Pirámide cuadrada

Pirámide con base cuadrada.

En geometría , una pirámide cuadrada es una pirámide de base cuadrada, teniendo un total de cinco caras. Si el vértice de la pirámide está directamente encima del centro del cuadrado, se trata de una pirámide cuadrada recta con cuatro triángulos isósceles ; en caso contrario, se trata de una pirámide cuadrada oblicua . Cuando todas las aristas de la pirámide tienen la misma longitud, sus triángulos son todos equiláteros . Se llama pirámide cuadrada equilátera , ejemplo de sólido de Johnson .

Las pirámides cuadradas han aparecido a lo largo de la historia de la arquitectura, siendo ejemplos las pirámides egipcias y muchos otros edificios similares. También se encuentran en química en estructuras moleculares piramidales cuadradas . Las pirámides cuadradas se utilizan a menudo en la construcción de otros poliedros . Muchos matemáticos en la antigüedad descubrieron la fórmula para el volumen de una pirámide cuadrada con diferentes enfoques.

Casos especiales

Pirámide cuadrada derecha

Una pirámide cuadrada tiene cinco vértices, ocho aristas y cinco caras. Una cara, llamada base de la pirámide, es un cuadrado ; las otras cuatro caras son triángulos . ^[2] Cuatro de las aristas forman el cuadrado conectando sus cuatro vértices. Las otras cuatro aristas se conocen como aristas laterales de la pirámide; se encuentran en el quinto vértice, llamado ápice . ^[3] Si el vértice de la pirámide se encuentra en una línea erigida perpendicularmente desde el centro del cuadrado, se llama pirámide cuadrada recta , y las cuatro caras triangulares son triángulos isósceles . En caso contrario, la pirámide tiene dos o más caras triangulares no isósceles y se denomina pirámide cuadrada oblicua . ^[4]

La altura inclinada de una pirámide cuadrada recta se define como la altura de uno de sus triángulos isósceles. Se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras : donde es la longitud de la base del triángulo, también una de las aristas del cuadrado, y es la longitud de los catetos del triángulo, que son las aristas laterales de la pirámide. ^[5] La altura de una pirámide cuadrada recta se puede obtener de manera similar, sustituyendo la fórmula de la altura inclinada dando: ^[6] El área de superficie de un poliedro es la suma de las áreas de sus caras. El área de la superficie de una pirámide cuadrada recta se puede expresar como , donde y son las áreas de uno de sus triángulos y su base, respectivamente. El área de un triángulo es la mitad del producto de su base y su lado, siendo el área de un cuadrado la longitud del lado al cuadrado. Esto da la expresión: ^[7] En general, el volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de su base multiplicada por su altura. ^[8] Expresado en una fórmula para una pirámide cuadrada, esto es: ^[9] ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle s={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},}$$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle h={\sqrt {s^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=4T+S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle A=4\left({\frac {1}{2}}ls\right)+l^{2}=2ls+l^{2}.}$$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}l^{2}h.}$$

Muchos matemáticos descubrieron la fórmula para calcular el volumen de una pirámide cuadrada en la antigüedad. En el Papiro Matemático de Moscú , los matemáticos egipcios demostraron conocimiento de la fórmula para calcular el volumen de una pirámide cuadrada truncada , lo que sugiere que también estaban familiarizados con el volumen de una pirámide cuadrada, pero se desconoce cómo se derivó la fórmula. Más allá del descubrimiento del volumen de una pirámide cuadrada, el problema de encontrar la pendiente y la altura de una pirámide cuadrada se puede encontrar en el Papiro Matemático de Rhind . ^[10] Los matemáticos babilónicos también consideraron el volumen de un tronco, pero le dieron una fórmula incorrecta. ^[11] Un matemático chino Liu Hui también descubrió el volumen mediante el método de diseccionar un sólido rectangular en pedazos. ^[12]

Pirámide cuadrada equilátera

Modelo 3D de una pirámide cuadrada equilátera.

