hexaedro tetrakis

Sólido catalán de 24 caras

Compuesto dual de octaedro truncado y tetrakis hexaedro. El grabado en madera de la izquierda pertenece a Perspectiva Corporum Regularium (1568) de Wenzel Jamnitzer .

Modelo de troquel y cristal.

Dibujo y modelo cristalino de una variante con simetría tetraédrica llamada tetraedro hexakis ^[1]

En geometría , un tetrakis hexaedro (también conocido como tetrahexaedro , hextetraedro , cubo tetrakis y kiscube ^[2] ) es un sólido catalán . Su dual es el octaedro truncado , un sólido de Arquímedes .

Se le puede llamar hexaedro disdyakis o tetraedro hexakis como el dual de un tetraedro omnitruncado y como la subdivisión baricéntrica de un tetraedro. ^[3]

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas de los 14 vértices de un hexaedro tetrakis centrado en el origen, son los puntos

$${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {3}{2}}},0,0{\bigr )},\ {\bigl (}0,\pm {\tfrac {3}{2}},0{\bigr )},\ {\bigl (}0,0,\pm {\tfrac {3}{2}}{\bigr )},\ {\bigl (}{\pm 1},\pm 1,\pm 1{\bigr )}.}$$

La longitud de las aristas más cortas de este hexaedro tetrakis es igual a 3/2 y la de las aristas más largas es igual a 2. Las caras son triángulos isósceles agudos. El ángulo mayor de estos es igual y los dos menores son iguales . ${\displaystyle \arccos {\tfrac {1}{9}}\approx 83.62^{\circ }}$ ${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.19^{\circ }}$

Proyecciones ortogonales

El tetrakis hexaedro , dual del octaedro truncado tiene 3 posiciones de simetría, dos situadas en los vértices y una en el borde medio.

Usos

Se observan formaciones naturales ( cristalinas ) de tetrahexaedros en sistemas de cobre y fluorita .

Los jugadores utilizan ocasionalmente dados poliédricos con forma de hexaedro tetrakis .

Una proyección de 24 celdas vista bajo una proyección en perspectiva de primer vértice tiene una topología de superficie de un hexaedro tetrakis y las proporciones geométricas del dodecaedro rómbico , con las caras rómbicas divididas en dos triángulos.

El hexaedro tetrakis aparece como uno de los ejemplos más simples en la teoría de la construcción . Considere el espacio simétrico de Riemann asociado al grupo SL ₄ ( R ) . Su límite de Tetas tiene la estructura de un edificio esférico cuyos apartamentos son esferas bidimensionales. La partición de esta esfera en simples esféricos (cámaras) se puede obtener tomando la proyección radial de un hexaedro tetrakis.

Simetría

Con simetría tetraédrica T _d , [3,3] (*332) , las caras triangulares representan los 24 dominios fundamentales de la simetría tetraédrica. Este poliedro se puede construir a partir de 6 grandes círculos en una esfera. También se puede ver por un cubo con sus caras cuadradas trianguladas por sus vértices y centros de caras y un tetraedro con sus caras divididas por vértices, aristas medias y un punto central.

Los bordes del hexaedro tetrakis esférico pertenecen a seis grandes círculos, que corresponden a planos especulares en simetría tetraédrica . Se pueden agrupar en tres pares de círculos ortogonales (que normalmente se cruzan en un eje de coordenadas cada uno). En las imágenes siguientes, estos hosoedros cuadrados están coloreados en rojo, verde y azul.

