Movimiento hiperbólico (relatividad)

Movimiento de un objeto con aceleración propia constante en relatividad especial.

El movimiento hiperbólico se puede visualizar en un diagrama de Minkowski, donde el movimiento de la partícula que se acelera se produce a lo largo del eje. Cada hipérbola está definida por y (con ) en la ecuación ( 2 ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=\pm c^{2}/\alpha }$ ${\displaystyle \eta =\alpha \tau /c}$ ${\displaystyle c=1,\alpha =1}$

El movimiento hiperbólico es el movimiento de un objeto con aceleración propia constante en la relatividad especial . Se llama movimiento hiperbólico porque la ecuación que describe la trayectoria del objeto a través del espacio-tiempo es una hipérbola , como se puede ver cuando se representa gráficamente en un diagrama de Minkowski cuyas coordenadas representan un sistema inercial (no acelerado) adecuado. Este movimiento tiene varias características interesantes, entre ellas que es posible dejar atrás a un fotón si se le da suficiente ventaja, como se puede concluir del diagrama. ^[1]

Historia

Hermann Minkowski (1908) mostró la relación entre un punto en una línea de mundo y la magnitud de cuatro aceleraciones y una "hipérbola de curvatura" ( alemán : Krümmungshyperbel ). ^[2] En el contexto de la rigidez de Born , Max Born (1909) acuñó posteriormente el término "movimiento hiperbólico" ( en alemán : Hyperbelbewegung ) para el caso de magnitud constante de cuatro aceleraciones, y luego proporcionó una descripción detallada de las partículas cargadas en movimiento hiperbólico. , e introdujo el correspondiente "sistema de referencia hiperbólicamente acelerado" ( en alemán : hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem ). ^[3] Las fórmulas de Born fueron simplificadas y ampliadas por Arnold Sommerfeld (1910). ^[4] Para reseñas anteriores, consulte los libros de texto de Max von Laue (1911, 1921) ^[5] o Wolfgang Pauli (1921). ^[6] Véase también Galeriu (2015) ^[7] o Gourgoulhon (2013), ^[8] y Aceleración (relatividad especial)#Historia .

Línea mundial

La aceleración propia de una partícula se define como la aceleración que una partícula "siente" cuando acelera de un sistema de referencia inercial a otro. Si la aceleración propia se dirige paralela a la línea de movimiento, está relacionada con la aceleración triple ordinaria en la relatividad especial por ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a=du/dT}$

${\displaystyle \alpha =\gamma ^{3}a={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2}}}{\frac {du}{dT}},}$

donde es la velocidad instantánea de la partícula, el factor de Lorentz , es la velocidad de la luz y es el tiempo coordenado. Al resolver la ecuación de movimiento se obtienen las fórmulas deseadas, que se pueden expresar en términos de tiempo de coordenadas y de tiempo propio . Para simplificar, todos los valores iniciales de tiempo, ubicación y velocidad se pueden establecer en 0, así: ^{[5] [6] [9] [10] [11]} ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau }$

Esto da , que es una hipérbola en el tiempo T y la variable de ubicación espacial . En este caso, el objeto acelerado se ubica en el momento . Si en cambio hay valores iniciales distintos de cero, las fórmulas para el movimiento hiperbólico asumen la forma: ^{[12] [13] [14]} ${\displaystyle \left(X+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}T^{2}=c^{4}/\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle T=0}$

