Aceleración (relatividad especial)

Diferencial de velocidad a lo largo del tiempo, como se describe en el espacio-tiempo de Minkowski

Las aceleraciones en la relatividad especial (RE) se siguen, como en la mecánica newtoniana , por diferenciación de la velocidad con respecto al tiempo . Debido a la transformación de Lorentz y la dilatación del tiempo , los conceptos de tiempo y distancia se vuelven más complejos, lo que también conduce a definiciones más complejas de "aceleración". La RE como teoría del espacio-tiempo plano de Minkowski sigue siendo válida en presencia de aceleraciones, porque la relatividad general (RG) solo se requiere cuando hay curvatura del espacio-tiempo causada por el tensor de energía-momento (que está determinado principalmente por la masa ). Sin embargo, dado que la cantidad de curvatura del espacio-tiempo no es particularmente alta en la Tierra o sus alrededores, la RE sigue siendo válida para la mayoría de los propósitos prácticos, como los experimentos en aceleradores de partículas . ^[1]

Se pueden derivar fórmulas de transformación para aceleraciones ordinarias en tres dimensiones espaciales (aceleración tridimensional o aceleración coordinada) medidas en un marco de referencia inercial externo , así como para el caso especial de aceleración propia medida por un acelerómetro comóvil . Otro formalismo útil es la aceleración cuádruple , ya que sus componentes se pueden conectar en diferentes marcos inerciales mediante una transformación de Lorentz. También se pueden formular ecuaciones de movimiento que conectan aceleración y fuerza . Las ecuaciones para varias formas de aceleración de cuerpos y sus líneas de universo curvas se derivan de estas fórmulas por integración . Los casos especiales bien conocidos son el movimiento hiperbólico para aceleración propia longitudinal constante o el movimiento circular uniforme . Finalmente, también es posible describir estos fenómenos en marcos acelerados en el contexto de la relatividad especial, véase Marco de referencia propio (espacio-tiempo plano) . En tales marcos, surgen efectos que son análogos a los campos gravitatorios homogéneos , que tienen algunas similitudes formales con los campos gravitatorios reales, no homogéneos, del espacio-tiempo curvo en la relatividad general. En el caso del movimiento hiperbólico se pueden utilizar las coordenadas de Rindler , en el caso del movimiento circular uniforme se pueden utilizar las coordenadas de Born .

En cuanto al desarrollo histórico, las ecuaciones relativistas que contienen aceleraciones ya se pueden encontrar en los primeros años de la relatividad, como se resume en los primeros libros de texto de Max von Laue (1911, 1921) ^[2] o Wolfgang Pauli (1921). ^[3] Por ejemplo, las ecuaciones de movimiento y las transformaciones de aceleración se desarrollaron en los artículos de Hendrik Antoon Lorentz (1899, 1904), ^{[H 1] [H 2]} Henri Poincaré (1905), ^{[H 3] [H 4]} Albert Einstein (1905), ^{[H 5]} Max Planck (1906), ^{[H 6]} y la aceleración cuádruple, la aceleración propia, el movimiento hiperbólico, los marcos de referencia acelerados y la rigidez de Born han sido analizados por Einstein (1907), ^{[H 7]} Hermann Minkowski (1907, 1908), ^{[H 8] [H 9]} Max Born (1909), ^{[H 10]} Gustav Herglotz (1909), ^{[H 11] [H 12]} Arnold Sommerfeld (1910), ^{[H 13] [H 14]} von Laue (1911), ^{[H 15] [H 16]} Friedrich Kottler (1912, 1914), ^{[H 17]} véase la sección sobre historia.

Tres aceleraciones

De acuerdo con la mecánica newtoniana y la teoría de relaciones regresivas, la aceleración tridimensional o aceleración coordenada es la primera derivada de la velocidad con respecto al tiempo coordenado o la segunda derivada de la ubicación con respecto al tiempo coordenado: ${\displaystyle \mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y},\ u_{z}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\left(x,\ y,\ z\right)}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$.

Sin embargo, las teorías difieren marcadamente en sus predicciones en términos de la relación entre las aceleraciones trifásicas medidas en diferentes sistemas inerciales. En la mecánica newtoniana, el tiempo es absoluto de acuerdo con la transformación galileana , por lo tanto, la aceleración trifásica derivada de ella es igual también en todos los sistemas inerciales: ^[4] ${\displaystyle t'=t}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '}$.

