Movimiento hiperbólico (relatividad)

Movimiento de un objeto con aceleración propia constante en relatividad especial.

El movimiento hiperbólico se puede visualizar en un diagrama de Minkowski, donde el movimiento de la partícula acelerada se produce a lo largo del eje . Cada hipérbola se define mediante y (con ) en la ecuación ( 2 ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\pm c^{2}/\alpha }$ ${\displaystyle \eta =\alpha \tau /c}$ ${\displaystyle c=1,\alpha =1}$

El movimiento hiperbólico es el movimiento de un objeto con aceleración propia constante en la relatividad especial . Se denomina movimiento hiperbólico porque la ecuación que describe la trayectoria del objeto a través del espacio-tiempo es una hipérbola , como se puede ver cuando se grafica en un diagrama de Minkowski cuyas coordenadas representan un marco inercial (no acelerado) adecuado. Este movimiento tiene varias características interesantes, entre ellas que es posible superar a un fotón si se le da una ventaja suficiente, como se puede concluir del diagrama. ^[1]

Historia

Hermann Minkowski (1908) mostró la relación entre un punto en una línea de mundo y la magnitud de una aceleración cuádruple y una "hipérbola de curvatura" ( en alemán : Krümmungshyperbel ). ^[2] En el contexto de la rigidez de Born , Max Born (1909) acuñó posteriormente el término "movimiento hiperbólico" ( en alemán : Hyperbelbewegung ) para el caso de magnitud constante de aceleración cuádruple, luego proporcionó una descripción detallada para partículas cargadas en movimiento hiperbólico e introdujo el correspondiente "sistema de referencia acelerado hiperbólicamente" ( en alemán : hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem ). ^[3] Las fórmulas de Born fueron simplificadas y extendidas por Arnold Sommerfeld (1910). ^[4] Para revisiones tempranas, consulte los libros de texto de Max von Laue (1911, 1921) ^[5] o Wolfgang Pauli (1921). ^[6] Véase también Galeriu (2015) ^[7] o Gourgoulhon (2013), ^[8] y Aceleración (relatividad especial)#Historia .

Línea mundial

La aceleración propia de una partícula se define como la aceleración que una partícula "siente" cuando acelera desde un sistema de referencia inercial a otro. Si la aceleración propia se dirige paralela a la línea de movimiento, se relaciona con la aceleración tridimensional ordinaria en la relatividad especial por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a=du/dT}$

${\displaystyle \alpha =\gamma ^{3}a={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2}}}{\frac {du}{dT}},}$

donde es la velocidad instantánea de la partícula, el factor de Lorentz , es la velocidad de la luz y es el tiempo de coordenadas. Al resolver la ecuación de movimiento se obtienen las fórmulas deseadas, que se pueden expresar en términos de tiempo de coordenadas y de tiempo propio . Para simplificar, todos los valores iniciales de tiempo, ubicación y velocidad se pueden establecer en 0, por lo tanto: ^{[5] [6] [9] [10] [11]} ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau }$

Esto da , que es una hipérbola en el tiempo T y la variable de ubicación espacial . En este caso, el objeto acelerado se encuentra en en el tiempo . Si en cambio hay valores iniciales distintos de cero, las fórmulas para el movimiento hiperbólico asumen la forma: ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle \left(X+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}T^{2}=c^{4}/\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle T=0}$

${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}u(T)&={\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{\sqrt {1+\left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)^{2}}}}\quad \\&=c\tanh \left\{\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)\right\}\\X(T)&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)^{2}}}-\gamma _{0}\right)\\&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\cosh \left[\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)\right]-\gamma _{0}\right\}\\c\tau (T)&=c\tau _{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\ln \left({\frac {{\sqrt {c^{2}+\left(u_{0}\gamma _{0}+\alpha T\right){}^{2}}}+u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{\left(c+u_{0}\right)\gamma _{0}}}\right)\\&=c\tau _{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)-\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)\right\}\end{aligned}}&{\begin{aligned}u(\tau )&=c\tanh \left\{\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right\}\\\\X(\tau )&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\cosh \left[\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right]-\gamma _{0}\right\}\\\\cT(\tau )&=cT_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\sinh \left[\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right]-{\frac {u_{0}\gamma _{0}}{c}}\right\}\end{aligned}}\end{array}}}}$

