En matemáticas , el teorema de Feit-Thompson , o teorema de orden impar , establece que todo grupo finito de orden impar tiene solución . Fue demostrado por Walter Feit y John Griggs Thompson (1962, 1963).
El contraste que muestran estos resultados entre grupos de orden par e impar sugiere inevitablemente que no existen grupos simples de orden impar.
William Burnside (1911, p. 503 nota M)
William Burnside (1911, p. 503 nota M) conjeturó que todo grupo finito simple no abeliano tiene un orden par. Richard Brauer (1957) sugirió utilizar los centralizadores de involuciones de grupos simples como base para la clasificación de grupos simples finitos , ya que el teorema de Brauer-Fowler muestra que solo hay un número finito de grupos simples finitos con un centralizador de involución dado . Un grupo de orden impar no tiene involuciones, por lo que para llevar a cabo el programa de Brauer es primero necesario demostrar que los grupos simples finitos no cíclicos nunca tienen orden impar. Esto equivale a demostrar que los grupos de orden impar tienen solución , que es lo que demostraron Feit y Thompson.
El ataque a la conjetura de Burnside fue iniciado por Michio Suzuki (1957), quien estudió los grupos CA ; estos son grupos tales que el centralizador de cada elemento no trivial es A belian . En un artículo pionero demostró que todos los grupos CA de orden impar tienen solución. (Más tarde clasificó todos los grupos CA simples y, de manera más general, todos los grupos simples de manera que el centralizador de cualquier involución tenga un subgrupo 2-Sylow normal , encontrando en el proceso una familia de grupos simples de tipo Lie ignorados , que ahora se llaman Suzuki grupos .)
Feit, Thompson y Marshall Hall (1960) ampliaron el trabajo de Suzuki a la familia de grupos CN ; estos son grupos tales que el centralizador de cada elemento no trivial es Nilpotente . Demostraron que todo grupo CN de orden impar tiene solución. Su prueba es similar a la prueba de Suzuki. Tenía unas 17 páginas, lo que en ese momento se pensó que era muy largo para una demostración en teoría de grupos.
El teorema de Feit-Thompson puede considerarse como el siguiente paso en este proceso: muestra que no existe un grupo simple no cíclico de orden impar tal que todo subgrupo adecuado tenga solución . Esto demuestra que todo grupo finito de orden impar tiene solución, ya que un contraejemplo mínimo debe ser un grupo simple tal que cada subgrupo adecuado tenga solución. Aunque la demostración sigue el mismo esquema general que el teorema CA y el teorema CN, los detalles son mucho más complicados. El artículo final tiene 255 páginas.
El teorema de Feit-Thompson demostró que la clasificación de grupos simples finitos utilizando centralizadores de involuciones podría ser posible, ya que todo grupo simple no abeliano tiene una involución. Muchas de las técnicas que introdujeron en su prueba, especialmente la idea de análisis local , se desarrollaron aún más en herramientas utilizadas en la clasificación. Quizás el aspecto más revolucionario de la prueba fue su extensión: antes del artículo de Feit-Thompson, pocos argumentos en teoría de grupos tenían más de unas pocas páginas y la mayoría podían leerse en un día. Una vez que los teóricos de grupos se dieron cuenta de que argumentos tan largos podían funcionar, comenzaron a aparecer una serie de artículos de varios cientos de páginas. Algunos de ellos eclipsaron incluso el artículo de Feit-Thompson; el artículo de Michael Aschbacher y Stephen D. Smith sobre grupos cuasi finos tenía 1.221 páginas.
Muchos matemáticos han simplificado partes de la prueba original de Feit-Thompson. Sin embargo, todas estas mejoras son en cierto sentido locales; La estructura global del argumento sigue siendo la misma, pero algunos de los detalles de los argumentos se han simplificado.
La prueba simplificada se ha publicado en dos libros: (Bender & Glauberman 1994), que cubre todo excepto la teoría del carácter , y (Peterfalvi 2000, parte I), que cubre la teoría del carácter. Esta prueba revisada sigue siendo muy difícil y más larga que la prueba original, pero está escrita en un estilo más pausado.
En septiembre de 2012, Georges Gonthier y sus colegas investigadores de Microsoft Research e Inria anunciaron una prueba completamente formal, verificada con el asistente de prueba Coq . [1]
En lugar de describir directamente el teorema de Feit-Thompson, es más fácil describir el teorema CA de Suzuki y luego comentar algunas de las extensiones necesarias para el teorema CN y el teorema de orden impar. La prueba se puede dividir en tres pasos. Dejamos que G sea un grupo simple no abeliano (mínimo) de orden impar que satisface la condición CA. Para una exposición más detallada del artículo de orden impar, consulte Thompson (1963) o (Gorenstein 1980) o Glauberman (1999).
