Prisma triangular triaumentado

Poliedro convexo con 14 caras triangulares.

El prisma triangular triaumentado , en geometría, es un poliedro convexo que tiene como caras 14 triángulos equiláteros . Se puede construir a partir de un prisma triangular uniendo pirámides cuadradas equiláteras a cada una de sus tres caras cuadradas. La misma forma también se llama prisma triangular tetrakis , ^[1] prisma trigonal tricapeado , ^[2] tetracaidecadeltaedro , ^{[3] [4]} o tetracaidecadeltahedro ; ^[1] estos apellidos significan un poliedro con 14 caras triangulares. Es un ejemplo de deltaedro y de sólido de Johnson .

Las aristas y vértices del prisma triangular triaumentado forman un gráfico plano máximo con 9 vértices y 21 aristas, llamado gráfico de Fritsch . Fue utilizado por Rudolf y Gerda Fritsch para demostrar que el intento de Alfred Kempe de demostrar el teorema de los cuatro colores era incorrecto. El gráfico de Fritsch es uno de los seis gráficos en los que cada vecindad es un ciclo de 4 o 5 vértices.

El poliedro dual del prisma triangular triaumentado es un asociaedro , un poliedro con cuatro caras cuadriláteras y seis pentágonos cuyos vértices representan las 14 triangulaciones de un hexágono regular . De la misma forma, los nueve vértices del prisma triangular triaumentado representan las nueve diagonales de un hexágono, con dos vértices conectados por una arista cuando las dos diagonales correspondientes no se cruzan. Otras aplicaciones del prisma triangular triaumentado aparecen en química como base para la geometría molecular prismática trigonal tricaped , y en optimización matemática como solución al problema de Thomson y al problema de Tammes .

Construcción

Modelo 3D del prisma triangular triaumentado

El prisma triangular triaumentado se puede construir uniendo pirámides cuadradas equiláteras a cada una de las tres caras cuadradas de un prisma triangular , un proceso llamado aumento . ^[5] Estas pirámides cubren cada cuadrado, reemplazándolo por cuatro triángulos equiláteros , de modo que el poliedro resultante tiene 14 triángulos equiláteros como caras. Un poliedro que tiene únicamente triángulos equiláteros como caras se llama deltaedro . Sólo hay ocho deltaedros convexos diferentes , uno de los cuales es el prisma triangular triaumentado. ^{[6] [7]} De manera más general, los poliedros convexos en los que todas las caras son polígonos regulares se denominan sólidos de Johnson , y cada deltaedro convexo es un sólido de Johnson. El prisma triangular triaumentado está numerado entre los sólidos de Johnson como . ^[8] ${\displaystyle J_{51}}$

Un posible sistema de coordenadas cartesianas para los vértices de un prisma triangular triaumentado, que le da una longitud de arista de 2, es: ^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(0,{\frac {2}{\sqrt {3}}},\pm 1\right),\qquad &\left(\pm 1,-{\frac {1}{\sqrt {3}}},\pm 1\right),\\\left(0,-{\frac {1+{\sqrt {6}}}{\sqrt {3}}},0\right),\qquad &\left(\pm {\frac {1+{\sqrt {6}}}{2}},{\frac {1+{\sqrt {6}}}{2{\sqrt {3}}}},0\right).\\\end{aligned}}}$$

Propiedades

Un prisma triangular triaumentado con longitud de borde tiene área de superficie ^[9] ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\frac {7{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\approx 6.062a^{2},}$$

^[9]

$${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{4}}a^{3}\approx 1.140a^{3},}$$

^[9]

Tiene el mismo grupo de simetría tridimensional que el prisma triangular, el grupo diédrico de orden doce. Sus ángulos diédricos se pueden calcular sumando los ángulos de las pirámides y el prisma que lo componen. El prisma en sí tiene ángulos diédricos de triángulo cuadrado y ángulos de cuadrado-cuadrado . Los ángulos triángulo-triángulo de la pirámide son los mismos que en el octaedro regular , y los ángulos del triángulo cuadrado son la mitad. Por lo tanto, para el prisma triangular triaumentado, los ángulos diédricos incidentes en los vértices de grado cuatro, en las aristas de los triángulos del prisma y en las aristas del prisma de cuadrado a cuadrado son, respectivamente, ^[10] ${\displaystyle D_{3\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \pi /3}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 109.5^{\circ },\\{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2}}\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 144.7^{\circ },\\{\frac {\pi }{3}}+\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 169.5^{\circ }.\\\end{aligned}}}$$

gráfico de fritsch

El gráfico de Fritsch y su mapa dual. Para la coloración parcial de 4 colores que se muestra, las cadenas de Kempe rojo-verde y azul-verde se cruzan. No es posible liberar un color para la región central no coloreada intercambiando colores en una sola cadena, lo que contradice la falsa prueba de Alfred Kempe del teorema de los cuatro colores.