Rapidez

La línea de universo para el movimiento hiperbólico (que de ahora en adelante se escribirá como una función del tiempo propio) se puede simplificar de varias maneras. Por ejemplo, la expresión

${\displaystyle X={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right)}$

puede estar sujeto a un cambio espacial de cantidad , por lo tanto ${\displaystyle c^{2}/\alpha }$

${\displaystyle X={\frac {c^{2}}{\alpha }}\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}}$, ^[15]

por el cual el observador está en la posición en el tiempo . Además, al establecer e introducir la rapidez , ^[14] las ecuaciones para el movimiento hiperbólico se reducen a ^{[4] [16]} ${\displaystyle X=c^{2}/\alpha }$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle x=c^{2}/\alpha }$ ${\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} {\frac {u}{c}}={\frac {\alpha \tau }{c}}}$

con la hipérbola . ${\displaystyle X^{2}-c^{2}T^{2}=x^{2}}$

Partículas cargadas en movimiento hiperbólico

Born (1909), ^[3] Sommerfeld (1910), ^[4] von Laue (1911), ^[5] Pauli (1921) ^[6] también formularon las ecuaciones para el campo electromagnético de partículas cargadas en movimiento hiperbólico. ^[7] Esto fue ampliado por Hermann Bondi y Thomas Gold (1955) ^[17] y Fulton y Rohrlich (1960) ^{[18] [19]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\rho '}'=&{\frac {\left(8e/\alpha ^{2}\right)\rho 'z'}{\xi ^{\prime 3}}}\\E_{z'}'=&{\frac {-\left(4e/\alpha ^{2}\right)1/\alpha ^{2}+t^{\prime 2}+\rho ^{\prime 2}-z^{\prime 2}}{\xi ^{\prime 3}}}\\E_{\varphi '}'=&H_{\varphi '}'=H_{z'}'=0\\H_{\varphi '}'=&{\frac {\left(8e/\alpha ^{2}\right)\rho 't'}{\xi ^{\prime 3}}}\\\xi '=&{\sqrt {\left(1/\alpha ^{2}+t^{\prime 2}-\rho ^{\prime 2}-z^{\prime 2}\right)^{2}+\left(2\rho '/\alpha \right)^{2}}}\end{aligned}}}$

Esto está relacionado con la controvertida ^{[20] [21]} cuestión de si las cargas en movimiento hiperbólico perpetuo irradian o no, y si esto es consistente con el principio de equivalencia , aunque se trate de una situación ideal, porque el movimiento hiperbólico perpetuo no es posible. Mientras que los primeros autores como Born (1909) o Pauli (1921) argumentaron que no surge radiación, autores posteriores como Bondi y Gold ^[17] y Fulton y Rohrlich ^{[18] [19]} demostraron que la radiación sí surge.

Marco de referencia adecuado

La trayectoria de la luz a través de E marca el horizonte de eventos aparente de un observador P en movimiento hiperbólico.

En la ecuación ( 2 ) para el movimiento hiperbólico, la expresión era constante, mientras que la rapidez era variable. Sin embargo, como señaló Sommerfeld, ^[16] se puede definir como variable, mientras que se hace constante. Esto significa que las ecuaciones se convierten en transformaciones que indican la forma de reposo simultánea de un cuerpo acelerado con coordenadas hiperbólicas tal como lo ve un observador comóvil. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (x,y,z,\eta )}$

${\displaystyle cT=x\sinh \eta ,\quad X=x\cosh \eta ,\quad Y=y,\quad Z=z}$

Mediante esta transformación, el tiempo propio se convierte en el tiempo del sistema hiperbólicamente acelerado. Estas coordenadas, que comúnmente se denominan coordenadas de Rindler (las variantes similares se denominan coordenadas de Kottler-Møller o coordenadas de Lass ), pueden considerarse un caso especial de las coordenadas de Fermi o coordenadas propias, y se utilizan a menudo en relación con el efecto Unruh . Utilizando estas coordenadas, resulta que los observadores en movimiento hiperbólico poseen un horizonte de sucesos aparente , más allá del cual no puede llegarles ninguna señal.