Esto es fácil en el caso CA porque la relación " a conmuta con b " es una relación de equivalencia en los elementos que no son de identidad. Entonces los elementos se dividen en clases de equivalencia, de modo que cada clase de equivalencia es el conjunto de elementos no idénticos de un subgrupo abeliano máximo. Los normalizadores de estos subgrupos abelianos máximos resultan ser exactamente los subgrupos propios máximos de G . Estos normalizadores son grupos de Frobenius cuya teoría del carácter es razonablemente transparente y adecuada para manipulaciones que implican la inducción del carácter . Además, el conjunto de divisores primos de | GRAMO | se divide según los primos que dividen los órdenes de las distintas clases de conjugación de subgrupos abelianos máximos de | GRAMO |. Este patrón de partición de los divisores primos de | GRAMO | según las clases de conjugación de ciertos subgrupos de Hall (un subgrupo de Hall es aquel cuyo orden e índice son primos relativos) que corresponden a los subgrupos máximos de G (hasta la conjugación) se repite en ambos la prueba de Feit-Hall-Thompson CN- teorema y en la demostración del teorema de orden impar de Feit-Thompson. Cada subgrupo máximo M tiene un determinado subgrupo Hall nilpotente M σ con normalizador contenido en M , cuyo orden es divisible por ciertos números primos que forman un conjunto σ( M ). Dos subgrupos máximos son conjugados si y sólo si los conjuntos σ( M ) son iguales, y si no son conjugados entonces los conjuntos σ( M ) son disjuntos. Todo primo que divide el orden de G ocurre en algún conjunto σ( M ). Entonces los primos que dividen el orden de G se dividen en clases de equivalencia correspondientes a las clases de conjugación de subgrupos máximos. La prueba del caso CN ya es considerablemente más difícil que la del caso CA: el principal problema adicional es demostrar que dos subgrupos diferentes de Sylow se cruzan en la identidad. Esta parte de la demostración del teorema del orden impar ocupa más de 100 páginas de diario. Un paso clave es la prueba del teorema de unicidad de Thompson , que establece que los subgrupos abelianos de rango normal al menos 3 están contenidos en un subgrupo máximo único, lo que significa que los primos p para los cuales los p -subgrupos de Sylow tienen rango normal como máximo 2 necesitan ser considerado por separado. Posteriormente, Bender simplificó la prueba del teorema de unicidad utilizando el método de Bender . Mientras que en el caso CN, los subgrupos máximos resultantes MTodavía son grupos de Frobenius, los subgrupos máximos que ocurren en la demostración del teorema de orden impar ya no necesitan tener esta estructura, y el análisis de su estructura e interacción produce 5 tipos posibles de subgrupos máximos, llamados tipos I, II, III, IV, V. Los subgrupos de tipo I son del "tipo Frobenius", una ligera generalización del grupo de Frobenius y, de hecho, más adelante en la prueba se muestra que son grupos de Frobenius. Tienen la estructura M F ⋊ U donde M F es el subgrupo Hall nilpotente normal más grande, y U tiene un subgrupo U 0 con el mismo exponente tal que M F ⋊ U 0 es un grupo de Frobenius con núcleo M F . Los tipos II, III, IV, V son todos grupos de 3 pasos con estructura M F ⋊ U ⋊ W 1 , donde M F ⋊ U es el subgrupo derivado de M . La subdivisión en tipos II, III, IV y V depende de la estructura e inclusión del subgrupo U de la siguiente manera:
Todas menos dos clases de subgrupos máximos son de tipo I, pero también puede haber dos clases adicionales de subgrupos máximos, una de tipo II y otra de tipo II, III, IV o V.
Si X es un carácter irreducible del normalizador H del subgrupo abeliano máximo A del grupo CA G , que no contiene A en su núcleo, podemos inducir X a un carácter Y de G , que no es necesariamente irreducible. Debido a la estructura conocida de G , es fácil encontrar los valores de los caracteres de Y en todos menos en el elemento de identidad de G. Esto implica que si X 1 y X 2 son dos de esos caracteres irreducibles de H e Y 1 e Y 2 son los caracteres inducidos correspondientes, entonces Y 1 − Y 2 está completamente determinado, y calcular su norma muestra que es la diferencia de dos caracteres irreducibles de G (estos a veces se conocen como caracteres excepcionales de G con respecto a H ). Un argumento de conteo muestra que cada carácter irreducible no trivial de G surge exactamente una vez como un carácter excepcional asociado al normalizador de algún subgrupo abeliano máximo de G. Un argumento similar (pero reemplazando los subgrupos abelianos de Hall por subgrupos nilpotentes de Hall) funciona en la demostración del teorema CN. Sin embargo, en la prueba del teorema del orden impar, los argumentos para construir caracteres de G a partir de caracteres de subgrupos son mucho más delicados y utilizan la isometría de Dade entre anillos de caracteres en lugar de la inducción de caracteres, ya que los subgrupos máximos tienen una estructura más complicada. y están integrados de una manera menos transparente. La teoría de los personajes excepcionales se sustituye por la teoría del conjunto coherente de personajes para ampliar la isometría de Dade. En términos generales, esta teoría dice que la isometría de Dade se puede ampliar a menos que los grupos involucrados tengan una estructura precisa determinada. Peterfalvi (2000) describió una versión simplificada de la teoría del carácter debida a Dade, Sibley y Peterfalvi.