Por el contrario, en SR, tanto y dependen de la transformación de Lorentz, por lo tanto, también la aceleración triaxial y sus componentes varían en diferentes sistemas inerciales. Cuando la velocidad relativa entre los sistemas está dirigida en la dirección x por con como factor de Lorentz , la transformación de Lorentz tiene la forma ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle v=v_{x}}$ ${\displaystyle \gamma _{v}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

o para velocidades arbitrarias de magnitud : ^[5] ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)}$ ${\displaystyle |\mathbf {v} |=v}$

Para encontrar la transformación de tres aceleraciones, hay que diferenciar las coordenadas espaciales y de la transformación de Lorentz con respecto a y , de donde se sigue la transformación de tres velocidades (también llamada fórmula de adición de velocidad ) entre y , y eventualmente por otra diferenciación con respecto a y se sigue la transformación de tres aceleraciones entre y . Partiendo de ( 1a ), este procedimiento da la transformación donde las aceleraciones son paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad: ^{[6] [7] [8] [9] [H 4] [H 15]} ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} '}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} '}$

o partiendo de ( 1b ) este procedimiento da el resultado para el caso general de direcciones arbitrarias de velocidades y aceleraciones: ^{[10] [11]}

Esto significa que, si hay dos sistemas inerciales y con velocidad relativa , entonces en la aceleración de un objeto con velocidad momentánea se mide, mientras que en el mismo objeto tiene una aceleración y tiene la velocidad momentánea . Al igual que con las fórmulas de adición de velocidad, también estas transformaciones de aceleración garantizan que la velocidad resultante del objeto acelerado nunca pueda alcanzar o superar la velocidad de la luz . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} '}$ ${\displaystyle \mathbf {u} '}$

Cuatro aceleraciones

Si se utilizan cuatro vectores en lugar de tres vectores, es decir , como cuatro posiciones y como cuatro velocidades , entonces la cuatro aceleraciones de un objeto se obtiene por diferenciación con respecto al tiempo propio en lugar del tiempo de coordenadas: ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{t},\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z}\right)=\left(A_{t},\ \mathbf {A} _{r}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$

donde es la aceleración trisónica del objeto y su velocidad trisónica momentánea de magnitud con el factor de Lorentz correspondiente . Si solo se considera la parte espacial, y cuando la velocidad está dirigida en la dirección x por y solo se consideran aceleraciones paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad, la expresión se reduce a: ^{[15] [16]} ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$ ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}$ ${\displaystyle u=u_{x}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{r}=\mathbf {a} \left(\gamma ^{4},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)}$

A diferencia de la aceleración de tres puntos analizada anteriormente, no es necesario derivar una nueva transformación para la aceleración de cuatro puntos, porque, como ocurre con todos los vectores de cuatro puntos, los componentes de y en dos sistemas inerciales con velocidad relativa están conectados por una transformación de Lorentz análoga a ( 1a , 1b ). Otra propiedad de los vectores de cuatro puntos es la invariancia del producto interno o su magnitud , que da en este caso: ^{[16] [13] [17]} ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} '}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}=-A_{t}^{2}+\mathbf {A} _{r}^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {A} |={\sqrt {\mathbf {A} ^{2}}}}$

Aceleración adecuada

En duraciones infinitesimales pequeñas siempre hay un sistema inercial, que momentáneamente tiene la misma velocidad que el cuerpo acelerado, y en el que se cumple la transformación de Lorentz. La aceleración tridimensional correspondiente en estos sistemas se puede medir directamente con un acelerómetro, y se llama aceleración propia ^{[18] [H 14]} o aceleración en reposo. ^{[19] [H 12]} La relación de en un sistema inercial momentáneo y medida en un sistema inercial externo se deduce de ( 1c , 1d ) con , , y . Así que en términos de ( 1c ), cuando la velocidad está dirigida en la dirección x por y cuando solo se consideran aceleraciones paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad, se deduce: ^{[12] [19] [ 18] [H 1] [H 2] [H 14] [H 12]} ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}=\left(a_{x}^{0},\ a_{y}^{0},\ a_{z}^{0}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$ ${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$

