Marco de referencia adecuado (espacio-tiempo plano)

Sistema de coordenadas en un entorno acelerado y "en reposo"

Un marco de referencia propio en la teoría de la relatividad es una forma particular de marco de referencia acelerado , es decir, un marco de referencia en el que un observador acelerado puede considerarse en reposo. Puede describir fenómenos en el espacio-tiempo curvo , así como en el espacio-tiempo "plano" de Minkowski en el que la curvatura del espacio-tiempo causada por el tensor de energía-momento puede ignorarse. Dado que este artículo considera solo el espacio-tiempo plano (y utiliza la definición de que la relatividad especial es la teoría del espacio-tiempo plano mientras que la relatividad general es una teoría de la gravitación en términos del espacio-tiempo curvo), se ocupa en consecuencia de los marcos acelerados en la relatividad especial. ^{[1] [2] [3]} (Para la representación de aceleraciones en marcos inerciales, consulte el artículo Aceleración (relatividad especial) , donde se definen y relacionan entre sí conceptos como aceleración triple, aceleración cuádruple , aceleración propia , movimiento hiperbólico, etc.).

Una propiedad fundamental de un marco de referencia de este tipo es el empleo del tiempo propio del observador acelerado como el tiempo del marco mismo. Esto está relacionado con la hipótesis del reloj (que se confirma experimentalmente ), según la cual el tiempo propio de un reloj acelerado no se ve afectado por la aceleración, por lo que la dilatación temporal medida del reloj solo depende de su velocidad relativa momentánea. Los marcos de referencia propios relacionados se construyen utilizando conceptos como tétradas ortonormales comóviles , que pueden formularse en términos de fórmulas de Frenet-Serret del espacio-tiempo , o alternativamente utilizando el transporte de Fermi-Walker como estándar de no rotación. Si las coordenadas están relacionadas con el transporte de Fermi-Walker, a veces se utiliza el término coordenadas de Fermi , o coordenadas propias en el caso general cuando también intervienen rotaciones. Una clase especial de observadores acelerados sigue líneas de mundo cuyas tres curvaturas son constantes. Estos movimientos pertenecen a la clase de movimientos rígidos de Born , es decir, los movimientos en los que la distancia mutua de los constituyentes de un cuerpo acelerado o la congruencia permanece inalterada en su marco propio. Dos ejemplos son las coordenadas de Rindler o las coordenadas de Kottler-Møller para el marco de referencia adecuado del movimiento hiperbólico , y las coordenadas de Born o Langevin en el caso del movimiento circular uniforme .

A continuación, los índices griegos se ejecutan sobre 0,1,2,3, los índices latinos sobre 1,2,3 y los índices entre corchetes se relacionan con campos vectoriales de tétradas. La firma del tensor métrico es (-1,1,1,1).

Historia

Algunas propiedades de las coordenadas de Kottler-Møller o Rindler fueron anticipadas por Albert Einstein (1907) ^{[H 1]} cuando discutió el sistema de referencia uniformemente acelerado. Al introducir el concepto de rigidez de Born, Max Born (1909) ^{[H 2]} reconoció que las fórmulas para la línea de mundo del movimiento hiperbólico pueden reinterpretarse como transformaciones en un "sistema de referencia hiperbólicamente acelerado". El propio Born, así como Arnold Sommerfeld (1910) ^{[H 3]} y Max von Laue (1911) ^{[H 4]} utilizaron este sistema para calcular las propiedades de las partículas cargadas y sus campos (véase Aceleración (relatividad especial)#Historia y Coordenadas de Rindler#Historia ). Además, Gustav Herglotz (1909) ^{[H 5]} dio una clasificación de todos los movimientos rígidos de Born, incluyendo la rotación uniforme y las líneas de mundo de curvaturas constantes. Friedrich Kottler (1912, 1914) ^{[H 6]} introdujo la "transformación generalizada de Lorentz" para sistemas de referencia propios o coordenadas propias ( en alemán : Eigensystem, Eigenkoordinaten ) utilizando tétradas de Frenet-Serret comóviles, y aplicó este formalismo a las líneas de mundo de Herglotz de curvaturas constantes, en particular al movimiento hiperbólico y al movimiento circular uniforme. Las fórmulas de Herglotz también fueron simplificadas y ampliadas por Georges Lemaître (1924). ^{[H 7]} Las líneas de mundo de curvaturas constantes fueron redescubiertas por varios autores, por ejemplo, por Vladimír Petrův (1964), ^[4] como "hélices temporales" por John Lighton Synge (1967) ^[5] o como "líneas de mundo estacionarias" por Letaw (1981). ^[6] El concepto de marco de referencia propio fue posteriormente reintroducido y desarrollado en conexión con el transporte de Fermi-Walker en los libros de texto de Christian Møller (1952) ^[7] o Synge (1960). ^{[8] Romain (1963) [9]} dio una visión general de las transformaciones y alternativas del tiempo propio, citando las contribuciones de Kottler. En particular, Misner & Thorne & Wheeler (1973) ^[10] combinaron el transporte de Fermi-Walker con la rotación, lo que influyó en muchos autores posteriores. Bahram Mashhoon (1990, 2003) ^[11] analizó la hipótesis de localidad y movimiento acelerado. Las relaciones entre las fórmulas de Frenet-Serret del espacio-tiempo y el transporte de Fermi-Walker fueron discutidas por Iyer & CV Vishveshwara (1993) ^[12].Johns (2005) ^[13] o Bini et al. (2008) ^[14] y otros. Gourgoulhon (2013) proporcionó una representación detallada de la "relatividad especial en marcos generales". ^[15]

Tétradas comóviles

Ecuaciones de Frenet-Serret del espacio-tiempo

Para la investigación de movimientos acelerados y líneas de universo curvas, se pueden utilizar algunos resultados de geometría diferencial . Por ejemplo, las fórmulas de Frenet-Serret para curvas en el espacio euclidiano ya se han extendido a dimensiones arbitrarias en el siglo XIX, y también se pueden adaptar al espacio-tiempo de Minkowski. Describen el transporte de una base ortonormal unida a una línea de universo curva, por lo que en cuatro dimensiones esta base se puede llamar tétrada comóvil o vierbein (también llamada vielbein, marco móvil , campo de marco , marco local, repère mobile en dimensiones arbitrarias): ^{[16] [17] [18] [19]} ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$

Aquí, el tiempo propio a lo largo de la línea del mundo, el campo temporal se llama tangente que corresponde a la velocidad cuaternaria , los tres campos espaciales son ortogonales a y se llaman normal principal , binormal y trinormal . La primera curvatura corresponde a la magnitud de la aceleración cuaternaria (es decir, aceleración propia ), las otras curvaturas también se llaman torsión e hipertorsión. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(0)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(0)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(1)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}}$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle \kappa _{3}}$

