En la teoría de la representación matemática , la coherencia es una propiedad de conjuntos de caracteres que permite extender una isometría desde el subespacio de grado cero de un espacio de caracteres a todo el espacio. La noción general de coherencia fue desarrollada por Feit (1960, 1962), como una generalización de la prueba de Frobenius de la existencia de un núcleo Frobenius de un grupo de Frobenius y del trabajo de Brauer y Suzuki sobre personajes excepcionales . Feit y Thompson (1963, capítulo 3) desarrollaron aún más la coherencia en la demostración del teorema de Feit-Thompson de que todos los grupos de orden impar tienen solución.
Supongamos que H es un subgrupo de un grupo finito G y S un conjunto de caracteres irreducibles de H. Escriba I ( S ) para el conjunto de combinaciones lineales integrales de S y I 0 ( S ) para el subconjunto de elementos de grado 0 de I ( S ). Supongamos que τ es una isometría desde I 0 ( S ) hasta los caracteres virtuales de grado 0 de G . Entonces τ se llama coherente si se puede extender a una isometría de I ( S ) a caracteres de G y I 0 ( S ) es distinto de cero. Aunque estrictamente hablando la coherencia es realmente una propiedad de la isometría τ, es común decir que el conjunto S es coherente en lugar de decir que τ es coherente.
Feit demostró varios teoremas que establecen las condiciones bajo las cuales un conjunto de caracteres es coherente. Uno típico es el siguiente. Supongamos que H es un subgrupo de un grupo G con normalizador N , tal que N es un grupo de Frobenius con núcleo H , y sean S los caracteres irreducibles de N que no tienen H en su núcleo. Supongamos que τ es una isometría lineal desde I 0 ( S ) hasta los caracteres de grado 0 de G . Entonces τ es coherente a menos que
Si G es el grupo simple SL 2 ( F 2 n ) para n >1 y H es un subgrupo 2 de Sylow, con inducción τ, entonces la coherencia falla por la primera razón: H es abeliano elemental y N / H tiene orden 2 n –1 y actúa simplemente transitivamente sobre él.
Si G es el grupo de Suzuki simple de orden (2 n –1) 2 2 n ( 2 2 n +1) con n impar y n >1 y H es el subgrupo 2 de Sylow y τ es la inducción, entonces la coherencia falla para el Segunda razón. La abelianización de H tiene orden 2 n , mientras que el grupo N / H tiene orden 2 n –1.
En la prueba de la teoría de Frobenius sobre la existencia de un núcleo de un grupo G de Frobenius donde el subgrupo H es el subgrupo que fija un punto y S es el conjunto de todos los caracteres irreducibles de H , la isometría τ en I 0 ( S ) es solo inducción, aunque su extensión a I ( S ) no es inducción.
De manera similar, en la teoría de los caracteres excepcionales, la isometría τ es nuevamente inducción.
En casos más complicados la isometría τ ya no es inducción. Por ejemplo, en el teorema de Feit-Thompson la isometría τ es la isometría de Dade .