Prisma hexagonal aumentado

54. Johnson sólido

En geometría , el prisma hexagonal aumentado es uno de los sólidos de Johnson ( J ₅₄ ). Como sugiere el nombre, se puede construir aumentando un prisma hexagonal uniendo una pirámide cuadrada ( J ₁ ) a una de sus caras ecuatoriales. Cuando se unen dos o tres de estas pirámides, el resultado puede ser un prisma hexagonal parabiaumentado ( J ₅₅ ), un prisma hexagonal metabiaumentado ( J ₅₆ ) o un prisma hexagonal triaumentado ( J ₅₇ ).

Construcción

El prisma hexagonal aumentado se construye uniendo una pirámide cuadrada equilátera a la cara cuadrada de un prisma hexagonal , un proceso conocido como aumento . ^[1] Esta construcción implica la eliminación de la cara cuadrada del prisma y su reemplazo por la pirámide cuadrada, de modo que quedan once caras: cuatro triángulos equiláteros , cinco cuadrados y dos hexágonos regulares . ^[2] Un poliedro convexo en el que todas las caras son regulares es un sólido de Johnson, y el prisma hexagonal aumentado se encuentra entre ellos, enumerado como . ^[3] De manera relacionada, dos o tres pirámides cuadradas equiláteras unidas a más caras cuadradas del prisma dan más sólidos de Johnson diferentes; estos son el prisma hexagonal parabiaumentado , el prisma hexagonal metabiaumentado y el prisma hexagonal triaumentado . ^[1] ${\displaystyle J_{54}}$ ${\displaystyle J_{55}}$ ${\displaystyle J_{56}}$ ${\displaystyle J_{57}}$

Propiedades

Un prisma hexagonal aumentado con longitud de borde tiene área de superficie ^[2] ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \left(5+4{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 11.928a^{2},}$$

^[2]

$${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}}{2}}a^{3}\approx 2.834a^{3},}$$

^[2]

Tiene un eje de simetría que pasa por el vértice de una pirámide cuadrada y el centroide de una cara cuadrada de prisma, girado en un ángulo de media vuelta y de vuelta completa. Su ángulo diédrico se puede obtener calculando el ángulo de una pirámide cuadrada y un prisma hexagonal de la siguiente manera: ^[4]

• El ángulo diédrico de un prisma hexagonal aumentado entre dos triángulos adyacentes es el ángulo diédrico de una pirámide cuadrada equilátera, ${\displaystyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.5^{\circ }}$
• El ángulo diédrico de un prisma hexagonal aumentado entre dos cuadrados adyacentes es el interior de un hexágono regular, ${\displaystyle 2\pi /3=120^{\circ }}$
• El ángulo diédrico de un prisma hexagonal aumentado entre cuadrado y hexágono es el ángulo diédrico de un prisma hexagonal entre su base y su cara lateral, ${\displaystyle \pi /2}$
• El ángulo diédrico de una pirámide cuadrada entre el triángulo (su cara lateral) y el cuadrado (su base) es . Por lo tanto, el ángulo diédrico de un prisma hexagonal aumentado entre el cuadrado y el triángulo y entre el triángulo y el hexágono, en el borde en el que se unen la pirámide cuadrada y el prisma hexagonal, son ${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.75^{\circ }}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\approx 174.75^{\circ },\\\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.75^{\circ }.\end{aligned}}}$$
  .

Referencias

1. Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y tercer problema de Hilbert. Textos y Lecturas en Matemáticas. Agencia de libros Hindustan. pag. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
2. Berman, Martín (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. SEÑOR  0290245.
3. Francis, Darryl (agosto de 2013). "Sólidos de Johnson y sus siglas". Formas de palabras . 46 (3): 177.
4. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169-200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . SEÑOR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Prisma hexagonal aumentado" ("Johnson Solid") en MathWorld .