Transporte de Fermi-Walker y transporte propio

Si bien la tétrada de Frenet-Serret puede rotar o no, es útil introducir otro formalismo en el que se separan las partes rotacionales y no rotacionales. Esto se puede hacer utilizando la siguiente ecuación para el transporte adecuado ^[20] o el transporte generalizado de Fermi ^[21] de la tétrada , a saber: ^{[10] [12] [22] [21] [20] [23]} ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$

dónde

${\displaystyle \vartheta ^{\mu \nu }={\underset {\text{Fermi–Walker}}{\underbrace {A^{\mu }U^{\nu }-A^{\nu }U^{\mu }} }}+{\underset {\mathrm {\text{spatial rotation}} }{\underbrace {U_{\alpha }\omega _{\beta }\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }} }}}$

o juntos en forma simplificada:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{(\eta )}}{d\tau }}=-\left[(\mathbf {U} \wedge \mathbf {A} )\mathbf {e} _{(\eta )}+\mathbf {R} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right]}$

con como cuatro-velocidad y como cuatro-aceleración , y " " indica el producto escalar y " " el producto cuña . La primera parte representa el transporte de Fermi-Walker, ^[13] que se realiza físicamente cuando los tres campos de tétrada espacial no cambian su orientación con respecto al movimiento de un sistema de tres giroscopios . Por lo tanto, el transporte de Fermi-Walker puede verse como un estándar de no rotación. La segunda parte consiste en un tensor de segundo rango antisimétrico con como el cuatro-vector de velocidad angular y como el símbolo de Levi-Civita . Resulta que esta matriz de rotación solo afecta a los tres campos de tétrada espacial, por lo que puede interpretarse como la rotación espacial de los campos espaciales de una tétrada giratoria (como una tétrada de Frenet-Serret) con respecto a los campos espaciales no giratorios de una tétrada de Fermi-Walker a lo largo de la misma línea del mundo. ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle (\mathbf {U} \wedge \mathbf {A} )\mathbf {e} _{(\eta )}=\mathbf {A} \left(\mathbf {U} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right)-\mathbf {U} \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{(\eta )}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$

Obtención de tétradas de Fermi-Walker a partir de tétradas de Frenet-Serret

Dado que y en la misma línea de mundo están conectados por una matriz de rotación, es posible construir tétradas de Fermi-Walker no rotatorias utilizando tétradas de Frenet-Serret rotatorias, ^{[24] [25]} lo que no solo funciona en el espacio-tiempo plano sino también para espacios-tiempos arbitrarios, aunque la realización práctica puede ser difícil de lograr. ^[26] Por ejemplo, el vector de velocidad angular entre los respectivos campos de tétradas espaciales y se puede dar en términos de torsiones y : ^{[12] [13] [27] [28]} ${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle \kappa _{3}}$

Suponiendo que las curvaturas son constantes (que es el caso en el movimiento helicoidal en el espacio-tiempo plano, o en el caso de los espacios-tiempos axisimétricos estacionarios ), uno procede entonces alineando los vectores Frenet-Serret espaciales en el plano mediante una rotación constante en sentido antihorario, luego el marco espacial intermedio resultante se rota constantemente alrededor del eje por el ángulo , lo que finalmente da el marco espacial Fermi-Walker (nótese que el campo temporal permanece igual): ^[25] ${\displaystyle \mathbf {e} _{(1)}-\mathbf {e} _{(3)}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} _{(3)}}$ ${\displaystyle \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau }$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(i)}}$

Para el caso especial y , se sigue y y , por lo tanto ( 3b ) se reduce a una única rotación constante alrededor del eje -: ^{[29] [30] [31] [24]} ${\displaystyle \kappa _{3}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}=[0,0,0,1]}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,\ \kappa _{2}\right]}$ ${\displaystyle \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =\kappa _{2}\tau }$ ${\displaystyle \mathbf {h} _{(i)}=\mathbf {e} _{(i)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(3)}}$

Coordenadas propias o coordenadas de Fermi

En el espacio-tiempo plano, un objeto acelerado está en cualquier momento en reposo en un sistema inercial momentáneo , y la secuencia de dichos sistemas momentáneos que recorre corresponde a una aplicación sucesiva de transformaciones de Lorentz , donde es un sistema inercial externo y la matriz de transformación de Lorentz. Esta matriz puede reemplazarse por las tétradas dependientes del tiempo adecuadas definidas anteriormente, y si es la trayectoria temporal de la partícula que indica su posición, la transformación se lee: ^[32] ${\displaystyle \mathbf {x} '=[x^{\prime 0},x^{\prime 1},x^{\prime 2},x^{\prime 3}]}$ ${\displaystyle \mathbf {X} ={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} '}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\nu )}(\tau )}$ ${\displaystyle \mathbf {\mathbf {q} } (\tau )}$

Luego hay que poner por que se reemplaza por y el campo temporal desaparece, por lo tanto, solo quedan presentes los campos espaciales . Posteriormente, el tiempo en el marco acelerado se identifica con el tiempo propio del observador acelerado por . La transformación final tiene la forma ^{[33] [34] [35] [36]} ${\displaystyle x^{\prime 0}=t'=0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =[x^{1},x^{2},x^{3}]}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(0)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(i)}}$ ${\displaystyle x^{0}=t=\tau }$

A veces se las llama coordenadas propias, y el marco correspondiente es el marco de referencia propio. ^[20] También se las llama coordenadas de Fermi en el caso del transporte de Fermi-Walker ^[37] (aunque algunos autores usan este término también en el caso rotacional ^[38] ). La métrica correspondiente tiene la forma en el espacio-tiempo de Minkowski (sin términos de Riemann): ^{[39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46]}

Sin embargo, estas coordenadas no son válidas globalmente, sino que están restringidas a ^[43].

Marcos de referencia adecuados para hélices temporales

En caso de que las tres curvaturas de Frenet-Serret sean constantes, las líneas de mundo correspondientes son idénticas a las que se siguen de los movimientos de Killing en el espacio-tiempo plano. Son de particular interés ya que los marcos y congruencias apropiados correspondientes satisfacen la condición de rigidez de Born , es decir, la distancia espacio-temporal de dos líneas de mundo vecinas es constante. ^{[47] [48]} Estos movimientos corresponden a "hélices temporales" o "líneas de mundo estacionarias", y pueden clasificarse en seis tipos principales: dos con torsiones cero (traslación uniforme, movimiento hiperbólico) y cuatro con torsiones no cero (rotación uniforme, catenaria, parábola semicúbica, caso general): ^{[49] [50] [4] [5] [6 ] [51] [52] [53] [54]}

El caso produce una traslación uniforme sin aceleración. Por lo tanto, el marco de referencia propio correspondiente viene dado por las transformaciones ordinarias de Lorentz. Los otros cinco tipos son: ${\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=\kappa _{3}=0}$

Movimiento hiperbólico

Las curvaturas , donde es la aceleración propia constante en la dirección del movimiento, producen un movimiento hiperbólico porque la línea de mundo en el diagrama de Minkowski es una hipérbola: ^{[55] [56] [57] [58] [59] [60]} ${\displaystyle \kappa _{1}=\alpha ,}$ ${\displaystyle \kappa _{2}=\kappa _{3}=0}$ ${\displaystyle \alpha }$