Si todas las aristas triangulares tienen la misma longitud, los cuatro triángulos son equiláteros y las caras de la pirámide son todas polígonos regulares , es una pirámide cuadrada equilátera. ^[13] Los ángulos diédricos entre caras triangulares adyacentes son , y el entre la base y cada cara triangular es la mitad de eso, . ^[1] Un poliedro convexo en el que todas las caras son polígonos regulares se llama sólido de Johnson . Entre ellas se encuentra la pirámide cuadrada equilátera, enumerada como el primer sólido de Johnson . ^[14] ${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.47^{\circ }}$ ${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$ ${\displaystyle J_{1}}$

Debido a que todas sus aristas tienen la misma longitud (es decir, ), su inclinación, altura, área de superficie y volumen se pueden derivar sustituyendo las fórmulas de una pirámide cuadrada recta: ^[15] ${\displaystyle b=l}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}s={\frac {\sqrt {3}}{2}}l\approx 0.866l,&\qquad h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l\approx 0.707l,\\A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}\approx 2.732l^{2},&\qquad V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}\approx 0.236l^{3}.\end{aligned}}}$$

Al igual que otras pirámides rectas con un polígono regular como base, una pirámide cuadrada recta tiene simetría piramidal . Para la pirámide cuadrada, esta es la simetría del grupo cíclico : la pirámide se deja invariante mediante rotaciones de uno, dos y tres cuartos de vuelta completa alrededor de su eje de simetría , la línea que conecta el vértice con el centro de la base; y también es simétrica especular con respecto a cualquier plano perpendicular que pase por una bisectriz de la base. ^[1] Se puede representar como el gráfico de rueda ; De manera más general, un gráfico de rueda es la representación del esqueleto de una pirámide de un lado . ^[16] Es auto-dual , lo que significa que su poliedro dual es la propia pirámide cuadrada. ^[17] ${\displaystyle C_{4\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle W_{4}}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Una pirámide cuadrada equilátera es un poliedro elemental . Esto significa que no se puede separar por un plano para crear dos pequeños poliedros convexos con caras regulares. ^[18]

Aplicaciones

En arquitectura, las pirámides construidas en el antiguo Egipto son ejemplos de edificios con forma de pirámides cuadradas. ^[19] Los piramidales han presentado varias sugerencias para el diseño de la Gran Pirámide de Giza , incluida una teoría basada en el triángulo de Kepler y la proporción áurea . Sin embargo, los eruditos modernos prefieren las descripciones que utilizan proporciones enteras, por ser más consistentes con el conocimiento de las matemáticas y las proporciones egipcias. ^[20] Las pirámides mesoamericanas son también antiguos edificios piramidales similares a las egipcias; se diferencian por tener cimas planas y escaleras que suben por sus caras. ^[21] Los edificios modernos cuyos diseños imitan las pirámides egipcias incluyen la Pirámide del Louvre y el hotel casino Luxor Las Vegas . ^[22]

En estereoquímica , un grupo de átomos puede tener una geometría piramidal cuadrada . Una molécula piramidal cuadrada tiene un elemento del grupo principal con un par solitario activo , que puede describirse mediante un modelo que predice la geometría de las moléculas conocido como teoría VSEPR . ^[23] Ejemplos de moléculas con esta estructura incluyen pentafluoruro de cloro , pentafluoruro de bromo y pentafluoruro de yodo . ^[24]

Tetrakis hexahedra , una construcción de poliedros mediante aumento que involucra pirámides cuadradas

La base de una pirámide cuadrada se puede unir a una cara cuadrada de otro poliedro para construir nuevos poliedros, un ejemplo de aumento . Por ejemplo, se puede construir un hexaedro tetrakis uniendo la base de una pirámide cuadrada equilátera a cada cara de un cubo. ^[25] Adjuntar prismas o antiprismas a las pirámides se conoce como alargamiento o giroelongación , respectivamente. ^[26] Algunos de los otros sólidos de Johnson se pueden construir aumentando pirámides cuadradas o aumentando otras formas con pirámides cuadradas: pirámide cuadrada alargada , pirámide cuadrada giroelongada , bipirámide cuadrada alargada , bipirámide cuadrada giroelongada , prisma triangular aumentado , prisma triangular biaumentado , triaumentado prisma triangular , prisma pentagonal aumentado , prisma pentagonal biaumentado , prisma hexagonal aumentado , prisma hexagonal parabiaumentado , prisma hexagonal metabiaumentado , prisma hexagonal triaumentado y esfenocorona aumentada . ^[27] ${\displaystyle J_{8}}$ ${\displaystyle J_{10}}$ ${\displaystyle J_{15}}$ ${\displaystyle J_{17}}$ ${\displaystyle J_{49}}$ ${\displaystyle J_{50}}$ ${\displaystyle J_{51}}$ ${\displaystyle J_{52}}$ ${\displaystyle J_{53}}$ ${\displaystyle J_{54}}$ ${\displaystyle J_{55}}$ ${\displaystyle J_{56}}$ ${\displaystyle J_{57}}$ ${\displaystyle J_{87}}$

Ver también

• Número piramidal cuadrado , un número natural que cuenta el número de esferas apiladas en una pirámide cuadrada.