La gráfica del prisma triangular triaumentado tiene 9 vértices y 21 aristas. Fue utilizado por Fritsch y Fritsch (1998) como un pequeño contraejemplo de la falsa demostración del teorema de los cuatro colores de Alfred Kempe utilizando cadenas de Kempe , y su mapa dual se utilizó como ilustración de la portada de su libro. ^[11] Por lo tanto, este gráfico ha sido denominado posteriormente gráfico de Fritsch . ^[12] Un contraejemplo aún más pequeño, llamado gráfico de Soifer, se obtiene eliminando un borde del gráfico de Fritsch (el borde inferior en la ilustración aquí). ^{[12] [13]}

El gráfico de Fritsch es uno de los seis gráficos conectados en los que la vecindad de cada vértice es un ciclo de longitud cuatro o cinco. De manera más general, cuando cada vértice de un gráfico tiene un ciclo de longitud al menos cuatro como vecindad, los triángulos del gráfico se vinculan automáticamente para formar una superficie topológica llamada triangulación de Whitney . Estas seis gráficas provienen de las seis triangulaciones de Whitney que, cuando sus triángulos son equiláteros, tienen defecto angular positivo en cada vértice. Esto los convierte en un análogo combinatorio de las superficies lisas curvadas positivamente. Provienen de seis de los ocho deltaedros, excluyendo los dos que tienen un vértice con una vecindad triangular. Además del gráfico de Fritsch, los otros cinco son los gráficos del octaedro regular , el icosaedro regular , la bipirámide pentagonal , el disfenoide chato y la bipirámide cuadrada giroelongada . ^[14]

asociaedro dual

Poliedro dual del prisma triangular triaumentado

El poliedro dual del prisma triangular triaumentado tiene una cara para cada vértice del prisma triangular triaumentado y un vértice para cada cara. Es un eneaedro (es decir, un poliedro de nueve lados) ^{[15] que puede realizarse con tres caras} cuadradas no adyacentes , y seis caras más que sean pentágonos irregulares congruentes . ^{[16] También se le conoce como} asociaedro de orden 5 , un poliedro cuyos vértices representan las 14 triangulaciones de un hexágono regular . ^[15] Una forma menos simétrica de este poliedro dual, obtenida cortando un octaedro truncado en cuatro cuartos congruentes por dos planos que bisecan perpendicularmente dos familias paralelas de sus aristas, es un poliedro que llena el espacio . ^[17]

De manera más general, cuando un politopo es el dual de un asociaedro, su límite (un complejo simplicial de triángulos, tetraedros o símplices de dimensiones superiores) se denomina "complejo de racimos". En el caso del prisma triangular triaumentado, se trata de un complejo de racimos de tipo , asociado al diagrama de Dynkin. ${\displaystyle A_{3}}$ ${\displaystyle A_{3}}$ , el sistema raíz y el álgebra de clusters . ^[18] La conexión con el asociaedro proporciona una correspondencia entre los nueve vértices del prisma triangular triaumentado y las nueve diagonales de un hexágono. Los bordes del prisma triangular triaumentado corresponden a pares de diagonales que no se cruzan, y las caras triangulares del prisma triangular triaumentado corresponden a las triangulaciones del hexágono (que consta de tres diagonales que no se cruzan). Las triangulaciones de otros polígonos regulares corresponden de la misma manera a politopos, con dimensión igual al número de lados del polígono menos tres. ^[15] ${\displaystyle A_{3}}$ ${\displaystyle A_{3}}$

Aplicaciones

En la geometría de los compuestos químicos , es común visualizar un grupo de átomos que rodea a un átomo central como un poliedro: la cáscara convexa de las ubicaciones de los átomos circundantes. La geometría molecular prismática trigonal tricaped describe grupos para los cuales este poliedro es un prisma triangular triaumentado, aunque no necesariamente uno con caras de triángulos equiláteros. ^[2] Por ejemplo, los lantánidos, desde el lantano hasta el disprosio, se disuelven en agua para formar cationes rodeados por nueve moléculas de agua dispuestas como un prisma triangular triaumentado. ^[19]

En el problema de Thomson , relativo a la configuración de energía mínima de partículas cargadas en una esfera, y para el problema de Tammes de construir un código esférico que maximiza la distancia más pequeña entre los puntos, la solución mínima conocida para coloca los puntos en los vértices de una esfera triaumentada. Prisma triangular de caras no equiláteras, inscrita en una esfera . Esta configuración ha demostrado ser óptima para el problema de Tammes, pero no se conoce una solución rigurosa para este caso del problema de Thomson. ^[20] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=9}$

Ver también

• Poliedro de Császár  - Poliedro toroidal con 14 caras triangulares
• Poliedro de Steffen  : poliedro flexible con 14 caras triangulares

