BS = _AL , _BL = _AL + _AS​

(asumiendo la convención de mayor tamaño para los mosaicos B), que se puede resumir en una ecuación de matriz de sustitución : ^[44]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.}$

Combinando esto con la descomposición de las fichas A ampliadas de φ en fichas B se obtiene la sustitución

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi A_{L}\\\varphi A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,,}$

de modo que la ficha ampliada φ A _L se descompone en dos fichas A _L y una ficha A _S. Las reglas de correspondencia fuerzan una sustitución particular: las dos fichas A _{L en una ficha} φ A _L deben formar una cometa, y por lo tanto una cometa se descompone en dos cometas y dos medios dardos, y un dardo se descompone en una cometa y dos medios dardos. ^{[45] [46] Las fichas} φ B ampliadas se descomponen en fichas B de una manera similar (a través de las fichas φ A).

La composición y la descomposición se pueden iterar, de modo que, por ejemplo

${\displaystyle \varphi ^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.}$

El número de cometas y dardos en la n -ésima iteración de la construcción está determinado por la n -ésima potencia de la matriz de sustitución:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{2n+1}&F_{2n}\\F_{2n}&F_{2n-1}\end{pmatrix}}\,,}$

donde F _n es el n- ésimo número de Fibonacci . Por lo tanto, la relación entre el número de cometas y dardos en cualquier patrón de mosaico de Penrose P2 suficientemente grande se aproxima a la proporción áurea φ . ^[47] Un resultado similar se aplica a la relación entre el número de rombos gruesos y rombos delgados en el mosaico de Penrose P3. ^[45]

Deflación para teselaciones P2 y P3

Deflaciones consecutivas del vértice 'sol' en un mosaico de Penrose de tipo P2

Deflaciones consecutivas de un conjunto de teselas en un mosaico de Penrose de tipo P3

Octava deflación del vértice 'sol' en un teselado de Penrose de tipo P2

Partiendo de una colección de fichas de un mosaico dado (que puede ser una ficha única, una ficha del plano o cualquier otra colección), la deflación procede con una secuencia de pasos llamados generaciones. En una generación de deflación, cada ficha se reemplaza con dos o más fichas nuevas que son versiones a menor escala de las fichas utilizadas en el mosaico original. Las reglas de sustitución garantizan que las nuevas fichas se dispondrán de acuerdo con las reglas de correspondencia. ^[45] Las generaciones repetidas de deflación producen un mosaico de la forma del axioma original con fichas cada vez más pequeñas.

Esta regla para dividir las fichas es una regla de subdivisión .

La tabla anterior debe utilizarse con precaución. El desinflado de media cometa y de media dardo es útil solo en el contexto del desinflado de un patrón más grande, como se muestra en los desinflados del sol y de la estrella. Arrojan resultados incorrectos si se aplican a cometas y dardos individuales.

Además, la regla de subdivisión simple genera agujeros cerca de los bordes del mosaico, que son visibles en las ilustraciones superior e inferior de la derecha. Las reglas de forzado adicionales son útiles.

Consecuencias y aplicaciones

La inflación y la deflación producen un método para construir mosaicos de cometas y dardos (P2), o mosaicos de rombos (P3), conocidos como generación arriba-abajo . ^{[33] [45] [46]}

Los mosaicos de Penrose, al no ser periódicos, no tienen simetría traslacional: el patrón no se puede desplazar para que coincida consigo mismo en todo el plano. Sin embargo, cualquier región acotada, sin importar cuán grande sea, se repetirá una cantidad infinita de veces dentro del mosaico. Por lo tanto, ningún parche finito puede determinar de manera única un mosaico de Penrose completo, ni siquiera determinar qué posición dentro del mosaico se está mostrando. ^[48]

Esto demuestra en particular que el número de teselas de Penrose distintas (de cualquier tipo) es incontablemente infinito . La generación ascendente-descendente produce un método para parametrizar las teselas, pero otros métodos utilizan barras de Ammann, pentagramas o esquemas de corte y proyección. ^[45]

Mosaicos y temas relacionados

Recubrimientos decagonales y cuasicristales

Decágono de Gummelt (izquierda) con la descomposición en cometas y dardos indicada por líneas discontinuas; las líneas más gruesas y oscuras delimitan un as inscrito y un rombo grueso; las posibles superposiciones (derecha) son mediante uno o dos ases rojos. ^[49]

En 1996, la matemática alemana Petra Gummelt demostró que se puede construir una cubierta (así llamada para distinguirla de una teselación no superpuesta) equivalente a la teselación de Penrose utilizando una sola tesela decagonal si se permiten dos tipos de regiones superpuestas. ^[50] La tesela decagonal está decorada con parches de colores, y la regla de la cubierta permite solo aquellas superposiciones compatibles con el color. Una descomposición adecuada de la tesela decagonal en cometas y dardos transforma dicha cubierta en una teselación de Penrose (P2). De manera similar, se puede obtener una teselación P3 inscribiendo un rombo grueso en cada decágono; el espacio restante se llena con rombos delgados.

