Prisma pentagonal aumentado

52º sólido de Johnson

En geometría , el prisma pentagonal aumentado es un poliedro que se puede construir uniendo una pirámide cuadrada equilátera a la cara cuadrada del prisma pentagonal . Es un ejemplo del sólido Johnson .

Construcción

El prisma pentagonal aumentado se puede construir a partir de un prisma pentagonal uniendo una pirámide cuadrada equilátera a una de sus caras cuadradas, un proceso conocido como aumento . ^[1] Esta pirámide cuadrada cubre la cara cuadrada del prisma, por lo que el poliedro resultante tiene cuatro triángulos equiláteros , cuatro cuadrados y dos pentágonos regulares como caras. ^[2] Un poliedro convexo en el que todas las caras son regulares es el sólido de Johnson , y el prisma pentagonal aumentado se encuentra entre ellos, enumerado como 52º sólido de Johnson . ^[3] ${\displaystyle J_{52}}$

Propiedades

Un prisma pentagonal aumentado con longitud de arista tiene un área de superficie, calculada sumando el área de cuatro triángulos equiláteros, cuatro cuadrados y dos pentágonos regulares: ^[2] ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\frac {8+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{2}}a^{2}\approx 9.173a^{2}.}$$

^[2]

$${\displaystyle {\frac {\sqrt {233+90{\sqrt {5}}+12{\sqrt {50+20{\sqrt {5}}}}}}{12}}a^{3}\approx 1.9562a^{3}.}$$

El ángulo diédrico de un prisma pentagonal aumentado se puede calcular sumando el ángulo diédrico de una pirámide cuadrada equilátera y el prisma pentagonal regular: ^[4]

• el ángulo diédrico de un prisma pentagonal aumentado entre dos caras triangulares adyacentes es el de una pirámide cuadrada equilátera entre dos caras triangulares adyacentes , ${\textstyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109.5^{\circ }}$
• El ángulo diédrico de un prisma pentagonal aumentado entre dos caras cuadradas adyacentes es el ángulo interno de un pentágono regular . ${\textstyle {\frac {3\pi }{5}}=108^{\circ }}$
• El ángulo diédrico de un prisma pentagonal aumentado entre cuadrado y pentágono es el de un prisma pentagonal regular entre su base y sus caras laterales . ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}$
• el ángulo diédrico de un prisma pentagonal aumentado entre pentágono y triángulo es , para lo cual sumando el ángulo diédrico de una pirámide cuadrada equilátera entre su base y su cara lateral , y el ángulo diédrico de un prisma pentagonal regular entre su base y su cara lateral rostro. ${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.7^{\circ }}$ ${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.7^{\circ }}$
• el ángulo diédrico de un prisma pentagonal aumentado entre cuadrado y triángulo es , para lo cual se suma el ángulo diédrico de una pirámide cuadrada equilátera entre su base y su cara lateral, y el ángulo diédrico de un prisma pentagonal regular entre dos cuadrados adyacentes. ${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {3\pi }{5}}\approx 162.7^{\circ }}$

Referencias

1. Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y tercer problema de Hilbert. Textos y Lecturas en Matemáticas. Agencia de libros Hindustan. pag. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
2. Berman, Martín (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. SEÑOR  0290245.
3. Francis, Darryl (agosto de 2013). "Sólidos de Johnson y sus siglas". Formas de palabras . 46 (3): 177.
4. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169-200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . SEÑOR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Johnson Sólido". MundoMatemático .
  • Weisstein, Eric W. "Prisma pentagonal aumentado". MundoMatemático .