Generalizado por ( 1d ) para direcciones arbitrarias de magnitud : ^{[20] [21] [17]} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\gamma ^{2}\left[\mathbf {a} +{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(\gamma -1\right)\right]\\\mathbf {a} &={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left[\mathbf {a} ^{0}-{\frac {(\mathbf {a} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]\end{aligned}}}$

También existe una estrecha relación con la magnitud de la cuadri-aceleración: como es invariante, se puede determinar en el marco inercial momentáneo , en el que y por lo que se sigue : ^{[19] [12] [22] [H 16]} ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{r}^{\prime }=\mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle dt'/d\tau =1}$ ${\displaystyle d^{2}t'/d\tau ^{2}=A_{t}^{\prime }=0}$

Por lo tanto, la magnitud de la aceleración cuadrática corresponde a la magnitud de la aceleración propia. Al combinar esto con ( 2b ), se obtiene un método alternativo para la determinación de la conexión entre in y in , a saber, ^{[13] [17]} ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle |\mathbf {a} ^{0}|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}}$

de donde ( 3a ) se sigue nuevamente cuando la velocidad está dirigida en la dirección x por y solo se consideran aceleraciones paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad. ${\displaystyle u=u_{x}}$

Aceleración y fuerza

Suponiendo una masa constante , la cuádruple fuerza en función de la cuádruple fuerza está relacionada con la cuádruple aceleración ( 2a ) por , por lo tanto: ^{[23] [24]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} }$

La relación entre tres fuerzas y tres aceleraciones para direcciones arbitrarias de la velocidad es, por tanto, ^{[25] [26] [23]}

Cuando la velocidad está dirigida en la dirección x y solo se consideran aceleraciones paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad ^{[27] [26] [23] [H 2] [H 6]} ${\displaystyle u=u_{x}}$

Por lo tanto, la definición newtoniana de masa como la relación entre tres fuerzas y tres aceleraciones es desventajosa en la teoría de relatividad especial, porque dicha masa dependería tanto de la velocidad como de la dirección. En consecuencia, las siguientes definiciones de masa utilizadas en libros de texto antiguos ya no se utilizan: ^{[27] [28] [H 2]}

${\displaystyle m_{\Vert }={\frac {f_{x}}{a_{x}}}=m\gamma ^{3}}$como "masa longitudinal",

${\displaystyle m_{\perp }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma }$como "masa transversal".

La relación ( 4b ) entre tres aceleraciones y tres fuerzas también se puede obtener a partir de la ecuación de movimiento ^{[29] [25] [H 2] [H 6]}

donde es el momento de tres momentos. La transformación correspondiente de la fuerza de tres momentos entre in y in (cuando la velocidad relativa entre los marcos está dirigida en la dirección x por y solo se consideran las aceleraciones paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad) se obtiene sustituyendo las fórmulas de transformación pertinentes por , , , , o a partir de los componentes de la fuerza de cuatro momentos transformados por Lorentz, con el resultado: ^{[29] [30] [24] [H 3] [H 15]} ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {f} '}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle v=v_{x}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle m\gamma }$ ${\displaystyle d(m\gamma )/dt}$

O generalizado para direcciones arbitrarias de , así como con magnitud : ^{[31] [32]} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle |\mathbf {v} |=v}$

Aceleración adecuada y fuerza adecuada

La fuerza en un sistema inercial momentáneo medida por una balanza de resorte comóvil puede llamarse fuerza propia. ^{[33] [34]} Se deduce de ( 4e , 4f ) al establecer y así como y . Por lo tanto, por ( 4e ) donde solo se consideran aceleraciones paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad : ^{[35] [33] [34]} ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$ ${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$

Generalizado por ( 4f ) para direcciones arbitrarias de magnitud : ^{[35] [36]} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \gamma -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}(\gamma -1)\\\mathbf {f} &={\frac {\mathbf {f} ^{0}}{\gamma }}+{\frac {(\mathbf {f} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}}$

Dado que en los sistemas inerciales momentáneos se tienen cuatro fuerzas y cuatro aceleraciones , la ecuación ( 4a ) produce la relación newtoniana , por lo tanto ( 3a , 4c , 5a ) se pueden resumir ^[37] ${\displaystyle \mathbf {F} =\left(0,\,\mathbf {f} ^{0}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\,\mathbf {a} ^{0}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$