Transformación conforme especial

Un método menos conocido para definir un marco de referencia en movimiento hiperbólico es el empleo de la transformación conforme especial , que consiste en una inversión , una traslación y otra inversión. ^[22] Se interpreta comúnmente como una transformación de calibre en el espacio de Minkowski, aunque algunos autores la utilizan alternativamente como una transformación de aceleración (véase Kastrup para un estudio histórico crítico). ^[23] Tiene la forma

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2ax+a^{2}x^{2}}}}$

Usando sólo una dimensión espacial por , y simplificando aún más estableciendo , y usando la aceleración , se deduce ^[24] ${\displaystyle x^{\mu }=(t,x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle a^{\mu }=(0,-\alpha /2)}$

${\displaystyle T={\frac {t}{1-{\frac {1}{4}}\alpha {}^{2}t^{2}}},\quad X={\frac {-\alpha t^{2}}{2\left(1-{\frac {1}{4}}\alpha {}^{2}t^{2}\right)}}}$

con la hipérbola . Resulta que en el momento se vuelve singular, a lo que Fulton & Rohrlich & Witten ^[24] señalan que uno tiene que mantenerse alejado de este límite, mientras que Kastrup ^[23] (que es muy crítico de la interpretación de la aceleración) señala que este es uno de los resultados extraños de esta interpretación. ${\displaystyle \left(X-1/\alpha \right)^{2}-T^{2}=1/\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle t=\pm (x+2/\alpha )}$