La tétrada ortonormal correspondiente es idéntica a una matriz de transformación de Lorentz invertida con funciones hiperbólicas como factor de Lorentz y como velocidad propia y como rapidez (dado que las torsiones y son cero, las fórmulas de Frenet-Serret y las fórmulas de Fermi-Walker producen la misma tétrada): ^{[56] [61] [62] [63] [64] [65] [66]} ${\displaystyle \gamma =\cosh \eta }$ ${\displaystyle v\gamma =\sinh \eta }$ ${\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} v=\alpha \tau }$ ${\displaystyle \kappa _{2}}$ ${\displaystyle \kappa _{3}}$

Insertado en las transformaciones ( 4b ) y utilizando la línea de mundo ( 5a ) para , el observador acelerado siempre se ubica en el origen, por lo que las coordenadas de Kottler-Møller siguen ^{[67] [68] [62] [69] [70]} ${\displaystyle \mathbf {q} }$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\sinh(\alpha \tau )\\X&=\left(x+{\frac {1}{\alpha }}\right)\cosh(\alpha \tau )-{\frac {1}{\alpha }}\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X+{\frac {1}{\alpha }}}}\right)\\x&={\sqrt {\left(X+{\frac {1}{\alpha }}\right)^{2}-T^{2}}}-{\frac {1}{\alpha }}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$

que son válidos dentro de , con la métrica ${\displaystyle -1/\alpha <X<\infty }$

${\displaystyle ds^{2}=-(1+\alpha x){}^{2}d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$.

Alternativamente, al establecer que el observador acelerado se encuentra en el momento , las coordenadas de Rindler se deducen de ( 4b ) y ( 5a , 5b ): ^{[71] [72] [73]} ${\displaystyle \mathbf {\mathbf {q} } =0}$ ${\displaystyle X=1/\alpha }$ ${\displaystyle \tau =T=0}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}T&=x\sinh(\alpha \tau )\\X&=x\cosh(\alpha \tau )\\Y&=y\\Z&=z\end{aligned}}&{\begin{aligned}\tau &={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} {\frac {T}{X}}\\x&={\sqrt {X^{2}-T^{2}}}\\y&=Y\\z&=Z\end{aligned}}\end{array}}}$

que son válidos dentro de , con la métrica ${\displaystyle 0<X<\infty }$

${\displaystyle ds^{2}=-\alpha ^{2}x^{2}d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

Movimiento circular uniforme

Las curvaturas producen un movimiento circular uniforme , con la línea del mundo ^{[74] [75] [76] [77] [78] [79] [80]} ${\displaystyle \kappa _{2}^{2}-\kappa _{1}^{2}>0}$ ${\displaystyle \kappa _{3}=0}$

dónde

con como radio orbital, como velocidad angular de coordenadas, como velocidad angular propia, como velocidad tangencial , como velocidad propia, como factor de Lorentz y como ángulo de rotación. La tétrada se puede derivar de las ecuaciones de Frenet-Serret ( 1 ), ^{[74] [76] [77] [80]} o más simplemente se puede obtener mediante una transformación de Lorentz de la tétrada de coordenadas rotatorias ordinarias : ^{[81] [82]} ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d_{(\nu )}}$

La tétrada de Fermi-Walker no rotatoria correspondiente en la misma línea de mundo se puede obtener resolviendo la parte de Fermi-Walker de la ecuación ( 2 ). ^{[83] [84]} Alternativamente, se puede usar ( 6b ) junto con ( 3a ), lo que da ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,\gamma ^{2}p\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=\gamma ^{2}p,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =\gamma ^{2}p_{0}\tau =\gamma p\tau =\gamma \theta }$

El ángulo de rotación resultante junto con ( 6c ) ahora se puede insertar en ( 3c ), por lo que se deduce la tétrada de Fermi-Walker ^{[31] [24]} ${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\gamma (1,\ -v\sin \theta ,\ v\cos \theta ,\ 0)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(-\gamma v\sin \Theta ,\ \cos \theta \cos \Theta +\gamma \sin \theta \sin \Theta ,\ \sin \theta \cos \Theta -\gamma \cos \theta \sin \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\gamma v\cos \Theta ,\ \cos \theta \sin \Theta -\gamma \sin \theta \cos \Theta ,\ \sin \theta \sin \Theta +\gamma \cos \theta \cos \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =(0,\ 0,\ 0,\ 1)\end{alignedat}}}$

A continuación, se utiliza la tétrada de Frenet-Serret para formular la transformación. Insertando ( 6c ) en las transformaciones ( 4b ) y utilizando la línea de mundo ( 6a ) para se obtienen las coordenadas ^{[74] [76] [ 85] [86] [87] [38]} ${\displaystyle \mathbf {q} }$

que son válidos dentro de , con la métrica ${\displaystyle (X+h)^{2}+(\gamma Y)^{2}\leqq 1/p_{0}^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\gamma ^{2}\left[1-(x+h)^{2}p_{0}^{2}-\gamma ^{2}p_{0}^{2}y^{2}\right]d\tau ^{2}+2\gamma ^{2}p_{0}(x\ dy-y\ dx)d\tau +dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

Si se elige un observador que descansa en el centro del marco giratorio con , las ecuaciones se reducen a la transformación rotacional ordinaria ^{[88] [89] [90]} ${\displaystyle h=0}$

que son válidos dentro de , y la métrica ${\displaystyle 0<{\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}<1/p_{0}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left[1-p_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]dt^{2}+2p_{0}(-y\ dx+x\ dy)dt+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$.

Las últimas ecuaciones también pueden escribirse en coordenadas cilíndricas rotatorias ( coordenadas de Born ): ^{[91] [92] [93] [94] [95]}

que son válidos dentro de , y la métrica ${\displaystyle 0<r<1/p_{0}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-p_{0}^{2}r^{2}\right)dt^{2}+2p_{0}r^{2}dt\ d\phi +dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}+dz^{2}}$

Los marcos ( 6d , 6e , 6f ) se pueden utilizar para describir la geometría de plataformas giratorias, incluida la paradoja de Ehrenfest y el efecto Sagnac .

De cadena

Las curvaturas producen un movimiento catenario , es decir, hiperbólico combinado con una traslación espacial ^{[96] [97] [98] [99] [100] [101] [102]} ${\displaystyle \kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}>0}$ ${\displaystyle \kappa _{3}=0}$

dónde

donde es la velocidad, la velocidad propia, como rapidez, es el factor de Lorentz. La tétrada de Frenet-Serret correspondiente es: ^{[97] [99]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ n,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(1)}&=\left(\sinh \eta ,\ \cosh \eta ,\ 0,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-n\cosh \eta ,\ -n\sinh \eta ,\ -\gamma ,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(3)}&=\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{aligned}}}$

La tétrada de Fermi-Walker no rotatoria correspondiente en la misma línea de mundo se puede obtener resolviendo la parte de Fermi-Walker de la ecuación ( 2 ). ^[102] El mismo resultado se desprende de ( 3a ), que da ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,na\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=na,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =na\tau }$

que junto con ( 7a ) ahora se puede insertar en ( 3c ), dando como resultado la tétrada de Fermi-Walker