De esta manera se puede explicar la aparente contradicción en las definiciones históricas de masa transversal . ^[38] Einstein (1905) describió la relación entre la aceleración triaxial y la fuerza propia ^{[H 5].} ${\displaystyle m_{\perp }}$

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Einstein} }={\frac {f_{y}^{0}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}^{0}}{a_{z}}}=m\gamma ^{2}}$,

Mientras que Lorentz (1899, 1904) y Planck (1906) describieron la relación entre tres aceleraciones y tres fuerzas ^{[H 2]}

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Lorentz} }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma }$.

Líneas curvas del mundo

Mediante la integración de las ecuaciones de movimiento se obtienen las líneas de universo curvas de cuerpos acelerados correspondientes a una secuencia de sistemas inerciales momentáneos (aquí, la expresión "curvada" está relacionada con la forma de las líneas de universo en los diagramas de Minkowski, que no deben confundirse con el espacio-tiempo "curvado" de la relatividad general). En relación con esto, debe considerarse la llamada hipótesis del reloj o postulado del reloj: ^{[39] [40]} El tiempo propio de los relojes comóviles es independiente de la aceleración, es decir, la dilatación del tiempo de estos relojes tal como se ve en un sistema inercial externo solo depende de su velocidad relativa con respecto a ese sistema. Ahora se proporcionan dos casos simples de líneas de universo curvas mediante la integración de la ecuación ( 3a ) para la aceleración propia:

a) Movimiento hiperbólico : La aceleración longitudinal propia constante de ( 3a ) conduce a la línea del mundo ^{[12] [18] [19 ] [25] [41] [42] [H 10] [H 15]} ${\displaystyle \alpha =a_{x}^{0}=a_{x}\gamma ^{3}}$

La línea de mundo corresponde a la ecuación hiperbólica , de la que se deriva el nombre de movimiento hiperbólico. Estas ecuaciones se utilizan a menudo para el cálculo de diversos escenarios de la paradoja de los gemelos o la paradoja de la nave espacial de Bell , o en relación con los viajes espaciales utilizando aceleración constante . ${\displaystyle c^{4}/\alpha ^{2}=\left(x+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}}$

b) La aceleración transversal propia constante de ( 3a ) puede verse como una aceleración centrípeta , ^[13] que conduce a la línea de mundo de un cuerpo en rotación uniforme ^{[43] [44]} ${\displaystyle a_{y}^{0}=a_{y}\gamma ^{2}}$

donde es la velocidad tangencial , es el radio orbital, es la velocidad angular en función del tiempo coordenado, y como la velocidad angular propia. ${\displaystyle v=r\Omega _{0}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle \Omega =\gamma \Omega _{0}}$

Se puede obtener una clasificación de las líneas de mundo curvas utilizando la geometría diferencial de curvas triples, que se puede expresar mediante fórmulas de Frenet-Serret del espacio-tiempo . ^[45] En particular, se puede demostrar que el movimiento hiperbólico y el movimiento circular uniforme son casos especiales de movimientos que tienen curvaturas y torsiones constantes , ^[46] satisfaciendo la condición de rigidez de Born . ^{[H 11] [H 17]} Un cuerpo se llama rígido de Born si la distancia del espacio-tiempo entre sus líneas de mundo o puntos separados infinitesimalmente permanece constante durante la aceleración.

Marcos de referencia acelerados

En lugar de marcos inerciales, estos movimientos acelerados y líneas de mundo curvas también pueden describirse utilizando coordenadas aceleradas o curvilíneas . El marco de referencia adecuado establecido de esa manera está estrechamente relacionado con las coordenadas de Fermi . ^{[47] [48]} Por ejemplo, las coordenadas para un marco de referencia acelerado hiperbólicamente a veces se denominan coordenadas de Rindler , o las de un marco de referencia que gira uniformemente se denominan coordenadas cilíndricas rotatorias (o a veces coordenadas de Born ). En términos del principio de equivalencia , los efectos que surgen en estos marcos acelerados son análogos a los efectos en un campo gravitatorio homogéneo y ficticio. De esta manera, se puede ver que el empleo de marcos acelerados en SR produce importantes relaciones matemáticas, que (cuando se desarrollan más) juegan un papel fundamental en la descripción de campos gravitatorios reales, no homogéneos en términos de espacio-tiempo curvo en relatividad general.