${\displaystyle {\scriptstyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}u(T)&={\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{\sqrt {1+\left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)^{2}}}}\quad \\&=c\tanh \left\{\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)\right\}\\X(T)&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)^{2}}}-\gamma _{0}\right)\\&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\cosh \left[\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)\right]-\gamma _{0}\right\}\\c\tau (T)&=c\tau _{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\ln \left({\frac {{\sqrt {c^{2}+\left(u_{0}\gamma _{0}+\alpha T\right){}^{2}}}+u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{\left(c+u_{0}\right)\gamma _{0}}}\right)\\&=c\tau _{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\operatorname {arsinh} \left({\frac {u_{0}\gamma _{0}+\alpha T}{c}}\right)-\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)\right\}\end{aligned}}&{\begin{aligned}u(\tau )&=c\tanh \left\{\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right\}\\\\X(\tau )&=X_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\cosh \left[\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right]-\gamma _{0}\right\}\\\\cT(\tau )&=cT_{0}+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\left\{\sinh \left[\operatorname {artanh} \left({\frac {u_{0}}{c}}\right)+{\frac {\alpha \tau }{c}}\right]-{\frac {u_{0}\gamma _{0}}{c}}\right\}\end{aligned}}\end{array}}}}$

Rapidez

La línea mundial del movimiento hiperbólico (que de ahora en adelante se escribirá en función del tiempo propio) se puede simplificar de varias maneras. Por ejemplo, la expresión

${\displaystyle X={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right)}$

puede estar sujeto a un cambio espacial de cantidad , por lo tanto ${\displaystyle c^{2}/\alpha }$

${\displaystyle X={\frac {c^{2}}{\alpha }}\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}}$, ^[15]

por el cual el observador se encuentra en la posición en el momento . Además, al establecer e introducir la rapidez , ^[14] las ecuaciones para el movimiento hiperbólico se reducen a ^{[4] [16]} ${\displaystyle X=c^{2}/\alpha }$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle x=c^{2}/\alpha }$ ${\displaystyle \eta =\operatorname {artanh} {\frac {u}{c}}={\frac {\alpha \tau }{c}}}$

con la hipérbola . ${\displaystyle X^{2}-c^{2}T^{2}=x^{2}}$

Partículas cargadas en movimiento hiperbólico.

Born (1909), ^[3] Sommerfeld (1910), ^[4] von Laue (1911), ^[5] Pauli (1921) ^[6] también formularon las ecuaciones para el campo electromagnético de partículas cargadas en movimiento hiperbólico. ^[7] Esto fue ampliado por Hermann Bondi y Thomas Gold (1955) ^[17] y Fulton y Rohrlich (1960) ^{[18] [19]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\rho '}'=&{\frac {\left(8e/\alpha ^{2}\right)\rho 'z'}{\xi ^{\prime 3}}}\\E_{z'}'=&{\frac {-\left(4e/\alpha ^{2}\right)1/\alpha ^{2}+t^{\prime 2}+\rho ^{\prime 2}-z^{\prime 2}}{\xi ^{\prime 3}}}\\E_{\varphi '}'=&H_{\varphi '}'=H_{z'}'=0\\H_{\varphi '}'=&{\frac {\left(8e/\alpha ^{2}\right)\rho 't'}{\xi ^{\prime 3}}}\\\xi '=&{\sqrt {\left(1/\alpha ^{2}+t^{\prime 2}-\rho ^{\prime 2}-z^{\prime 2}\right)^{2}+\left(2\rho '/\alpha \right)^{2}}}\end{aligned}}}$

Esto está relacionado con la controvertida cuestión ^{[20] [21]} discutida: si las cargas en movimiento hiperbólico perpetuo irradian o no, y si esto es consistente con el principio de equivalencia , aunque se trata de una situación ideal, porque el movimiento hiperbólico perpetuo no es posible. Mientras que los primeros autores como Born (1909) o Pauli (1921) argumentaron que no surge radiación, autores posteriores como Bondi & Gold ^[17] y Fulton & Rohrlich ^{[18] [19]} demostraron que sí surge radiación.

Marco de referencia adecuado

La trayectoria de la luz a través de E marca el horizonte de sucesos aparente de un observador P en movimiento hiperbólico.