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ n,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(\sinh \eta \cos \Theta +n\cosh \eta \sin \Theta ,\ \cosh \eta \cos \Theta +n\sinh \eta \sin \Theta ,\ \gamma \sin \Theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\sinh \eta \sin \Theta -n\cosh \eta \cos \Theta ,\ \cosh \eta \sin \Theta -n\sinh \eta \cos \Theta ,\ -\gamma \cos \Theta \ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{alignedat}}}$

Las coordenadas adecuadas o coordenadas de Fermi se obtienen insertando o en ( 4b ). ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

Parábola semicúbica

Las curvaturas producen una parábola semicúbica o movimiento cuspide ^{[103] [104] [105] [106] [107] [108] [109]} ${\displaystyle \kappa _{1}^{2}-\kappa _{2}^{2}=0}$ ${\displaystyle \kappa _{3}=0}$

La tétrada de Frenet-Serret correspondiente es: ^{[104] [106]} ${\displaystyle \theta =a\tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ \theta ,\ {\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(1)}&=\left(\theta ,\ 1,\ \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ -\theta ,\ 1-{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {e} _{(3)}&=\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{aligned}}}$

La tétrada de Fermi-Walker no rotatoria correspondiente en la misma línea de mundo se puede obtener resolviendo la parte de Fermi-Walker de la ecuación ( 2 ). ^[109] El mismo resultado se desprende de ( 3a ), que da ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left[0,0,0,a\right],\quad \left|{\boldsymbol {\omega }}\right|=a,\quad \Theta =\left|{\boldsymbol {\omega }}\right|\tau =a\tau =\theta }$

que junto con ( 8 ) ahora se puede insertar en ( 3c ), dando como resultado la tétrada de Fermi-Walker (nótese que en este caso): ${\displaystyle \Theta =\theta }$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {f} _{(0)}&\ =\mathbf {e} _{(0)}&\ =\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ \theta ,\ {\frac {1}{2}}\theta ^{2},\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(1)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\cos \Theta -\mathbf {e} _{(2)}\sin \Theta &\ =\left(\theta \cos \theta +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\sin \theta ,\ \cos \theta +\theta \sin \theta ,\ \theta \cos \theta +\left({\frac {1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\sin \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(2)}&\ =\mathbf {e} _{(1)}\sin \Theta +\mathbf {e} _{(2)}\cos \Theta &\ =\left(\theta \sin \theta -{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\cos \theta ,\ \sin \theta -\theta \cos \theta ,\ \theta \sin \theta -\left({\frac {1}{2}}\theta ^{2}-1\right)\cos \theta ,\ 0\right)\\\mathbf {f} _{(3)}&\ =\mathbf {e} _{(3)}&\ =\left(0,\ 0,\ 0,\ 1\right)\end{alignedat}}}$

Las coordenadas adecuadas o coordenadas de Fermi se obtienen insertando o en ( 4b ). ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

Caso general

Las curvaturas , , producen un movimiento hiperbólico combinado con un movimiento circular uniforme. La línea de universo está dada por ^{[110] [111] [112] [113] [114] [115] [116]} ${\displaystyle \kappa _{1}\neq 0}$ ${\displaystyle \kappa _{2}\neq 0}$ ${\displaystyle \kappa _{3}\neq 0}$

dónde

con como velocidad tangencial, como velocidad tangencial propia, como rapidez, como radio orbital, como velocidad angular coordenada, como velocidad angular propia, como ángulo de rotación, es el factor de Lorentz. La tétrada de Frenet-Serret es ^{[111] [113]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{(0)}&=\left(\gamma \cosh \eta ,\ \gamma \sinh \eta ,\ -n\sin \theta ,\ -n\cos \theta \right)\\\mathbf {e} _{(1)}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}\left(\gamma a\sinh \eta ,\ \gamma a\cosh \eta ,\ -np\cos \theta ,\ -np\sin \theta \right)\\\mathbf {e} _{(2)}&=\left(-n\cosh \eta ,\ -n\sinh \eta ,\ \gamma \sin \theta ,\ -\gamma \cos \theta \right)\\\mathbf {e} _{(3)}&={\frac {1}{\kappa _{1}}}\left(np\sinh \eta ,\ np\cosh \eta ,\ \gamma a\cos \theta ,\ \gamma a\sin \theta \right)\end{aligned}}}$

La tétrada de Fermi-Walker no rotatoria correspondiente en la misma línea de mundo es la siguiente: primero, insertando ( 9b ) en ( 3a ) se obtiene la velocidad angular, que junto con ( 9a ) ahora se puede insertar en ( 3b , izquierda), y finalmente insertada en ( 3b , derecha) produce la tétrada de Fermi-Walker. Las coordenadas adecuadas o coordenadas de Fermi se obtienen insertando o en ( 4b ) (las expresiones resultantes no se indican aquí debido a su longitud). ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{(\eta )}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{(\eta )}}$

Resumen de fórmulas históricas

Además de lo descrito en la sección #Historia anterior, se describen con más detalle las contribuciones de Herglotz, Kottler y Møller, ya que estos autores dieron clasificaciones extensas del movimiento acelerado en el espacio-tiempo plano.

Herglotz

Herglotz (1909) ^{[H 5]} argumentó que la métrica

${\displaystyle ds^{2}=d\sigma ^{2}+{\frac {1}{A_{44}}}(d\nu )^{2}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}d\nu &=A_{14}d\xi _{1}+A_{24}d\xi _{2}+A_{34}d\xi _{3}+A_{44}d\xi _{4}\\d\sigma ^{2}&=\sum _{1}^{3}ij\ A_{ij}d\xi _{i}d\xi _{j}-{\frac {1}{A_{44}}}\left(A_{14}d\xi _{1}+A_{24}d\xi _{2}+A_{34}d\xi _{3}\right)^{2}\end{aligned}}}$

satisface la condición de rigidez de Born cuando . Señaló que el movimiento de un cuerpo rígido de Born está determinado en general por el movimiento de uno de sus puntos (clase A), con excepción de aquellas líneas de universo cuyas tres curvaturas son constantes, representando así una hélice (clase B). Para estas últimas, Herglotz dio la siguiente transformación de coordenadas correspondiente a las trayectorias de una familia de movimientos: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}d\sigma ^{2}=0}$

(H1) , ${\displaystyle x_{i}=a_{i}+\sum _{1}^{4}a_{ij}x_{j}^{\prime },\qquad i=1,2,3,4}$

donde y son funciones del tiempo propio . Por diferenciación con respecto a , y suponiendo como constante, obtuvo ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle x_{i}}$

(H2) ${\displaystyle {\frac {dx_{i}^{\prime }}{d\vartheta }}+q_{i}+\sum _{1}^{4}p_{ij}x_{j}^{\prime }=0}$

Aquí, representa la velocidad cuatridimensional del origen de , y es un seis-vector (es decir, un cuatro-tensor antisimétrico de segundo orden , o bivector , que tiene seis componentes independientes) que representa la velocidad angular de alrededor de . Como cualquier seis-vector, tiene dos invariantes: ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle O'}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle -p_{ij}}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle O'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D&=p_{23}p_{14}+p_{31}p_{24}+p_{12}p_{34},\\\Delta &=p_{23}^{2}+p_{31}^{2}+p_{12}^{2}+p_{14}^{2}+p_{24}^{2}+p_{34}^{2},\end{aligned}}}$