Historia

Para mayor información, véase von Laue, ^[2] Pauli, ^[3] Miller, ^[49] Zahar, ^[50] Gourgoulhon, ^[48] y las fuentes históricas en history of special relativity .

1899:

Hendrik Lorentz ^{[H 1]} derivó las relaciones correctas (hasta un cierto factor ) para aceleraciones, fuerzas y masas entre sistemas electrostáticos de partículas en reposo (en un éter estacionario ) y un sistema que emerge de él añadiendo una traslación, con como factor de Lorentz: ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {1}{\epsilon ^{2}}}}$, , para por ( 5a ); ${\displaystyle {\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} /\mathbf {f} ^{0}}$

${\displaystyle {\frac {1}{k^{3}\epsilon }}}$, , para por ( 3a ); ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} /\mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle {\frac {k^{3}}{\epsilon }}}$, , para , por lo tanto masa longitudinal y transversal por ( 4c ); ${\displaystyle {\frac {k}{\epsilon }}}$ ${\displaystyle {\frac {k}{\epsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} /(m\mathbf {a} )}$

Lorentz explicó que no tiene medios para determinar el valor de . Si hubiera fijado , sus expresiones habrían asumido la forma relativista exacta. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon =1}$

1904:

Lorentz ^{[H 2]} derivó las relaciones anteriores de una manera más detallada, es decir con respecto a las propiedades de las partículas en reposo en el sistema y del sistema en movimiento , con la nueva variable auxiliar igual a en comparación con la de 1899, así: ${\displaystyle \Sigma '}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 1/\epsilon }$

${\displaystyle {\mathfrak {F}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right){\mathfrak {F}}(\Sigma ')}$para como función de por ( 5a ); ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$

${\displaystyle m{\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right)m{\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$para como función de por ( 5b ); ${\displaystyle m\mathbf {a} }$ ${\displaystyle m\mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle {\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left({\frac {l}{k^{3}}},\ {\frac {l}{k^{2}}},\ {\frac {l}{k^{2}}}\right){\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$para como función de por ( 3a ); ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$

${\displaystyle m(\Sigma )=\left(k^{3}l,\ kl,\ kl\right)m(\Sigma ')}$para la masa longitudinal y transversal en función de la masa en reposo por ( 4c , 5b ).

Esta vez, Lorentz pudo demostrar que , por lo que sus fórmulas asumen la forma relativista exacta. También formuló la ecuación del movimiento ${\displaystyle l=1}$

${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {F}}={\frac {d{\mathfrak {G}}}{dt}}}}$con ${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {G}}={\frac {e^{2}}{6\pi c^{2}R}}kl{\mathfrak {w}}}}$

que corresponde a ( 4d ) con , con , , , , , y como masa en reposo electromagnética . Además, argumentó que estas fórmulas no solo deberían ser válidas para fuerzas y masas de partículas cargadas eléctricamente, sino también para otros procesos, de modo que el movimiento de la Tierra a través del éter permanezca indetectable. ${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}}$ ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\mathbf {f} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\mathbf {p} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {w}}=\mathbf {u} }$ ${\displaystyle k=\gamma }$ ${\displaystyle e^{2}/(6\pi c^{2}R)=m}$

1905:

Henri Poincaré ^{[H 3]} introdujo la transformación de tres fuerzas ( 4e ):

${\displaystyle X_{1}^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\left(X_{1}+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Y_{1}}{l^{3}}},\quad Z_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Z_{1}}{l^{3}}}}$

con , y como factor de Lorentz, la densidad de carga. O en notación moderna: , , , y . Como Lorentz, estableció . ${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {k}{l^{3}}}(1+\epsilon \xi )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \epsilon =v}$ ${\displaystyle \xi =u_{x}}$ ${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$ ${\displaystyle \Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ ${\displaystyle l=1}$

1905:

Albert Einstein ^{[H 5]} derivó las ecuaciones de movimiento basándose en su teoría especial de la relatividad, que representan la relación entre sistemas inerciales igualmente válidos sin la acción de un éter mecánico. Einstein concluyó que en un sistema inercial momentáneo las ecuaciones de movimiento conservan su forma newtoniana: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=\epsilon X',\quad \mu {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Y',\quad \mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Z'}$.