En la ecuación ( 2 ) para el movimiento hiperbólico, la expresión era constante, mientras que la rapidez era variable. Sin embargo, como señala Sommerfeld, ^[16] se puede definir como una variable, pero al mismo tiempo hacerla constante. Esto significa que las ecuaciones se convierten en transformaciones que indican la forma en reposo simultáneo de un cuerpo acelerado con coordenadas hiperbólicas visto por un observador en movimiento. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (x,y,z,\eta )}$

${\displaystyle cT=x\sinh \eta ,\quad X=x\cosh \eta ,\quad Y=y,\quad Z=z}$

Mediante esta transformación, el tiempo propio se convierte en el tiempo del sistema hiperbólicamente acelerado. Estas coordenadas, que comúnmente se denominan coordenadas de Rindler (variantes similares se denominan coordenadas de Kottler-Møller o coordenadas de Lass ), pueden verse como un caso especial de las coordenadas de Fermi o coordenadas propias, y a menudo se utilizan en relación con el efecto Unruh . Utilizando estas coordenadas, resulta que los observadores en movimiento hiperbólico poseen un horizonte de sucesos aparente , más allá del cual ninguna señal puede alcanzarlos.

Transformación conforme especial

Un método menos conocido para definir un sistema de referencia en movimiento hiperbólico es el empleo de la transformación conforme especial , que consiste en una inversión , una traslación y otra inversión. ^[22] Se interpreta comúnmente como una transformación de calibre en el espacio de Minkowski, aunque algunos autores la utilizan alternativamente como una transformación de aceleración (ver Kastrup para un estudio histórico crítico). ^[23] Tiene la forma

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2ax+a^{2}x^{2}}}}$

Usando solo una dimensión espacial y simplificando aún más estableciendo y usando la aceleración , se deduce ^[24] ${\displaystyle x^{\mu }=(t,x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle a^{\mu }=(0,-\alpha /2)}$

${\displaystyle T={\frac {t}{1-{\frac {1}{4}}\alpha {}^{2}t^{2}}},\quad X={\frac {-\alpha t^{2}}{2\left(1-{\frac {1}{4}}\alpha {}^{2}t^{2}\right)}}}$

con la hipérbola . Resulta que en el momento se vuelve singular, a lo que Fulton & Rohrlich & Witten ^[24] comentan que hay que mantenerse alejado de este límite, mientras que Kastrup ^[23] (que es muy crítico con la interpretación de la aceleración) señala que esto es Uno de los extraños resultados de esta interpretación. ${\displaystyle \left(X-1/\alpha \right)^{2}-T^{2}=1/\alpha ^{2}}$ ${\displaystyle t=\pm (x+2/\alpha )}$