Dimensiones

Si denotamos la longitud del borde del cubo base por a , la altura de cada cima de la pirámide sobre el cubo es. La inclinación de cada cara triangular de la pirámide versus la cara del cubo es (secuencia A073000 en la OEIS ). Un borde de los triángulos isósceles tiene una longitud a , los otros dos tienen una longitud que se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras a la altura y la longitud de la base. Esto produce una altitud de en el triángulo ( OEIS : A204188 ). Su área es y los ángulos internos son y el complementario. ${\displaystyle {\tfrac {a}{4}}.}$ ${\displaystyle \arctan {\tfrac {1}{2}}\approx 26.565^{\circ }}$ ${\displaystyle {\tfrac {3a}{4}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}a^{2}}{8}},}$ ${\displaystyle \arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 48.1897^{\circ }}$ ${\displaystyle 180^{\circ }-2\arccos {\tfrac {2}{3}}\approx 83.6206^{\circ }.}$

El volumen de la pirámide es entonces el volumen total de las seis pirámides y el cubo en el hexaedro es ${\displaystyle {\tfrac {a^{3}}{12}};}$ ${\displaystyle {\tfrac {3a^{3}}{2}}.}$

Kleetopé

Hexaedro tetrakis no convexo con caras de triángulos equiláteros

Puede verse como un cubo con pirámides cuadradas que cubren cada cara cuadrada; es decir, es el Kleetope del cubo. Una forma no convexa de esta figura, con caras de triángulos equiláteros , tiene la misma geometría de superficie que el octaedro regular , y un modelo de octaedro de papel se puede volver a doblar para darle esta forma. ^[4] Esta forma del hexaedro tetrakis fue ilustrada por Leonardo da Vinci en Divina proporcionale (1509) de Luca Pacioli . ^[5]

Esta forma no convexa del hexaedro tetrakis se puede plegar a lo largo de las caras cuadradas del cubo interior como una red para una pirámide cúbica de cuatro dimensiones .

Poliedros y mosaicos relacionados

Es un poliedro en una secuencia definida por la configuración de caras V4.6.2 n . Este grupo es especial por tener un número par de aristas por vértice y formar planos de bisección a través de los poliedros y líneas infinitas en el plano, y continuar hacia el plano hiperbólico para cualquier n  ≥ 7.

Con un número par de caras en cada vértice, estos poliedros y mosaicos se pueden mostrar alternando dos colores para que todas las caras adyacentes tengan colores diferentes.

Cada cara en estos dominios también corresponde al dominio fundamental de un grupo de simetría con orden 2,3, n espejos en cada vértice de la cara del triángulo.

Ver también

• Triacontaedro de Disdyakis
• Dodecaedro de Disdyakis
• mosaico de kisrombille
• Compuesto de tres octaedros.
• Icositetraedro deltoidal , otro sólido catalán de 24 caras.

Referencias

1. Hexakistetraeder en alemán, consulte, por ejemplo, la página de Meyers y la página de Brockhaus . El mismo dibujo aparece en Brockhaus y Efron como преломленный пирамидальный тетраэдр ( tetraedro piramidal refractado ).
2. Conway, Simetrías de las cosas , p.284
3. Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010), "Reflexiones sobre la lemniscata de Bernoulli: las cuarenta y ocho caras de una joya matemática", Milan Journal of Mathematics , 78 (2): 643–682, doi :10.1007/s00032-010- 0124-5, SEÑOR  2781856
4. Rus, Jacob (2017), "Flowsnake Earth", en Swart, David; Séquin, Carlo H.; Fenyvesi, Kristóf (eds.), Actas de Bridges 2017: Matemáticas, Arte, Música, Arquitectura, Educación, Cultura , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, págs. 237–244, ISBN 978-1-938664-22-9
5. Pacioli, Luca (1509), "Láminas 11 y 12", Divina proporcionale

• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Sección 3-9)
• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, señor  0730208(Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 14, Tetrakishexahedron)
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y mosaicos de Arquímedes y Catalanes, página 284, Hexaedro de Tetrakis ) 

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Tetrakis hexahedron" ("sólido catalán") en MathWorld .
• Poliedros de realidad virtual www.georgehart.com: La enciclopedia de los poliedros
  • modelo VRML
  • Notación de Conway para poliedros Pruebe: "dtO" o "kC"
• Tetrakis Hexahedron – Modelo interactivo de poliedro
• Los poliedros uniformes