Bipirámide cuadrada giroelongada

17. Johnson sólido

En geometría , la bipirámide cuadrada giroelongada es un poliedro de 16 caras triangulares. se puede construir a partir de un antiprisma cuadrado uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras a cada una de sus caras cuadradas. La misma forma también se llama hexakaidecadeltahedron ^[1] , heccaidecadeltahedron , ^[2] o antiprisma cuadrado tetrakis ; ^[1] estos apellidos significan un poliedro con 16 caras triangulares. Es un ejemplo de deltaedro y de sólido de Johnson .

El poliedro dual de la bipirámide cuadrada giroelongada es un trapezoedro cuadrado truncado con ocho pentágonos y dos cuadrados como caras. La pirámide cuadrada giroelongada aparece en química como la base de la geometría molecular antiprismática cuadrada bicapped , y en la optimización matemática como una solución al problema de Thomson .

Construcción

Como otras bipirámides giroelongadas , la bipirámide cuadrada giroelongada se puede construir uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras a las caras cuadradas de un antiprisma cuadrado ; este proceso se conoce como giroelongación . ^{[3] [4]} Estas pirámides cubren cada cuadrado, reemplazándolo con cuatro triángulos equiláteros , de modo que el poliedro resultante tiene 16 triángulos equiláteros como caras. Un poliedro que tiene únicamente triángulos equiláteros como caras se llama deltaedro . Sólo hay ocho deltaedros convexos diferentes, uno de los cuales es la bipirámide cuadrada giroelongada. ^[5] De manera más general, el poliedro convexo en el que todas las caras son regulares es el sólido de Johnson , y todo deltaedro convexo es un sólido de Johnson. La bipirámide cuadrada giroelongada se numera entre los sólidos de Johnson como . ^[6] ${\displaystyle J_{17}}$

Un posible sistema de coordenadas cartesianas para los vértices de una bipirámide cuadrada giroelongada, que le da una longitud de arista 2, es: ^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm 1,\pm 1,2^{-1/4}\right),\qquad &\left(\pm {\sqrt {2}},0,-2^{-1/4}\right),\\\left(0,\pm {\sqrt {2}},-2^{-1/4}\right),\qquad &\left(0,0,\pm \left(2^{-1/4}+{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Propiedades

El área de superficie de una bipirámide cuadrada giroelongada es 16 veces el área de un triángulo equilátero, es decir: ^[4]

$${\displaystyle 4{\sqrt {3}}a^{2}\approx 6.928a^{2},}$$

^[4]

$${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}}{3}}a^{3}\approx 1.428a^{3}.}$$

Modelo 3D de una bipirámide cuadrada giroelongada

Tiene el mismo grupo de simetría tridimensional que el antiprisma cuadrado, el grupo diédrico de orden 8. Su ángulo diédrico es similar a la pirámide cuadrada giroelongada , calculando la suma de la pirámide cuadrada equilátera y el ángulo del antiprisma cuadrado en la siguiente : ^[7] ${\displaystyle D_{4d}}$

• el ángulo diédrico de una pirámide cuadrada equilátera entre dos triángulos adyacentes, aproximadamente ${\displaystyle 109.47^{\circ }}$
• el ángulo diédrico de un antiprisma cuadrado entre dos triángulos adyacentes, aproximadamente ${\displaystyle 127.55^{\circ }}$
• el ángulo diédrico entre dos triángulos adyacentes, en el borde donde una pirámide cuadrada equilátera está unida a un antiprisma cuadrado, es , para lo cual se suma los ángulos diédricos entre un cuadrado y un triángulo tanto de la pirámide como del antiprisma. ${\displaystyle 158.57^{\circ }}$

Poliedro dual

El poliedro dual de una bipirámide cuadrada giroleongada es el trapezoedro cuadrado truncado . ^{[ cita necesaria ]} Tiene ocho pentágonos y dos cuadrados. ^[8]

Solicitud

La bipirámide cuadrada giroelongada se puede visualizar en la geometría de compuestos químicos como el grupo de átomos que rodea a un átomo central como un poliedro, y el compuesto de dicho grupo es la geometría molecular antiprismática cuadrada bicapped . ^[9] Tiene 10 vértices y 24 aristas, correspondientes al poliedro cerrado con electrones esqueléticos. Un ejemplo es el anión de carburo de níquel carbonilo , un compuesto químico esquelético de 22 electrones con diez vértices y la deficiencia de dos monóxidos de carbono . ^[10] ${\displaystyle 2n+2}$ ${\displaystyle {\ce {Ni_{10}C(CO)_{18}^{2-}}}}$ ${\displaystyle {\ce {Ni(CO)_2}}}$

El problema de Thomson relativo a la configuración de energía mínima de partículas cargadas en una esfera. La solución mínima conocida por sitúa los puntos en los vértices de una bipirámide cuadrada giroelongada, inscrita en una esfera . ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=10}$

Referencias

1. Sloane, Nueva Jersey ; Hardin, RH; Duff, TDS; Conway, JH (1995), "Clústeres de esferas duras de energía mínima", Geometría computacional y discreta , 14 (3): 237–259, doi : 10.1007/BF02570704 , MR  1344734, S2CID  26955765
2. Pugh, Anthony (1976), Poliedro: un enfoque visual , University of California Press, p. 35.
3. Rajwade, AR (2001), Poliedros convexos con condiciones de regularidad y tercer problema de Hilbert, Textos y lecturas de matemáticas, Hindustan Book Agency, doi :10.1007/978-93-86279-06-4, ISBN 978-93-86279-06-4.
4. Berman, Martin (1971), "Poliedros convexos de caras regulares", Journal of the Franklin Institute , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
5. Trigg, Charles W. (1978), "Una clase infinita de deltaedros", Revista de matemáticas , 51 (1): 55–57, doi :10.2307/2689647, JSTOR  2689647.
6. Francis, Darryl (agosto de 2013), "Sólidos de Johnson y sus siglas", Word Ways , 46 (3): 177.
7. Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi :10.4153/cjm-1966-021-8, MR  0185507, Zbl  0132.14603.
8. de Corato, Marzio; Prosperio, Davide M.; Bernasconi, Marco; Benedek, Giorgio (2013), "Dos Clathretes C28", en Diudea, Mircea Vasile; Nagy, Csaba Levente (eds.), Diamante y nanoestructuras relacionadas , Springer, p. 80–81, doi :10.1007/978-94-007-6371-5, ISBN 978-94-007-6371-5.
9. Remhov, Arndt; Černý, Radovan (2021), "Hidroborato como nuevos electrolitos de estado sólido", en Schorr, Susan; Weidenthaler, Claudia (eds.), Cristalografía en ciencia de materiales: de las relaciones estructura-propiedad a la ingeniería, de Gruyter , p. 270, ISBN 978-3-11-067485-9.
10. King, R. Bruce (1993), Aplicaciones de la teoría de grafos y la topología en la química de coordinación y en clústeres, CRC Press , p. 102.