Notas

1. Johnson (1966).
2. Clissold (2020), pág. 180.
3. O'Keeffe y Hyde (2020), pág. 141; Smith (2000), pág. 98.
4. Freitag (2014), pág. 598.
5. Larcombe (1929), pág. 177; Perry y Perry (1981), págs. 145-146.
6. Larcombe (1929), pág. 177.
7. Freitag (2014), pág. 798.
8. Alejandro y Koeberlin (2014), pág. 403.
9. Larcombe (1929), pág. 178.
10. Cromwell (1997), págs. 20-22.
11. Evas (1997), pág. 2.
12. Wagner (1979).
13. Hocevar (1903), pág. 44.
14. Uehara (2020), pág. 62.
15. Simonson (2011), pág. 123; Berman (1971), véase el cuadro IV, línea 21.
16. Pisanski y Servatius (2013), pág. 21.
17. Wohlleben (2019), pág. 485–486.
18. Hartshorne (2000), pág. 464; Johnson (1966).
19. Kinsey, Moore y Prassidis (2011), pág. 371.
20. Herz-Fischler (2000) analiza muchas teorías alternativas sobre la forma de esta pirámide. Consulte el Capítulo 11, "Teoría del triángulo de Kepler", págs. 80 a 91, para obtener material específico del triángulo de Kepler, y pág. 166 para la conclusión de que la teoría del triángulo de Kepler puede eliminarse mediante el principio de que "una teoría debe corresponder a un nivel de matemáticas consistente con lo que conocían los antiguos egipcios". Véase nota 3, pág. 229, para la historia del trabajo de Kepler con este triángulo. Véase Rossi (2004), págs. 67-68, citando que "no hay evidencia directa en ninguna fuente matemática escrita del antiguo Egipto de ningún cálculo aritmético o construcción geométrica que pueda clasificarse como la Sección Áurea... convergencia hacia y a sí misma ". como número, no encaja con las fuentes matemáticas existentes del Reino Medio"; véase también una extensa discusión sobre múltiples teorías alternativas sobre la forma de la pirámide y otras arquitecturas egipcias, págs. 7-56. Véase también Rossi y Tout (2002) y Markowsky (1992). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$
21. Feder (2010), pág. 34; Takacs y Cline (2015), pág. dieciséis.
22. Jarvis y Naested (2012), pág. 172; Simonson (2011), pág. 122.
23. Petrucci, Harwood y Herring (2002), pág. 414.
24. Emeléus (1969), pág. 13.
25. Demey y Smessaert (2017).
26. Slobodan, Obradović y Ðukanović (2015).
27. Rajwade (2001), págs. 84–89. Consulte la Tabla 12.3, donde denota el prisma de lados y el antiprisma de lados . ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Referencias