Estas cubiertas se han considerado como un modelo realista para el crecimiento de cuasicristales : los decágonos superpuestos son "celdas cuasi-unitarias" análogas a las celdas unitarias a partir de las cuales se construyen los cristales, y las reglas de coincidencia maximizan la densidad de ciertos grupos atómicos. ^{[49] [51]} La naturaleza aperiódica de las cubiertas puede dificultar los estudios teóricos de propiedades físicas, como la estructura electrónica, debido a la ausencia del teorema de Bloch . Sin embargo, los espectros de cuasicristales aún se pueden calcular con control de errores. ^[52]

Mosaicos relacionados

Mosaico de corbata y naveta (en rojo sobre fondo de Penrose)

Las tres variantes del mosaico de Penrose son derivables localmente entre sí. Seleccionar algunos subconjuntos de los vértices de un mosaico P1 permite producir otros mosaicos no periódicos. Si las esquinas de un pentágono en P1 se etiquetan en sucesión con 1,3,5,2,4, se establece un etiquetado inequívoco en todos los pentágonos, en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario. Los puntos con la misma etiqueta definen un mosaico de triángulos de Robinson, mientras que los puntos con los números 3 y 4 definen los vértices de un mosaico de Tie-and-Navette. ^[53]

Una variante de mosaico que no es un cuasicristal. No es un mosaico de Penrose porque no cumple con las reglas de alineación de mosaicos.

Existen también otros teselados no equivalentes relacionados, como el teselado hexágono-barco-estrella y el teselado Mikulla-Roth. Por ejemplo, si las reglas de correspondencia para el teselado romboidal se reducen a una restricción específica sobre los ángulos permitidos en cada vértice, se obtiene un teselado binario. ^[54] Su simetría subyacente también es quíntuple, pero no es un cuasicristal. Se puede obtener decorando los rombos del teselado original con otros más pequeños, o aplicando reglas de sustitución, pero no mediante el método de corte y proyección de De Bruijn. ^[55]

Arte y arquitectura

• 
  Patrón de azulejos Girih pentagonales y decagonales en una enjuta del santuario Darb-i Imam , Isfahán , Irán (1453 d. C.)
• 
  Centro de Tránsito de Salesforce en San Francisco. La "piel" exterior, hecha de aluminio blanco, está perforada siguiendo el patrón de los mosaicos de Penrose.
• 
  Revestimiento de baldosas Penrose en el suelo del Centro de informática 3 (CC-3), IIIT Allahabad

El valor estético de los mosaicos ha sido apreciado desde hace mucho tiempo y sigue siendo una fuente de interés en ellos; por lo tanto, la apariencia visual (en lugar de las propiedades formales definitorias) de los mosaicos de Penrose ha atraído la atención. La similitud con ciertos patrones decorativos utilizados en el norte de África y Oriente Medio se ha observado; ^{[56] [57]} los físicos Peter J. Lu y Paul Steinhardt han presentado evidencia de que un mosaico de Penrose subyace a ejemplos de patrones geométricos islámicos medievales , como los mosaicos girih (de correas) en el santuario Darb-e Imam en Isfahán . ^[58]

El artista de Drop City Clark Richert utilizó rombos de Penrose en sus obras de arte de 1970, obtenidos al proyectar la sombra del triacontaedro rómbico sobre un plano, observando los rombos "gruesos" y "delgados" incrustados que se unen para producir la teselación no periódica. El historiador de arte Martin Kemp ha observado que Alberto Durero esbozó motivos similares de mosaico de rombos. ^[59]

En 1979, la Universidad de Miami utilizó un revestimiento de Penrose ejecutado en terrazo para decorar el patio del Bachelor Hall en su Departamento de Matemáticas y Estadística. ^[60]