Notas

1. Misner, Thorne y Wheeler 1973, Capítulo 6.
2. Minkowski, Hermann (1909). " Raum und Zeit. Vortrag, gehalten auf der 80. Naturforscher-Versammlung zu Köln am 21. Septiembre de 1908" [traducción de Wikisource: Espacio y tiempo]  . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . Leipzig.
3. Nacido, Max (1909). "Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [traducción de Wikisource: La teoría del electrón rígido en la cinemática del principio de relatividad]. Annalen der Physik . 335 (11): 1–56. Código bibliográfico : 1909AnP...335....1B. doi : 10.1002/andp.19093351102.
4. Sommerfeld, Arnold (1910). "Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis" [traducción de Wikisource: Sobre la teoría de la relatividad II: análisis de vectores cuatridimensionales]. Annalen der Physik . 338 (14): 649–689. Código bibliográfico : 1910AnP...338..649S. doi : 10.1002/andp.19103381402.
5. von Laue, M. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (cuarta edición de "Das Relativitätsprinzip" ed.). Vereg. págs. 89–90, 155–166.; Primera edición 1911, segunda edición ampliada 1913, tercera edición ampliada 1919.
6. Pauli, Wolfgang (1921), "Die Relativitätstheorie", Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776
   En inglés: Pauli, W. (1981) [1921]. Teoría de la relatividad . Vol. 165. Dover Publications. ISBN. 0-486-64152-X. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
7. Galeriu, C. (2017) [2015]. "Carga eléctrica en movimiento hiperbólico: la historia temprana". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 71 (4): 1–16. arXiv : 1509.02504 . doi :10.1007/s00407-017-0191-x. S2CID  118510589.
8. Gourgoulhon, E. (2013). Relatividad especial en marcos generales: de las partículas a la astrofísica . Springer. pág. 396. ISBN. 978-3642372766.
9. Møller, C. (1955). La teoría de la relatividad. Oxford Clarendon Press. págs. 74-75.
10. Rindler, W. (1977). Relatividad esencial . Springer. Págs. 49-50. ISBN. 354007970X.
11. PhysicsFAQ (2016), "Cohete relativista", ver enlaces externos
12. Gallant, J. (2012). Hacer física con Scientific Notebook: un enfoque de resolución de problemas . John Wiley & Sons. págs. 437–441. ISBN 978-0470665978.
13. Müller, T., King, A., y Adis, D. (2006). "Un viaje al fin del universo y la "paradoja" de los gemelos"". Revista estadounidense de física . 76 (4): 360–373. arXiv : physics/0612126 . Código Bibliográfico :2008AmJPh..76..360M. doi :10.1119/1.2830528. S2CID  42983285.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
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15. Pauli (1921), p. 628, utilizó la notación donde ${\displaystyle x^{4}=a\operatorname {ch} {\frac {ct}{a}}}$ ${\displaystyle a={\frac {c^{2}}{b}}}$
16. Sommerfeld (1910), pp. 670-671 utilizó la forma y con el ángulo imaginario y el tiempo imaginario . ${\displaystyle x=r\cos(\varphi )}$ ${\displaystyle l=r\sin(\varphi )}$ ${\displaystyle i\psi }$ ${\displaystyle l=ict}$
17. Bondi, H., y Gold, T. (1955). "El campo de una carga uniformemente acelerada, con especial referencia al problema de la aceleración gravitacional". Actas de la Royal Society de Londres . 229 (1178): 416–424. Bibcode :1955RSPSA.229..416B. doi :10.1098/rspa.1955.0098. S2CID  121563673.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
18. Fulton, Thomas; Rohrlich, Fritz (1960). "Radiación clásica de una carga uniformemente acelerada". Anales de Física . 9 (4): 499–517. Bibcode :1960AnPhy...9..499F. doi :10.1016/0003-4916(60)90105-6.
19. Rohrlich, Fritz (1963). "El principio de equivalencia". Anales de Física . 22 (2): 169–191. Código Bibliográfico :1963AnPhy..22..169R. doi :10.1016/0003-4916(63)90051-4.
20. Stephen Lyle (2008). Partículas cargadas que se aceleran uniformemente: una amenaza para el principio de equivalencia . Springer. ISBN 978-3540684770.
21. Øyvind Grøn (2012). "Artículo de revisión: Electrodinámica de cargas radiantes". Avances en física matemática . 2012 : 528631. doi : 10.1155/2012/528631 . hdl : 10642/1380 .
22. Galeriu, Cǎlin (2019) "Carga eléctrica en movimiento hiperbólico: la solución conforme especial", European Journal of Physics 40(6) doi :10.1088/1361-6404/ab3df6
23. Kastrup, HA (2008). "Sobre los avances de las transformaciones conformes y sus simetrías asociadas en geometría y física teórica". Annalen der Physik . 520 (9–10): 631–690. arXiv : 0808.2730 . Bibcode :2008AnP...520..631K. doi :10.1002/andp.200810324. S2CID  12020510.
24. Fulton, T., Rohrlich, F., y Witten, L. (1962). "Consecuencias físicas de una transformación de coordenadas en un marco de referencia uniformemente acelerado". Il Nuovo Cimento . 26 (4): 652–671. Bibcode :1962NCim...26..652F. doi :10.1007/BF02781794. S2CID  121467786.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Referencias

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• Leigh Page y Norman I. Adams (marzo de 1936). "Una nueva relatividad. Artículo II. Transformación del campo electromagnético entre sistemas acelerados y la ecuación de fuerza". Physical Review . 49 (6): 466–469. Bibcode :1936PhRv...49..466P. doi :10.1103/PhysRev.49.466.
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip. S .; Wheeler, John A. (1973), Gravitación , WH Freeman, Capítulo 6, ISBN 0-7167-0344-0
• Rindler Wolfgang (1960). "Movimiento hiperbólico en el espacio-tiempo curvo". Physical Review . 119 (6): 2082–2089. Código Bibliográfico :1960PhRv..119.2082R. doi :10.1103/PhysRev.119.2082.
• Ludwik Silberstein (1914): La teoría de la relatividad , página 190.
• Naber, Gregory L., The Geometry of Minkowski Spacetime , Springer-Verlag, Nueva York, 1992. ISBN 0-387-97848-8 (tapa dura), ISBN 0-486-43235-1 (edición de bolsillo Dover). págs. 58–60.  

Enlaces externos

• Preguntas frecuentes sobre física: el cohete relativista
• Mathpages: Viajes acelerados, ¿Una carga que se acelera uniformemente irradia?