Esto corresponde a , porque y y . Mediante la transformación en un sistema relativamente móvil obtuvo las ecuaciones para los componentes eléctricos y magnéticos observados en ese marco: ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle \mu =m}$ ${\displaystyle \left({\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\mathbf {a} ^{0}}$ ${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)}$.

Esto corresponde a ( 4c ) con , porque y y y . En consecuencia, Einstein determinó la masa longitudinal y transversal, aunque la relacionó con la fuerza en el marco de reposo momentáneo medida por una balanza de resorte comóvil, y con la aceleración triaxial en el sistema : ^[38] ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)}$ ${\displaystyle \mu =m}$ ${\displaystyle \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=\mathbf {a} }$ ${\displaystyle \left[\epsilon X,\ \epsilon \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f} }$ ${\displaystyle \beta =\gamma }$ ${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\epsilon X=\epsilon X'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)=\epsilon Y'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)=\epsilon Z'\end{aligned}}&{\begin{aligned}{\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}&\ {\text{longitudinal mass}}\\\\{\frac {\mu }{1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}&\ {\text{transverse mass}}\end{aligned}}\end{array}}}$

Esto corresponde a ( 5b ) con . ${\displaystyle m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}}$

1905:

Poincaré ^{[H 4]} introduce la transformación de tres aceleraciones ( 1c ):

${\displaystyle {\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\eta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\zeta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}}}$

donde así como y y . ${\displaystyle \left(\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right)=\mathbf {u} }$ ${\displaystyle k=\gamma }$ ${\displaystyle \epsilon =v}$ ${\displaystyle \mu =1+\xi \epsilon =1+u_{x}v}$

Además, introdujo las cuatro fuerzas en la forma:

${\displaystyle k_{0}X_{1},\quad k_{0}Y_{1},\quad k_{0}Z_{1},\quad k_{0}T_{1}}$

donde y y . ${\displaystyle k_{0}=\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$ ${\displaystyle T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

1906:

Max Planck ^{[H 6]} derivó la ecuación de movimiento

${\displaystyle {\frac {m{\ddot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}=e{\mathfrak {E}}_{x}-{\frac {e{\dot {x}}}{c^{2}}}\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)\ {\text{etc.}}}$

con

${\displaystyle e\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)={\frac {m\left({\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}$y ${\displaystyle e{\mathfrak {E}}_{x}+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)=X\ {\text{etc.}}}$

y

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\{{\frac {m{\dot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\right\}=X\ {\text{etc.}}}$

Las ecuaciones corresponden a ( 4d ) con

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} }$, con y y , de acuerdo con los dados por Lorentz (1904). ${\displaystyle X=f_{x}}$ ${\displaystyle q=v}$ ${\displaystyle {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }$

1907:

Einstein ^{[H 7]} analizó un marco de referencia uniformemente acelerado y obtuvo fórmulas para la dilatación del tiempo dependiente de las coordenadas y la velocidad de la luz, análogas a las dadas por las coordenadas de Kottler-Møller- Rindler .

1907:

Hermann Minkowski ^{[H 9]} definió la relación entre la cuádruple fuerza (a la que llamó fuerza de movimiento) y la cuádruple aceleración.

${\displaystyle m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dx}{d\tau }}=R_{x},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dy}{d\tau }}=R_{y},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dz}{d\tau }}=R_{z},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dt}{d\tau }}=R_{t}}$

correspondiente a . ${\displaystyle m\mathbf {A} =\mathbf {F} }$

1908:

Minkowski ^{[H 8]} denota la segunda derivada con respecto al tiempo propio como "vector de aceleración" (cuatro-aceleración). Demostró que su magnitud en un punto arbitrario de la línea de universo es , donde es la magnitud de un vector dirigido desde el centro de la correspondiente "hipérbola de curvatura" ( en alemán : Krümmungshyperbel ) hasta . ${\displaystyle x,y,z,t}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c^{2}/\varrho }$ ${\displaystyle \varrho }$ ${\displaystyle P}$