En el Instituto Indio de Tecnología de la Información de Allahabad , desde la primera fase de construcción en 2001, los edificios académicos se diseñaron sobre la base de la "Geometría de Penrose", diseñada a partir de teselaciones desarrolladas por Roger Penrose. En muchos lugares de esos edificios, el suelo tiene patrones geométricos compuestos por mosaicos de Penrose. ^[61]

El suelo del atrio del edificio Bayliss de la Universidad de Australia Occidental está revestido con baldosas Penrose. ^[62]

El edificio Andrew Wiles , sede del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Oxford desde octubre de 2013, ^[63] incluye una sección de baldosas Penrose como pavimento de su entrada. ^[64]

La parte peatonal de la calle Keskuskatu , en el centro de Helsinki, está pavimentada con baldosas de Penrose. La obra finalizó en 2014. ^[65]

El Salesforce Transit Center de San Francisco de 2018 presenta perforaciones en la ondulada piel metálica blanca de su exterior siguiendo el patrón de Penrose. ^[66]

Véase también

• Azulejos de Girih
• Lista de conjuntos de fichas aperiódicos
• Azulejos con forma de molinete
• Azulejos pentagonales
• Teselación cuacuaversal
• Triángulo de Tubinga

Notas

1. Senechal 1996, págs. 241–244.
2. Radin 1996.
3. Las referencias generales para este artículo incluyen Gardner 1997, págs. 1–30, Grünbaum y Shephard 1987, págs. 520–548 y 558–579, y Senechal 1996, págs. 170–206.
4. Gardner 1997, págs. 20, 23
5. Grünbaum y Shephard 1987, pág. 520
6. Culik y Kari 1997
7. Wang 1961
8. Robert Berger en el Proyecto de Genealogía Matemática
9. Austin 2005a
10. Berger 1966
11. Grünbaum y Shephard 1987, pág. 584
12. Gardner 1997, pág. 5
13. Robinson 1971
14. Grünbaum y Shephard 1987, pág. 525
15. Senechal 1996, págs. 173-174
16. Penrose 1974
17. Grünbaum y Shephard 1987, sección 2.5
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20. Senechal 1996, pág. 171
21. Gardner 1997, pág. 6
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23. Gardner 1997, capítulo 1
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26. La notación P1–P3 se toma de Grünbaum & Shephard 1987, sección 10.3
27. Grünbaum y Shephard 1987, sección 10.3
28. Penrose 1978, pág. 32
29. "Sin embargo, como se explicará en breve, los pentágonos de diferentes colores se considerarán diferentes tipos de mosaicos". Austin 2005a; Grünbaum & Shephard 1987, figura 10.3.1, muestra las modificaciones de los bordes necesarias para producir un conjunto aperiódico de prototipos de mosaicos.
30. "El rombo, por supuesto, se une periódicamente, pero no se nos permite unir las piezas de esta manera". Gardner 1997, págs. 6-7
31. Grünbaum y Shephard 1987, págs. 537-547
32. Senechal 1996, pág. 173
33. Gardner 1997, pág. 8
34. Gardner 1997, págs. 10-11
35. Gardner 1997, pág. 12
36. Senéchal 1996, pág. 178
37. "Las fichas de Penrose". Matemáticas asesinas . Consultado el 20 de enero de 2020 .
38. Gardner 1997, pág. 9
39. Gardner 1997, pág. 27
40. Grünbaum y Shephard 1987, pág. 543
41. En Grünbaum y Shephard 1987, se utiliza el término "inflación" donde otros autores utilizarían "deflación" (seguido de reescalamiento). Los términos "composición" y "descomposición", que también utilizan muchos autores, son menos ambiguos.
42. Ramachandrarao, P (2000). "Sobre la naturaleza fractal del teselado de Penrose" (PDF) . Current Science . 79 : 364.
43. Grünbaum y Shephard 1987, pág. 546
44. Senechal 1996, págs. 157-158
45. Austin 2005b
46. Senechal 1996, pág. 183
47. Gardner 1997, pág. 7
48. "... cualquier parche finito que elijamos en un mosaico se encontrará dentro de un único mosaico inflado si continuamos avanzando lo suficiente en la jerarquía de inflación. Esto significa que en cualquier lugar donde ese mosaico se encuentre en ese nivel de la jerarquía, nuestro parche original también debe encontrarse en el mosaico original. Por lo tanto, el parche se encontrará infinitamente a menudo en el mosaico original y, de hecho, también en todos los demás mosaicos". Austin 2005a
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Referencias

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Enlaces externos

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