En el paso 2, tenemos una descripción completa y precisa de la tabla de caracteres del grupo G de CA. A partir de esto, y utilizando el hecho de que G tiene orden impar, se dispone de información suficiente para obtener estimaciones para | GRAMO | y llegar a una contradicción con el supuesto de que G es simple. Esta parte del argumento funciona de manera similar en el caso del grupo CN.
Sin embargo, en la demostración del teorema de Feit-Thompson, este paso es (como siempre) mucho más complicado. La teoría del carácter sólo elimina algunas de las posibles configuraciones que quedan después del paso 1. Primero, muestran que los subgrupos máximos del tipo I son todos grupos de Frobenius. Si todos los subgrupos máximos son de tipo I, entonces un argumento similar al caso CN muestra que el grupo G no puede ser un grupo simple mínimo de orden impar, por lo que hay exactamente dos clases de subgrupos máximos de tipos II, III, IV o V. La mayoría El resto de la prueba ahora se centra en estos dos tipos de subgrupos máximos S y T y la relación entre ellos. Más argumentos teóricos de los caracteres muestran que no pueden ser de los tipos IV o V. Los dos subgrupos tienen una estructura precisa: el subgrupo S es de orden p q × q ×( p q –1)/( p –1) y consta de todos los automorfismos del conjunto subyacente del campo finito de orden p q de la forma x → ax σ + b donde a tiene norma 1 y σ es un automorfismo del campo finito, donde p y q son primos distintos. El subgrupo máximo T tiene una estructura similar con p y q invertidos. Los subgrupos S y T están estrechamente relacionados. Tomando p > q , se puede demostrar que el subgrupo cíclico de S de orden ( p q –1)/( p –1) está conjugado con un subgrupo del subgrupo cíclico de T de orden ( q p –1)/( q –1). (En particular, el primer número divide al segundo, por lo que si la conjetura de Feit-Thompson es verdadera, afirmaría que esto no puede suceder, y esto podría usarse para finalizar la prueba en este punto. Sin embargo, la conjetura aún no está probada ( Khukhro y Mazurov 2023, 4.65). )
La conclusión de aplicar la teoría de los caracteres al grupo G es que G tiene la siguiente estructura: hay primos p > q tales que ( p q –1)/( p –1) es coprimo de p –1 y G tiene un subgrupo dado por el producto semidirecto PU donde P es el grupo aditivo de un campo finito de orden p q y U sus elementos de norma 1. Además, G tiene un subgrupo abeliano Q de orden primo con p que contiene un elemento y tal que P 0 normaliza Q y ( P 0 ) y normaliza U , donde P 0 es el grupo aditivo del campo finito de orden p . (Para p =2 ocurre una configuración similar en el grupo SL 2 (2 q ), con PU un subgrupo de Borel de matrices triangulares superiores y Q el subgrupo de orden 3 generado por .) Para eliminar este caso final, Thompson utilizó algunos métodos terriblemente complicados. manipulaciones con generadores y relaciones , que luego fueron simplificadas por Peterfalvi (1984), cuyo argumento se reproduce en (Bender & Glauberman 1994). La prueba examina el conjunto de elementos a en el campo finito de orden p q tal que a y 2–a tienen norma 1. Primero se verifica que este conjunto tenga al menos un elemento distinto de 1. Luego, un argumento bastante difícil usando generadores y las relaciones en el grupo G muestran que el conjunto es cerrado tomando inversas. Si a está en el conjunto y no es igual a 1, entonces el polinomio N((1– a ) x +1)–1 tiene grado q y tiene al menos p raíces distintas dadas por los elementos x en F p , utilizando el hecho de que x →1/(2– x ) asigna el conjunto a sí mismo, por lo que p ≤ q , contradiciendo el supuesto p > q .
El hecho de que el orden del grupo G sea impar se utiliza en varios lugares de la demostración, como sigue (Thompson 1963).