1909:

Max Born ^{[H 10] denomina "movimiento hiperbólico" (} en alemán : Hyperbelbewegung ) al movimiento con magnitud constante del vector de aceleración de Minkowski , en el curso de su estudio del movimiento rígidamente acelerado . Establece la velocidad propia (ahora llamada velocidad propia ) y el factor de Lorentz y el tiempo propio, con las ecuaciones de transformación ${\displaystyle p=dx/d\tau }$ ${\displaystyle q=-dt/d\tau ={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi }$.

que corresponde a ( 6a ) con y . Al eliminar, Born derivó la ecuación hiperbólica y definió la magnitud de la aceleración como . También notó que su transformación se puede usar para transformar en un "sistema de referencia acelerado hiperbólicamente" ( en alemán : hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem ). ${\displaystyle \xi =c^{2}/\alpha }$ ${\displaystyle p=c\sinh(\alpha \tau /c)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{2}-c^{2}t^{2}=\xi ^{2}}$ ${\displaystyle b=c^{2}/\xi }$

1909:

Gustav Herglotz ^{[H 11]} extiende la investigación de Born a todos los casos posibles de movimiento rígidamente acelerado, incluida la rotación uniforme.

1910:

Arnold Sommerfeld ^{[H 13]} presentó las fórmulas de Born para el movimiento hiperbólico en una forma más concisa con como variable de tiempo imaginaria y como ángulo imaginario: ${\displaystyle l=ict}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi }$

Observó que cuando son variables y es constante, describen la línea de universo de un cuerpo cargado en movimiento hiperbólico. Pero si son constantes y es variable, denotan la transformación a su sistema de reposo. ${\displaystyle r,y,z}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle r,y,z}$ ${\displaystyle \varphi }$

1911:

Sommerfeld ^{[H 14]} utilizó explícitamente la expresión "aceleración propia" ( en alemán : Eigenbeschleunigung ) para la cantidad en , que corresponde a ( 3a ), como la aceleración en el marco inercial momentáneo. ${\displaystyle {\dot {v}}_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {v}}={\dot {v}}_{0}\left(1-\beta ^{2}\right)^{3/2}}$

1911:

Herglotz ^{[H 12]} utilizó explícitamente la expresión "aceleración en reposo" ( en alemán : Ruhbeschleunigung ) en lugar de la aceleración propiamente dicha. La escribió en la forma y que corresponde a ( 3a ), donde es el factor de Lorentz y o son los componentes longitudinal y transversal de la aceleración en reposo. ${\displaystyle \gamma _{l}^{0}=\beta ^{3}\gamma _{l}}$ ${\displaystyle \gamma _{t}^{0}=\beta ^{2}\gamma _{t}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma _{l}^{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{t}^{0}}$

1911:

Max von Laue ^{[H 15]} derivó en la primera edición de su monografía "Das Relativitätsprinzip" la transformación para tres aceleraciones mediante la diferenciación de la suma de velocidades.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{3}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime },&{\mathfrak {\dot {q}}}_{y}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{2}\left({\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }-{\frac {v{\mathfrak {q}}_{y}^{\prime }{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right),\end{aligned}}}$

equivalente a ( 1c ) así como a Poincaré (1905/6). De ahí derivó la transformación de la aceleración en reposo (equivalente a 3a ), y finalmente las fórmulas para el movimiento hiperbólico que corresponden a ( 6a ):

${\displaystyle \pm {\mathfrak {q}}_{x}=\pm {\frac {dx}{dt}}={\frac {cbt}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}}},\quad \pm \left(x-x_{0}\right)={\frac {c}{b}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}},}$

de este modo

${\displaystyle x^{2}-c^{2}t^{2}=x^{2}-u^{2}=c^{4}/b^{2},\quad y=\eta ,\quad z=\zeta }$,

y la transformación en un sistema de referencia hiperbólico con ángulo imaginario : ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}X&=R\cos \varphi \\L&=R\sin \varphi \end{aligned}}&{\begin{aligned}R^{2}&=X^{2}+L^{2}\\\tan \varphi &={\frac {L}{X}}\end{aligned}}\end{array}}}$.