Cuando es constante y es variable, cualquier familia de movimientos descritos por (H1) forma un grupo y es equivalente a una familia equidistante de curvas , satisfaciendo así la rigidez de Born porque están rígidamente conectadas con . Para derivar dicho grupo de movimiento, (H2) se puede integrar con valores constantes arbitrarios de y . Para los movimientos rotacionales, esto da como resultado cuatro grupos dependiendo de si los invariantes o son cero o no. Estos grupos corresponden a cuatro grupos de un parámetro de transformaciones de Lorentz, que ya fueron derivadas por Herglotz en una sección anterior bajo el supuesto de que las transformaciones de Lorentz (al ser rotaciones en ) corresponden a movimientos hiperbólicos en . Estos últimos han sido estudiados en el siglo XIX, y fueron categorizados por Felix Klein en movimientos loxodrómicos, elípticos, hiperbólicos y parabólicos (véase también grupo de Möbius ). ${\displaystyle x_{j}^{\prime }}$ ${\displaystyle \vartheta }$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{ij}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle R_{4}}$ ${\displaystyle R_{3}}$

Kottler

Friedrich Kottler (1912) ^{[H 6]} siguió a Herglotz y derivó las mismas líneas de mundo de curvaturas constantes utilizando las siguientes fórmulas de Frenet-Serret en cuatro dimensiones, con una tétrada comóvil de la línea de mundo y como las tres curvaturas ${\displaystyle c^{(\alpha )}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{R_{1}}},\ {\frac {1}{R_{2}}},\ {\frac {1}{R_{3}}}}$

${\displaystyle {{\begin{matrix}{\frac {dc_{1}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{2}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{3}^{(\alpha )}}{ds}}=\\{\frac {dc_{4}^{(\alpha )}}{ds}}=\end{matrix}}\left.{\begin{matrix}*&{\frac {c_{2}^{(\alpha )}}{R_{1}}}&*&*\\-{\frac {c_{1}^{(\alpha )}}{R_{1}}}&*&{\frac {c_{3}^{(\alpha )}}{R_{2}}}&*\\*&-{\frac {c_{2}^{(\alpha )}}{R_{2}}}&*&{\frac {c_{4}^{(\alpha )}}{R_{3}}}\\*&*&-{\frac {c_{3}^{(\alpha )}}{R_{3}}}&*\end{matrix}}\alpha =1,2,3,4\right\}}}$

correspondiente a ( 1 ). Kottler señaló que la tétrada puede considerarse como un marco de referencia para tales líneas de mundo. Luego, dio la transformación para las trayectorias

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {x} +\Gamma ^{(1)}c_{1}+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$(con ) ${\displaystyle {h=1,2,3,4}}$

de acuerdo con ( 4a ). Kottler también definió una tétrada cuyos vectores base están fijos en el espacio normal y por lo tanto no comparten ninguna rotación. Este caso se diferenció además en dos casos: si el campo de la tétrada tangente (es decir, el temporal) es constante, entonces los campos de la tétrada espacial pueden reemplazarse por que están conectados "rígidamente" con la tangente, por lo tanto ${\displaystyle {c_{2}^{(h)},c_{3}^{(h)},c_{4}^{(h)}}}$ ${\displaystyle {b_{2}^{(h)},b_{3}^{(h)},b_{4}^{(h)}}}$

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\eta _{0}^{(1)}c_{1}+\eta _{0}^{(2)}b_{2}+\eta _{0}^{(3)}b_{3}+\eta _{0}^{(4)}b_{4}}}$

El segundo caso es un vector "fijo" en el espacio normal al establecer . Kottler señaló que esto corresponde a la clase B dada por Herglotz (que Kottler llama "cuerpo de Born de segunda especie") ${\displaystyle {\eta ^{(1)}=0}}$

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\eta _{0}^{(2)}b_{2}+\eta _{0}^{(3)}b_{3}+\eta _{0}^{(4)}b_{4}}}$,

y la clase (A) de Herglotz (que Kottler llama "cuerpo de Born de primera especie") está dada por

${\displaystyle {\mathbf {y} =\mathbf {x} +\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}}$

que corresponden ambas a la fórmula ( 4b ).

---

En (1914a), ^{[H 6]} Kottler demostró que la transformación

${\displaystyle X=x+\Gamma ^{(1)}c_{1}+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$,

describe las coordenadas no simultáneas de los puntos de un cuerpo, mientras que la transformación con ${\displaystyle \Gamma ^{(1)}=0}$

${\displaystyle X=x+\Gamma ^{(2)}c_{2}+\Gamma ^{(3)}c_{3}+\Gamma ^{(4)}c_{4}}$,

describe las coordenadas simultáneas de los puntos de un cuerpo. Estas fórmulas se convierten en "transformaciones generalizadas de Lorentz" al insertar

${\displaystyle \Gamma ^{(3)}=X',\quad \Gamma ^{(4)}=Y',\quad \Gamma ^{(2)}=Z',\quad \Gamma ^{(1)}=ic(T'-\tau )}$

de este modo

${\displaystyle X-x=ic(T'-\tau )c_{1}+Z'c_{2}+X'c_{3}+Y'c_{4}}$

de acuerdo con ( 4b ). Introdujo los términos "coordenadas propias" y "marco propio" ( en alemán : Eigenkoordinaten, Eigensystem ) para un sistema cuyo eje de tiempo coincide con la tangente respectiva de la línea de mundo. También demostró que el cuerpo rígido de Born de segunda clase, cuyas líneas de mundo están definidas por

${\displaystyle {\mathfrak {X}}=x+\Delta ^{(2)}c_{2}+\Delta ^{(3)}c_{3}+\Delta ^{(4)}c_{4}}$,

es particularmente adecuada para definir un marco de referencia adecuado. Utilizando esta fórmula, definió los marcos de referencia adecuados para el movimiento hiperbólico (caída libre) y para el movimiento circular uniforme:

En (1916a) Kottler dio la métrica general para los movimientos relativos a la aceleración basada en las tres curvaturas.

${\displaystyle {\begin{aligned}dS^{2}=&d\xi ^{\prime 2}+d\eta ^{\prime 2}+d\zeta ^{\prime 2}-2c\ d\tau 'd\xi '\cdot \eta 'i/R_{2}+2c\ d\tau 'd\eta '\cdot \left(\xi 'i/R_{2}-\zeta 'i/R_{3}\right)+c\ d\tau 'd\zeta '\cdot \eta 'i/R_{3}\\&-c^{2}d\tau ^{\prime 2}\left[\left(1-\xi '/R_{1}\right)^{2}+\eta ^{\prime 2}/R_{2}^{2}+\eta ^{\prime }/R_{3}^{2}+\left(\xi '/R_{2}-\zeta '/R_{3}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}$

En (1916b) le dio la forma:

${\displaystyle {ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+2g_{14}dx\ dit+2g_{24}dy\ dit+2g_{34}dz\ dit+g_{44}(dit)^{2}}}$

donde son libres de , y , y , y lineal en . ${\displaystyle {g_{14}g_{24}g_{34}g_{44}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\frac {\partial g_{i4}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial g_{k4}}{\partial x_{i}}}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial g_{i4}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial g_{k4}}{\partial x_{i}}}={\text{const.}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$ ${\displaystyle xyz}$