Referencias

1. Sloane, Nueva Jersey ; Hardin, RH; Duff, TDS; Conway, JH (1995), "Clústeres de esferas duras de energía mínima", Geometría computacional y discreta , 14 (3): 237–259, doi : 10.1007/BF02570704 , MR  1344734, S2CID  26955765
2. Kepert, David L. (1982), "Polyhedra", Conceptos de química inorgánica , vol. 6, Springer, págs. 7–21, doi :10.1007/978-3-642-68046-5_2, ISBN 978-3-642-68048-9
3. Burgiel, Heidi (2015), "Unidad de origami: construcción de estrellas en deltaedros", en Delp, Kelly; Kaplan, Craig S.; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza (eds.), Actas de Bridges 2015: Matemáticas, Música, Arte, Arquitectura, Cultura , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, págs. 585–588, ISBN 978-1-938664-15-1
4. Pugh, Anthony (1976), Poliedros: un enfoque visual , University of California Press, p. 31, ISBN 9780520030565; ver tabla, línea 35
5. Trigg, Charles W. (1978), "Una clase infinita de deltaedros", Mathematics Magazine , 51 (1): 55–57, doi :10.1080/0025570X.1978.11976675, JSTOR  2689647, MR  1572246
6. Freudenthal, H .; van der Waerden, BL (1947), "Sobre una afirmación de Euclides", Simon Stevin , 25 : 115–121, SEÑOR  0021687
7. Cundy, H. Martyn (diciembre de 1952), "Deltahedra", The Mathematical Gazette , 36 (318): 263–266, doi :10.2307/3608204, JSTOR  3608204, MR  0051525, S2CID  250435684
8. Francis, Darryl (agosto de 2013), "Sólidos de Johnson y sus siglas", Word Ways , 46 (3): 177
9. Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245; ver Tabla IV, línea 71, pág. 338
10. Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/CJM-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114; ver Tabla III, línea 51
11. Fritsch, Rudolf; Fritsch, Gerda (1998), El teorema de los cuatro colores: historia, fundamentos topológicos e idea de prueba , Nueva York: Springer-Verlag, págs. 175-176, doi : 10.1007/978-1-4612-1720-6 , ISBN 0-387-98497-6, señor  1633950
12. Gethner, Ellen ; Kallichanda, Bopanna; Mentis, Alejandro; Braudrick, Sarah; Chawla, Sumeet; Clune, Andrés; Drummond, Raquel; Evans, Panagiota; Roche, Guillermo; Takano, Nao (octubre de 2009), "¿Qué tan falsa es la prueba de Kempe del teorema de los cuatro colores? Parte II", Involve: A Journal of Mathematics , 2 (3), Mathematical Sciences Publishers: 249–265, doi : 10.2140/involve. 2009.2.249
13. Soifer, Alexander (2008), El libro de colorear matemático , Springer-Verlag, págs. 181-182, ISBN 978-0-387-74640-1
14. Knill, Oliver (2019), Un teorema de esfera simple para gráficas , arXiv : 1910.02708
15. Fomin, Sergey; Reading, Nathan (2007), "Sistemas de raíces y asociaedros generalizados", en Miller, Ezra; Reiner, Víctor; Sturmfels, Bernd (eds.), Combinatoria geométrica , IAS/Park City Mathematics Series, vol. 13, Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense, págs. 63–131, arXiv : math/0505518 , doi : 10.1090/pcms/013/03, MR  2383126, S2CID  11435731; ver Definición 3.3, Figura 3.6 y discusión relacionada.
16. Amir, Yifat; Séquin, Carlo H. (2018), "Toroides modulares construidos a partir de nonaedros", en Torrence, Eve ; Torrence, Bruce; Séquin, Carlo ; Fenyvesi, Kristóf (eds.), Actas de Bridges 2018: Matemáticas, Arte, Música, Arquitectura, Educación, Cultura , Phoenix, Arizona: Tessellations Publishing, págs. 131-138, ISBN 978-1-938664-27-4
17. Goldberg, Michael (1982), "Sobre los eneaedros que llenan el espacio", Geometriae Dedicata , 12 (3): 297–306, doi :10.1007/BF00147314, MR  0661535, S2CID  120914105; ver poliedro 9-IV, p. 301
18. Barceló, Hélène ; Severs, Christopher; White, Jacob A. (2013), "El grupo fundamental discreto del asociaedro y el módulo de intercambio", Revista Internacional de Álgebra y Computación , 23 (4): 745–762, arXiv : 1012.2810 , doi : 10.1142/S0218196713400079, SEÑOR  3078054, S2CID  14722555
19. Persson, Ingmar (2022), "Estructuras de iones metálicos hidratados en estado sólido y solución acuosa", Líquidos , 2 (3): 210–242, doi : 10.3390/liquids2030014
20. Whyte, LL (1952), "Disposiciones únicas de puntos en una esfera", The American Mathematical Monthly , 59 (9): 606–611, doi :10.1080/00029890.1952.11988207, JSTOR  2306764, MR  0050303