También escribió la transformación de tres fuerzas como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {K}}_{x}&={\frac {{\mathfrak {K}}_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}({\mathfrak {q'K'}})}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{y}&={\mathfrak {K}}_{y}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{z}&={\mathfrak {K}}_{z}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\end{aligned}}}$

equivalente a ( 4e ) así como a Poincaré (1905).

1912–1914:

Friedrich Kottler ^{[H 17]} obtuvo la covarianza general de las ecuaciones de Maxwell y utilizó fórmulas de Frenet-Serret de cuatro dimensiones para analizar los movimientos rígidos de Born dados por Herglotz (1909). También obtuvo los marcos de referencia adecuados para el movimiento hiperbólico y el movimiento circular uniforme.

1913:

von Laue ^{[H 16]} reemplazó en la segunda edición de su libro la transformación de la aceleración triple por el vector de aceleración de Minkowski, para el que acuñó el nombre de "aceleración cuádruple" ( en alemán : Viererbeschleunigung ), definida por con como velocidad cuádruple. Demostró que la magnitud de la aceleración cuádruple corresponde a la aceleración en reposo de ${\displaystyle {\dot {Y}}={\frac {dY}{d\tau }}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\dot {\mathfrak {q}}}^{0}}$

${\displaystyle |{\dot {Y|}}={\frac {1}{c}}|{\dot {\mathfrak {q}}}^{0}|}$,

que corresponde a ( 3b ). Posteriormente, derivó las mismas fórmulas que en 1911 para la transformación de la aceleración en reposo y el movimiento hiperbólico, y el marco de referencia hiperbólico.

Referencias

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2. von Laue (1921)
3. Pauli (1921)
4. Sexl y Schmidt (1979), pág. 116
5. Møller (1955), pág. 41
6. Tolman (1917), pág. 48
7. Francés (1968), pág. 148
8. Zahar (1989), pág. 232
9. Freund (2008), pág. 96
10. Kopeikin y Efroimsky y Kaplan (2011), pág. 141
11. Rahaman (2014), pág. 77
12. Pauli (1921), pág. 627
13. Freund (2008), págs.267-268
14. Ashtekar y Petkov (2014), pág. 53
15. Sexl & Schmidt (1979), p. 198, Solución al ejemplo 16.1
16. Ferraro (2007), pág. 178
17. Kopeikin y Efroimsky y Kaplan (2011), pág. 137
18. Rindler (1977), págs. 49-50
19. von Laue (1921), págs.88-89
20. Rebhan (1999), pág. 775
21. Nikolić (2000), ecuación 10
22. Rindler (1977), pág. 67
23. Sexl & Schmidt (1979), solución del ejemplo 16.2, pág. 198
24. de Freund (2008), pág. 276
25. Møller (1955), págs.74-75
26. Rindler (1977), págs. 89-90
27. von Laue (1921), pág. 210
28. Pauli (1921), pág. 635
29. Tolman (1917), págs. 73-74
30. von Laue (1921), pág. 113
31. Møller (1955), pág. 73
32. Kopeikin y Efroimsky y Kaplan (2011), pág. 173
33. Shadowitz (1968), pág. 101
34. Pfeffer & Nir (2012), p. 115, "En el caso especial en el que la partícula está momentáneamente en reposo con respecto al observador S, la fuerza que mide será la fuerza propia ".
35. Møller (1955), pág. 74
36. Rebhan (1999), pág. 818
37. Ver las ecuaciones de Lorentz de 1904 y las ecuaciones de Einstein de 1905 en la sección sobre historia
38. Mathpages (ver enlaces externos), "Masa transversal en la electrodinámica de Einstein", ecuación 2,3
39. Rindler (1977), pág. 43
40. Koks (2006), sección 7.1
41. Fraundorf (2012), sección IV-B
42. PhysicsFAQ (2016), ver enlaces externos.
43. Pauri y Vallisneri (2000), ecuación. 13
44. Bini, Lusanna y Mashhoon (2005), ec. 28,29
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50. Zahar (1989)

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Documentos históricos

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Enlaces externos

• Mathpages: Masa transversal en la electrodinámica de Einstein, viajes acelerados, rigidez de Born, aceleración e inercia, ¿se irradia una carga uniformemente acelerada?
• Preguntas frecuentes sobre física: aceleración en la relatividad especial, el cohete relativista