Moler

Møller (1952) ^[7] definió la siguiente ecuación de transporte

${\displaystyle {\frac {de_{i}}{d\tau }}={\frac {\left(e_{l}{\dot {U}}_{l}\right)U_{i}-{\dot {U}}_{i}\left(i_{l}U_{l}\right)}{c^{2}}}}$

de acuerdo con el transporte de Fermi-Walker por ( 2 , sin rotación). La transformación de Lorentz en un sistema inercial momentáneo fue dada por él como

${\displaystyle x_{i}=f_{i}(\tau )+x_{k}^{\prime }\alpha _{ki}(\tau )}$

de acuerdo con ( 4a ). Al establecer , y , obtuvo la transformación en el "análogo relativista de un marco de referencia rígido" ${\displaystyle x^{i}=x_{l}^{\prime }}$ ${\displaystyle x_{4}^{\prime }=0}$ ${\displaystyle t=\tau }$

${\displaystyle X_{i}=f_{i}(t)+x^{\prime \kappa }\alpha _{\kappa i}(\tau )}$

de acuerdo con las coordenadas de Fermi ( 4b ), y la métrica

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}}$

de acuerdo con la métrica de Fermi ( 4c ) sin rotación. Obtuvo las tétradas de Fermi-Walker y los marcos de Fermi del movimiento hiperbólico y del movimiento circular uniforme (algunas fórmulas para el movimiento hiperbólico ya las había derivado en 1943):

Líneas de mundo de curvaturas constantes de Herglotz y Kottler

Referencias

1. Misner & Thorne & Wheeler (1973), pág. 163: "El movimiento acelerado y los observadores acelerados pueden analizarse utilizando la relatividad especial".
2. Koks (2006), p. 234. "A veces se dice que para describir la física de manera adecuada en un marco acelerado, la relatividad especial es insuficiente y que se necesita toda la maquinaria de la relatividad general para realizar la tarea. Esto es totalmente erróneo. La relatividad especial es completamente suficiente para derivar la física de un marco acelerado".
3. En algunos libros de texto se discuten las mismas fórmulas y resultados para el espacio-tiempo plano en el marco de la RG, utilizando la definición histórica de que la RG está restringida a los sistemas inerciales , mientras que los sistemas acelerados pertenecen al marco de la RG. Sin embargo, dado que los resultados son los mismos en términos del espacio-tiempo plano, no afecta el contenido de este artículo. Por ejemplo, Møller (1952) analiza las transformaciones sucesivas de Lorentz, los sistemas inerciales sucesivos y el transporte de tétradas (ahora llamado transporte de Fermi-Walker) en los §§ 46, 47 relacionados con la relatividad especial, mientras que los sistemas de referencia rígidos se discuten en la sección §§ 90, 96 relacionados con la relatividad general.
4. Petruv (1964)
5. Synge (1967)
6. Letaw (1981)
7. Møller (1952), §§ 46, 47, 90, 96
8. Synge (1960), §§ 3, 4
9. Romain (1963), particularmente la sección VI para el "enfoque del tiempo apropiado"
10. Misner y Thorne y Wheeler (1973), sección 6.8
11. Mashhoon (1990), (2003)
12. Iyer y Vishveshwara (1993), sección 2.2
13. Johns (2005), sección 18.18
14. Bini & Cherubini & Geralico & Jantzen (2008), sección 3
15. Gourgoulhon (2013)
16. Synge (1960), § 3
17. Iyer y Vishveshwara (1993), sección 2.1
18. Formiga y Romero (2006), sección 2
19. Gourgoulhon (2013), sección 2.7.3
20. Kajari & Buser & Feiler & Schleich (2009), sección 3
21. Hehl & Lemke & Mielke (1990), sección I.6
22. Padmanabhan (2010), sección 4.9
23. Gourgoulhon (2013), sección 3.5.3
24. Johns (2005), sección 18.19
25. Bini & Cherubini & Geralico & Jantzen (2008), sección 3.2
26. Maluf y Faria (2008)
27. Bini & Cherubini & Geralico & Jantzen (2008), sección 3.1
28. Gourgoulhon (2013), ecuación 3.58
29. Irvine (1964), sección VII, ecuación 41
30. Bini y Jantzen (2003), Apéndice A
31. Mashhoon (2003), sección 3, ec. 1.17, 1.18
32. Møller (1952), § 46
33. Møller (1952), § 96
34. Hehl y Lemke y Mielke (1990), sección I.8
35. Mashhoon y Muench (2002), sección 2
36. Kopeikin y Efroimsky y Kaplan (2011), sección 2.6
37. Synge (1960), § 10
38. Bini & Lusanna & Mashhoon (2005), Apéndice A
39. Ni y Zimmermann (1978), incluidos los términos riemannianos
40. Hehl & Lemke & Mielke (1990), sección I.8, sin términos riemannianos
41. Marzlin (1994), sección 2, incluidos los términos riemannianos
42. Nikolić (1999), sección 2, sin términos riemannianos
43. Mashhoon & Münch (2002), sección 2, sin términos riemannianos
44. Bini y Jantzen (2002), sección 2, incluidos los términos riemannianos
45. Voytik (2011), sección 2, sin términos riemannianos
46. Misner & Thorne & Wheeler (1973), sección 13.6, dieron la aproximación de primer orden a esta métrica, sin términos riemannianos
47. Bel (1995), teorema 2
48. Giulini (2008), Teorema 18
49. Herglotz (1909), secciones 3-4, que se centra en los cuatro movimientos de rotación además del movimiento hiperbólico.
50. Kottler (1912), § 6; (1914a), tablas I y II
51. Letaw y Pfautsch (1982)
52. Pauri y Vallisneri (2001), Apéndice A
53. Rosu (2000), sección 0.2.3
54. Louko y Satz (2006), sección 5.2
55. Herglotz (1909), pág. 408
56. Kottler (1914a), tabla I (IIIb); Kottler (1914b), págs. 488-489, 492-493
57. Petruv (1964), ecuación 22
58. Synge (1967), sección 9
59. Pauri y Vallisneri (2001), ecuación. 19
60. Rosu (2000), sección 0.2.3, caso 2
61. Møller (1952) ecuación 160
62. Synge (1967) pág. 35, tipo III
63. Misner y Thorne y Wheeler (1973), sección 6.4
64. Louko y Satz (2006), sección 5.2.2
65. Gron (2006), sección 5.5
66. Formiga (2012), sección Va
67. Kottler (1914b), págs. 488-489, 492-493
68. Møller (1952), ecuación 154
69. Misner y Thorne y Wheeler (1973), sección 6.6
70. Muñoz y Jones (2010), ecuación. 37, 38
71. Pauli (1921), sección 32-y
72. Rindler (1966), pág. 1177
73. Koks (2006), sección 7.2
74. Kottler (1914a), tabla I (IIb) y § 6 sección 3
75. Petruv (1964), ecuación 54
76. Nožička (1964), ejemplo 1
77. Synge (1967), sección 8
78. Pauri y Vallisneri (2001), ecuación. 20
79. Rosu (2000), sección 0.2.3, caso 3
80. Formiga (2012), sección Vb
81. Hauck y Mashhoon (2003), sección 1
82. Mashhoon (2003), sección 3
83. Møller (1952), § 47, ec. 164
84. Louko y Satz (2006), sección 5.2.3
85. Mashhoon (1990), ecuación 10-13
86. Nikolic (1999), ecuación 17 (obtuvo estas fórmulas utilizando la transformación de Nelson).
87. Mashhoon (2003), ecuación. 1,22-1,25
88. Herglotz (1909), pág. 412, "grupo elíptico"
89. Eddington (1920), pág. 22.
90. de Felice (2003), sección 2
91. de Sitter (1916a), pág. 178
92. von Laue (1921), pág. 162
93. Gron (2006), sección 5.1
94. Rizzi y Ruggiero (2002), pág. sección 5
95. Ashby (2003), sección 2
96. Herglotz (1909), págs. 408 y 413, "grupo hiperbólico"
97. Kottler (1914a), tabla I (IIIa)
98. Petruv (1964), ecuación 67
99. Synge (1967), sección 6
100. Pauri y Vallisneri (2001), ecuación. 22
101. Rosu (2000), sección 0.2.3, caso 5
102. Louko y Satz (2006), sección 5.2.5
103. Herglotz (1909), págs. 413-414, "grupo parabólico"
104. Kottler (1914a), tabla I (IV)
105. Petruv (1964), ecuación 40
106. Synge (1967), sección 7
107. Pauri y Vallisneri (2001), ecuación. 21
108. Rosu (2000), sección 0.2.3, caso 4
109. Louko y Satz (2006), sección 5.2.4
110. Herglotz (1909), págs. 411-412, "grupo parabólico"
111. Kottler (1914a), tabla I (caso I)
112. Petruv (1964), ecuación 88
113. Synge (1967), sección 4
114. Pauri y Vallisneri (2001), ecuación. 23, 24
115. Rosu (2000), sección 0.2.3, caso 6
116. Louko y Satz (2006), sección 5.2.6

