En geometría, una sustitución de teselas es un método para construir teselas altamente ordenadas . Lo más importante es que algunas sustituciones de teselas generan teselas aperiódicas , que son teselas cuyos prototipos no admiten ninguna teselación con simetría traslacional . Las más famosas de estas son las teselas de Penrose . Las teselas por sustitución son casos especiales de reglas de subdivisión finita , que no requieren que las teselas sean geométricamente rígidas.
Una sustitución de teselas se describe mediante un conjunto de prototeselas (formas de teselas) , un mapa en expansión y una regla de disección que muestra cómo diseccionar las prototeselas expandidas para formar copias de algunas prototeselas . Intuitivamente, iteraciones cada vez más altas de sustitución de teselas producen un teselado del plano llamado teselado de sustitución . Algunas teselas de sustitución son periódicas , definidas como simétricas traslacionales . Cada teselado de sustitución (hasta condiciones moderadas) puede ser "aplicado por reglas de coincidencia", es decir, existe un conjunto de teselas marcadas que solo pueden formar exactamente los teselados de sustitución generados por el sistema. Los teselados por estas teselas marcadas son necesariamente aperiódicos . [1] [2]
Un ejemplo simple que produce un mosaico periódico tiene solo un prototipo, es decir, un cuadrado:
Al iterar esta sustitución de mosaicos, se cubren regiones cada vez más grandes del plano con una cuadrícula cuadrada. A continuación se muestra un ejemplo más sofisticado con dos prototipos de mosaicos, con los dos pasos de ampliación y disección fusionados en un solo paso.
Se puede tener una idea intuitiva de cómo este procedimiento produce un teselado por sustitución de todo el plano . A continuación se ofrece una definición matemáticamente rigurosa. Los teselados por sustitución son especialmente útiles como formas de definir teselados aperiódicos , que son objetos de interés en muchos campos de las matemáticas , incluida la teoría de autómatas , la combinatoria , la geometría discreta , los sistemas dinámicos , la teoría de grupos , el análisis armónico y la teoría de números , así como la cristalografía y la química . En particular, el célebre teselado de Penrose es un ejemplo de teselado por sustitución aperiódico.
En 1973 y 1974, Roger Penrose descubrió una familia de teselados aperiódicos, ahora llamados teselados de Penrose . La primera descripción se dio en términos de "reglas de coincidencia" que tratan a los prototiles como piezas de un rompecabezas . La prueba de que las copias de estos prototiles se pueden juntar para formar un teselado del plano, pero no pueden hacerlo periódicamente, utiliza una construcción que se puede plantear como un teselado de sustitución de los prototiles. En 1977, Robert Ammann descubrió una serie de conjuntos de prototiles aperiódicos, es decir, prototiles con reglas de coincidencia que fuerzan teselados no periódicos; en particular, redescubrió el primer ejemplo de Penrose. Este trabajo tuvo un impacto en los científicos que trabajaban en cristalografía , lo que finalmente llevó al descubrimiento de los cuasicristales . A su vez, el interés en los cuasicristales llevó al descubrimiento de varios teselados aperiódicos bien ordenados. Muchos de ellos pueden describirse fácilmente como teselados de sustitución.
Consideraremos regiones que se comportan bien , en el sentido de que una región es un subconjunto compacto no vacío que es el cierre de su interior .
Tomamos un conjunto de regiones como prototiles. Una colocación de un prototile es un par donde es una isometría de . La imagen se llama región de la colocación. Un teselado T es un conjunto de colocaciones de prototiles cuyas regiones tienen interiores disjuntos por pares. Decimos que el teselado T es un teselado de W donde W es la unión de las regiones de las colocaciones en T .
En la literatura, la sustitución de una ficha suele definirse de forma imprecisa. A continuación se ofrece una definición precisa: [3]
Una sustitución de mosaicos con respecto a los prototipos de mosaicos P es un par , donde es una función lineal , cuyos valores propios son todos mayores que uno en módulo, junto con una regla de sustitución que asigna cada uno a un mosaico de . La regla de sustitución induce una función desde cualquier mosaico T de una región W a un mosaico de , definido por
Nótese que los prototipos se pueden deducir a partir de la sustitución de losetas, por lo que no es necesario incluirlos en la sustitución de losetas . [4]
Cada teselación de , donde cualquier parte finita de ella es congruente con un subconjunto de algún se llama teselación de sustitución (para la sustitución de tesela ).