• Alejandro, Daniel C.; Koeberlin, Geralyn M. (2014). Geometría elemental para estudiantes universitarios (6ª ed.). Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1-285-19569-8.
• Berman, Martín (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. SEÑOR  0290245.
• Clissold, Caroline (2020). Matemáticas 5 a 11: una guía para profesores. Taylor y Francisco. ISBN 978-0-429-26907-3.
• Cromwell, Peter R. (1997). Poliedros. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-55432-9.
• Demey, Lorenz; Smessaert, Hans (2017). "Distancia lógica y geométrica en diagramas aristotélicos poliédricos en la representación del conocimiento". Simetría . 9 (10): 204. Bibcode : 2017Symm....9..204D. doi : 10.3390/sym9100204 .
• Emeléus, HJ (1969). La química del flúor y sus compuestos. Prensa académica. ISBN 978-1-4832-7304-4.
• Evas, Howard (1997). Fundamentos y conceptos fundamentales de las matemáticas (3ª ed.). Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-69609-6.
• Feder, Kenneth L. (2010). Enciclopedia de arqueología dudosa: de la Atlántida a Walam Olum: de la Atlántida a Walam Olum. ABC-CLIO. ISBN 978-0-313-37919-2.
• Freitag, Mark A. (2014). Matemáticas para profesores de escuela primaria: un enfoque de proceso. Brooks/Cole. ISBN 978-0-618-61008-2.
• Hartshorne, Robin (2000). Geometría: Euclides y más allá. Textos de Pregrado en Matemáticas. Springer-Verlag. ISBN 9780387986500.
• Herz-Fischler, Roger (2000). La forma de la gran pirámide . Prensa de la Universidad Wilfrid Laurier. ISBN 0-88920-324-5.
• Hocevar, Franx (1903). Geometria solida. A. y C. Negro .
• Jarvis, Daniel; Naested, Irene (2012). Explorando la conexión entre las matemáticas y el arte: enseñar y aprender entre líneas . Educación con pincel. ISBN 978-1-55059-398-3.
• Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169-200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . SEÑOR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
• Kinsey, L. Christine ; Moore, Teresa E.; Prassidis, Efstratios (2011). Geometría y Simetría. John Wiley e hijos . ISBN 978-0-470-49949-8.
• Larcombe, HJ (1929). Matemáticas intermedias de Cambridge: Geometría Parte II. Prensa de la Universidad de Cambridge.
• Markowsky, George (1992). "Conceptos erróneos sobre la proporción áurea" (PDF) . La revista universitaria de matemáticas . 23 (1). Asociación Matemática de América: 2–19. doi :10.2307/2686193. JSTOR  2686193 . Consultado el 29 de junio de 2012 .
• O'Keeffe, Michael; Hyde, Bruce G. (2020). Estructuras cristalinas: patrones y simetría. Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-83654-6.
• Perry, OW; Perry, J. (1981). Matemáticas. Saltador. doi :10.1007/978-1-349-05230-1. ISBN 978-1-349-05230-1.
• Petrucci, Ralph H.; Harwood, William S.; Arenque, F. Geoffrey (2002). Química general: principios y aplicaciones modernas. vol. 1. Prentice Hall . ISBN 978-0-13-014329-7.
• Pisanski, Tomaž; Servacio, Brigitte (2013). Configuración desde un punto de vista gráfico. Saltador. doi :10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
• Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y tercer problema de Hilbert. Textos y Lecturas en Matemáticas. Agencia de libros Hindustan. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
• Rossi, Corinna (2004). Arquitectura y Matemáticas en el Antiguo Egipto. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 67–68.
• Rossi, Corinna; Todo, Christopher A. (2002). "¿Se conocían la serie de Fibonacci y la Sección Áurea en el antiguo Egipto?". Historia Matemática . 29 (2): 101-113. doi :10.1006/hmat.2001.2334. hdl : 11311/997099 .
• Simonson, Shai (2011). Redescubriendo las matemáticas: tú haces las matemáticas. Asociación Matemática de América . ISBN 978-0-88385-912-4.
• Slobodan, Mišić; Obradovic, Marija; Ðukanović, Gordana (2015). "Cúpulas cóncavas compuestas como formas geométricas y arquitectónicas" (PDF) . Revista de Geometría y Gráfica . 19 (1): 79–91.
• Smith, James T. (2000). Métodos de geometría. John Wiley e hijos. ISBN 0-471-25183-6.
• Takacs, Sarolta Anna; Cline, Eric H. (2015). El mundo antiguo. Rutledge. pag. 16.ISBN​ 978-1-317-45839-5.
• Uehara, Ryuhei (2020). Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional. Saltador. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
• Wagner, Donald Blackmore (1979). "Una derivación china temprana del volumen de una pirámide: Liu Hui, siglo III d.C.". Historia Matemática . 6 (2): 164–188. doi :10.1016/0315-0860(79)90076-4.
• Wohlleben, Eva (2019). "Dualidad en cuerpos no poliédricos Parte I: Polyliner". En Cocchiarella, Luigi (ed.). ICGG 2018 – Actas de la 18.ª Conferencia Internacional sobre Geometría y Gráficos: 40.º Aniversario – Milán, Italia, 3 al 7 de agosto de 2018. Conferencia Internacional sobre Geometría y Gráficos. Saltador. doi :10.1007/978-3-319-95588-9. ISBN 978-3-319-95588-9.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Pirámide cuadrada" ("Sólido de Johnson") en MathWorld .
• Pirámide cuadrada – Modelo poliedro interactivo
• Realidad virtual Polyhedra georgehart.com: La enciclopedia de los poliedros ( modelo VRML )