Bibliografía

Libros de texto

• von Laue, M. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (cuarta edición de "Das Relativitätsprinzip" ed.). Vereg.; Primera edición 1911, segunda edición ampliada 1913, tercera edición ampliada 1919.
• Pauli, W. (1921). "La teoría de la relatividad". Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften . vol. 5. Leipzig, BG Teubner. págs. 539–776.Nueva edición 2013: Editor: Domenico Giulini, Springer, 2013 ISBN 3642583555 . 
• Møller, C. (1955) [1952]. La teoría de la relatividad. Oxford Clarendon Press.
• Synge, JL (1960). Relatividad: la teoría general . Holanda Septentrional.
• Misner, CW, Thorne, KS y Wheeler, J. A (1973). Gravitación . Freeman. ISBN 978-0716703440.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Rindler, W. (1977). Relatividad esencial . Springer. ISBN 978-3540079705.
• Johns, O. (2005). Mecánica analítica para la relatividad y la mecánica cuántica . OUP Oxford. ISBN 978-0198567264. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
• Koks, D. (2006). Exploraciones en física matemática . Springer. ISBN 978-0387309439.
• T. Padmanabhan (2010). Gravitación: fundamentos y fronteras . Cambridge University Press. ISBN 978-1139485395.
• Kopeikin, S., Efroimsky, M., Kaplan, G. (2011). Mecánica celeste relativista del sistema solar . John Wiley & Sons. ISBN 978-3527408566.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Gourgoulhon, E. (2013). Relatividad especial en marcos generales: de las partículas a la astrofísica . Springer. ISBN 978-3642372766.