Notas

1. Misner, Thorne y Wheeler 1973, capítulo 6.
2. Minkowski, Hermann (1909). "Raum und Zeit. Vortrag, gehalten auf der 80. Naturforscher-Versammlung zu Köln am 21. Septiembre de 1908"  [traducción de Wikisource: Espacio y tiempo]. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . Leipzig.
3. Nacido, Max (1909). "Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [traducción de Wikisource: La teoría del electrón rígido en la cinemática del principio de relatividad]. Annalen der Physik . 335 (11): 1–56. Código bibliográfico : 1909AnP...335....1B. doi : 10.1002/andp.19093351102.
4. Sommerfeld, Arnold (1910). "Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis" [traducción de Wikisource: Sobre la teoría de la relatividad II: análisis de vectores cuatridimensionales]. Annalen der Physik . 338 (14): 649–689. Código bibliográfico : 1910AnP...338..649S. doi : 10.1002/andp.19103381402.
5. von Laue, M. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (cuarta edición de "Das Relativitätsprinzip" ed.). Vereg. págs. 89–90, 155–166.; Primera edición 1911, segunda edición ampliada 1913, tercera edición ampliada 1919.
6. Pauli, Wolfgang (1921), "Die Relativitätstheorie", Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776
   En inglés: Pauli, W. (1981) [1921]. Teoría de la relatividad . vol. 165. Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-64152-X. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
7. Galeriu, C. (2017) [2015]. "Carga eléctrica en movimiento hiperbólico: la historia temprana". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 71 (4): 1–16. arXiv : 1509.02504 . doi :10.1007/s00407-017-0191-x. S2CID  118510589.
8. Gourgoulhon, E. (2013). Relatividad especial en marcos generales: de las partículas a la astrofísica . Saltador. pag. 396.ISBN​ 978-3642372766.
9. Moller, C. (1955). La teoría de la relatividad. Prensa de Oxford Clarendon. págs. 74–75.
10. Rindler, W. (1977). Relatividad esencial . Saltador. págs. 49–50. ISBN 354007970X.
11. PhysicsFAQ (2016), "Cohete relativista", ver enlaces externos
12. Galán, J. (2012). Hacer física con un cuaderno científico: un enfoque de resolución de problemas . John Wiley e hijos. págs. 437–441. ISBN 978-0470665978.
13. Müller, T., King, A. y Adis, D. (2006). "Un viaje al fin del universo y la "paradoja" de los gemelos". Revista Estadounidense de Física . 76 (4): 360–373. arXiv : física/0612126 . Bibcode : 2008AmJPh..76..360M. doi : 10.1119/1.2830528. S2CID  42983285.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
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15. Pauli (1921), pág. 628, usó la notación donde ${\displaystyle x^{4}=a\operatorname {ch} {\frac {ct}{a}}}$ ${\displaystyle a={\frac {c^{2}}{b}}}$
16. Sommerfeld (1910), págs. 670-671 utilizó la forma y con el ángulo imaginario y el tiempo imaginario . ${\displaystyle x=r\cos(\varphi )}$ ${\displaystyle l=r\sin(\varphi )}$ ${\displaystyle i\psi }$ ${\displaystyle l=ict}$
17. Bondi, H. y Gold, T. (1955). "El campo de una carga uniformemente acelerada, con especial referencia al problema de la aceleración gravitacional". Actas de la Royal Society de Londres . 229 (1178): 416–424. Código bibliográfico : 1955RSPSA.229..416B. doi :10.1098/rspa.1955.0098. S2CID  121563673.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
18. Fulton, Thomas; Rohrlich, Fritz (1960). "Radiación clásica de una carga uniformemente acelerada". Anales de Física . 9 (4): 499–517. Código bibliográfico : 1960AnPhy...9..499F. doi :10.1016/0003-4916(60)90105-6.
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22. Galeriu, Cǎlin (2019) "Carga eléctrica en movimiento hiperbólico: la solución conforme especial", European Journal of Physics 40(6) doi :10.1088/1361-6404/ab3df6
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Referencias

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• Leigh Page y Norman I. Adams (marzo de 1936). "Una Nueva Relatividad. Artículo II. Transformación del campo electromagnético entre sistemas acelerados y la ecuación de fuerza". Revisión física . 49 (6): 466–469. Código bibliográfico : 1936PhRv...49..466P. doi : 10.1103/PhysRev.49.466.
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip. S. ; Wheeler, John A. (1973), Gravitación , WH Freeman, Capítulo 6, ISBN 0-7167-0344-0
• Rindler Wolfgang (1960). "Movimiento hiperbólico en el espacio-tiempo curvo". Revisión física . 119 (6): 2082–2089. Código bibliográfico : 1960PhRv..119.2082R. doi : 10.1103/PhysRev.119.2082.
• Ludwik Silberstein (1914): La teoría de la relatividad , página 190.
• Naber, Gregory L., The Geometry of Minkowski Spacetime , Springer-Verlag, Nueva York, 1992. ISBN 0-387-97848-8 (tapa dura), ISBN 0-486-43235-1 (edición de bolsillo de Dover). págs. 58–60.  

enlaces externos

• Preguntas frecuentes sobre física: el cohete relativista
• Mathpages: Viajes acelerados, ¿irradia una carga que se acelera uniformemente?