Artículos de revistas

• Bel, L. (1994). "Grupo de Born e isometrías generalizadas". En J. Diaz, M. Lorente (ed.). Relatividad en general . Atlantica Séguier Frontières. p. 47. arXiv : 1103.2509 . Bibcode :2011arXiv1103.2509B. ISBN 978-2863321683.
• Bini, D., y Jantzen, RT (2003). "Holonomía circular, efectos de reloj y gravitoelectromagnetismo: todavía dando vueltas en círculos después de todos estos años". En R. Ruffini y C. Sigismondi (ed.). Actas del Noveno Taller de la Red ICRA sobre Fermi y Astrofísica . Vol. 117. págs. 983–1008. arXiv : gr-qc/0202085 . Código Bibliográfico :2002NCimB.117..983B. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Bini, D., y Jantzen, RT (2004). "Fuerzas inerciales: la evaluación relativista especial" (PDF) . Relatividad en sistemas rotatorios . Springer. pp. 221–239. doi :10.1007/978-94-017-0528-8_13. ISBN . 978-90-481-6514-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Bini, D., Cherubini, C., Geralico, A., y Jantzen, RT (2008). "Marcos físicos a lo largo de órbitas circulares en espaciotiempos axisimétricos estacionarios". Relatividad general y gravitación . 40 (5): 985–1012. arXiv : 1408.4598 . Código Bibliográfico :2008GReGr..40..985B. doi :10.1007/s10714-007-0587-z. S2CID  118540815.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Formiga, JB, y Romero, C. (2006). "Sobre la geometría diferencial de curvas temporales en el espacio-tiempo de Minkowski". American Journal of Physics . 74 (11): 1012–1016. arXiv : gr-qc/0601002 . Código Bibliográfico :2006AmJPh..74.1012F. doi :10.1119/1.2232644. S2CID  18892394.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Giulini, Domenico (2008). "La rica estructura del espacio de Minkowski". Minkowski Spacetime: A Hundred Years Later (El espacio-tiempo de Minkowski: cien años después ). Vol. 165. Springer. pág. 83. arXiv : 0802.4345 . Código Bibliográfico : 2008arXiv0802.4345G. ISBN. 978-90-481-3474-8. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
• Hehl, FW, Lemke, J., y Mielke, EW (1991). "Dos conferencias sobre fermiones y gravedad". Geometría y física teórica . Springer. págs. 56-140. doi :10.1007/978-3-642-76353-3_3. ISBN . 978-3-642-76355-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Irvine, WM (1964). "Electrodinámica en un sistema rotatorio de referencia". Physica . 30 (6): 1160–1170. Bibcode :1964Phy....30.1160I. doi :10.1016/0031-8914(64)90106-5.
• Iyer, BR y Vishveshwara, CV (1993). "Descripción de Frenet-Serret de la precesión giroscópica". Physical Review D . 48 (12): 5706–5720. arXiv : gr-qc/9310019 . Bibcode :1993PhRvD..48.5706I. doi :10.1103/PhysRevD.48.5706. PMID  10016237. S2CID  119458843.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Kajari, E., Buser, M., Feiler, C., y Schleich, WP (2009). "Rotación en relatividad y propagación de la luz". Actas de la Escuela Internacional de Física "Enrico Fermi" . Curso CLXVIII (Óptica atómica y física espacial): 45–148. arXiv : 0905.0765 . doi :10.3254/978-1-58603-990-5-45. S2CID  119187725.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Letaw, JR (1981). "Líneas del mundo estacionario y la excitación en vacío de detectores no inerciales". Physical Review D . 23 (8): 1709–1714. Bibcode :1981PhRvD..23.1709L. doi :10.1103/PhysRevD.23.1709.
• Letaw, JR, y Pfautsch, JD (1982). "Los sistemas de coordenadas estacionarios en el espacio-tiempo plano". Journal of Mathematical Physics . 23 (3): 425–431. Bibcode :1982JMP....23..425L. doi : 10.1063/1.525364 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Maluf, JW, y Faria, FF (2008). "Sobre la construcción de sistemas transportados de Fermi-Walker". Annalen der Physik . 17 (5): 326–335. arXiv : 0804.2502 . Bibcode :2008AnP...520..326M. doi :10.1002/andp.200810289. S2CID  14389237.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Marzlin, KP (1994). "El significado físico de las coordenadas de Fermi". Relatividad general y gravitación . 26 (6): 619–636. arXiv : gr-qc/9402010 . Código Bibliográfico :1994GReGr..26..619M. CiteSeerX  10.1.1.340.7264 . doi :10.1007/BF02108003. S2CID  17918026.
• Mashhoon, B. (1990). "La hipótesis de localidad en física relativista". Physics Letters A . 145 (4): 147–153. Bibcode :1990PhLA..145..147M. doi :10.1016/0375-9601(90)90670-J.
• Mashhoon, B., y Muench, U. (2002). "Medición de longitud en sistemas acelerados". Annalen der Physik . 11 (7): 532–547. arXiv : gr-qc/0206082 . Bibcode :2002AnP...514..532M. CiteSeerX  10.1.1.339.5650 . doi :10.1002/1521-3889(200208)11:7<532::AID-ANDP532>3.0.CO;2-3.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Mashhoon, B. (2004) [2004]. "La hipótesis de localidad y sus limitaciones". Relatividad en marcos rotatorios . Springer. pp. 43–55. arXiv : gr-qc/0303029 . doi :10.1007/978-94-017-0528-8_5. ISBN 978-90-481-6514-8.S2CID 9502229  .
• Møller, C. (1943). "Sobre campos gravitatorios homogéneos en la teoría general de la relatividad y la paradoja del reloj". Dan. Mat. Fys. Medd . 8 : 3–25.
• Ni, WT, y Zimmermann, M. (1978). "Efectos inerciales y gravitacionales en el marco de referencia propio de un observador acelerado y rotatorio". Physical Review D . 17 (6): 1473–1476. Bibcode :1978PhRvD..17.1473N. doi :10.1103/PhysRevD.17.1473.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Nikolić, H. (2000). "Contracción relativista y efectos relacionados en sistemas no inerciales". Physical Review A . 61 (3): 032109. arXiv : gr-qc/9904078 . Código Bibliográfico :2000PhRvA..61c2109N. doi :10.1103/PhysRevA.61.032109. S2CID  5783649.
• Pauri, M., y Vallisneri, M. (2000). "Coordenadas de Märzke-Wheeler para observadores acelerados en relatividad especial". Fundamentos de la física Letters . 13 (5): 401–425. arXiv : gr-qc/0006095 . Código Bibliográfico :2000gr.qc.....6095P. doi :10.1023/A:1007861914639. S2CID  15097773.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Romain, JE (1963). "Medidas de tiempo en marcos de referencia acelerados". Reseñas de Física Moderna . 35 (2): 376–388. Bibcode :1963RvMP...35..376R. doi :10.1103/RevModPhys.35.376.
• Synge, JL (1966). "Hélices temporales en un espacio-tiempo plano". Actas de la Real Academia Irlandesa, Sección A. 65 : 27–42. JSTOR  20488646.
• Voytik, VV (2011). "El principio general de invariancia de forma". Gravitación y cosmología . 17 (3): 218–223. arXiv : 1105.6044 . Bibcode :2011GrCo...17..218V. doi :10.1134/S0202289311030108. S2CID  119281266.

Fuentes históricas

1. Einstein, Albert (1908) [1907], "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen" (PDF) , Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik , 4 : 411–462, Bibcode : 1908JRE..... 4.. 411ESobre el principio de relatividad y las conclusiones extraídas de él en el proyecto de artículo de Einstein.
2. Born, Max (1909), "Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [traducción de Wikisource: La teoría del electrón rígido en la cinemática del principio de la relatividad], Annalen der Physik , 335 (11): 1 –56, Bibcode :1909AnP...335....1B, doi :10.1002/andp.19093351102
3. Sommerfeld, Arnold (1910). "Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis" [traducción de Wikisource: Sobre la teoría de la relatividad II: análisis de vectores cuatridimensionales]. Annalen der Physik . 338 (14): 649–689. Código bibliográfico : 1910AnP...338..649S. doi : 10.1002/andp.19103381402.
4. Laue, Max von (1911). Das Relativitätsprinzip. Braunschweig: Vieweg.
5. Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [traducción de Wikisource: Sobre cuerpos que deben designarse como "rígidos" desde el punto de vista del principio de relatividad], Annalen der Physik , 336 (2): 393–415, Bibcode :1910AnP...336..393H, doi :10.1002/andp.19103360208
6. Kottler, Friedrich (1912). "Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt" [Traducción de Wikisource: Sobre las líneas espacio-temporales de un mundo Minkowski]. Wiener Sitzungsberichte 2a . 121 : 1659-1759. hdl :2027/mdp.39015051107277.Kottler, Friedrich (1914a). "Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung". Annalen der Physik . 349 (13): 701–748. Código bibliográfico : 1914AnP...349..701K. doi : 10.1002/andp.19143491303.Kottler, Friedrich (1914b). "Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips". Annalen der Physik . 350 (20): 481–516. Código bibliográfico : 1914AnP...350..481K. doi : 10.1002/andp.19143502003.Kottler, Friedrich (1916a). "Beschleunigungsrelative Bewegungen und die konforme Gruppe der Minkowski'schen Welt". Wiener Sitzungsberichte 2a . 125 : 899–919. hdl :2027/mdp.39015073682984.Kottler, Friedrich (1916b). "Über Einsteins Äquivalenzhypothese und die Gravitation". Annalen der Physik . 355 (16): 955–972. Código bibliográfico : 1916AnP...355..955K. doi : 10.1002/andp.19163551605.Kottler, Friedrich (1918). "Über die physikalischen Grundlagen der Einsteinschen Relativitätstheorie". Annalen der Physik . 361 (14): 401–461. Código Bib : 1918AnP...361..401K. doi : 10.1002/andp.19183611402.Kottler, Friedrich (1921). "Rotierende Bezugssysteme en un Minkowskischen Welt". Physikalische Zeitschrift . 22 : 274–280 y 480–484. hdl :2027/mdp.39015020056829.
7. Lemaître, G. (1924), "El movimiento de un sólido rígido según el principio de relatividad", Philosophical Magazine , Serie 6, 48 (283): 164–176, doi :10.1080/14786442408634478

Enlaces externos

• Preguntas frecuentes sobre física: aceleración en la relatividad especial
• Eric Gourgoulhon (2010): La relatividad especial desde la perspectiva de un observador acelerado