Supongamos que G es un grupo de Frobenius que consta de permutaciones de un conjunto X. Un subgrupo H de G que fija un punto de X se llama complemento de Frobenius . El elemento identidad junto con todos los elementos que no están en ningún conjugado de H forman un subgrupo normal llamado núcleo de Frobenius K. (Éste es un teorema debido a Frobenius (1901); todavía no hay prueba de este teorema que no utilice la teoría de los caracteres , aunque véase [1] .) El grupo G de Frobenius es el producto semidirecto de K y H :
.
Tanto el núcleo de Frobenius como el complemento de Frobenius tienen estructuras muy restringidas. JG Thompson (1960) demostró que el núcleo K de Frobenius es un grupo nilpotente . Si H tiene orden par entonces K es abeliano. El complemento de Frobenius H tiene la propiedad de que todo subgrupo cuyo orden sea producto de 2 primos es cíclico; esto implica que sus subgrupos de Sylow son grupos de cuaterniones cíclicos o generalizados . Cualquier grupo tal que todos los subgrupos de Sylow sean cíclicos se llama grupo Z y, en particular, debe ser un grupo metacíclico : esto significa que es la extensión de dos grupos cíclicos. Si un complemento de Frobenius H no tiene solución, entonces Zassenhaus demostró que tiene un subgrupo normal de índice 1 o 2 que es el producto de SL(2,5) y un grupo metacíclico de orden coprimo a 30. En particular, si un complemento de Frobenius H no tiene solución, Zassenhaus demostró que tiene un subgrupo normal de índice 1 o 2 que es el producto de SL(2,5) y un grupo metacíclico de orden coprimo a 30. coincide con su subgrupo derivado, entonces es isomorfo con SL (2,5). Si un complemento de Frobenius H tiene solución, entonces tiene un subgrupo metacíclico normal tal que el cociente es un subgrupo del grupo simétrico en 4 puntos. Un grupo finito es un complemento de Frobenius si y sólo si tiene una representación fiel de dimensión finita sobre un campo finito en el que los elementos del grupo no idénticos corresponden a transformaciones lineales sin puntos fijos distintos de cero.
El núcleo de Frobenius K está determinado únicamente por G ya que es el subgrupo de ajuste , y el complemento de Frobenius está determinado únicamente hasta la conjugación por el teorema de Schur-Zassenhaus . En particular, un grupo finito G es un grupo de Frobenius como máximo en una forma.
Ejemplos
El avión de Fano.
El ejemplo más pequeño es el grupo simétrico de 3 puntos, con 6 elementos. El núcleo de Frobenius K tiene orden 3 y el complemento H tiene orden 2.
Para cada campo finito F q con q (> 2) elementos, el grupo de transformaciones afines invertibles , que actúa naturalmente sobre F q es un grupo de Frobenius. El ejemplo anterior corresponde al caso F 3 , el campo con tres elementos.
Otro ejemplo lo proporciona el subgrupo de orden 21 del grupo de colineación del plano de Fano generado por una simetría triple σ que fija un punto y una permutación cíclica τ de los 7 puntos, que satisface στ = τ 2 σ. Al identificar F 8 × con el plano de Fano, σ puede tomarse como la restricción del automorfismo de Frobenius σ( x ) = x 2 de F 8 y τ como una multiplicación por cualquier elemento que no sea 0 o 1 (es decir, un generador del plano cíclico) . grupo multiplicativo de F 8 ). Este grupo de Frobenius actúa de forma simplemente transitiva sobre las 21 banderas del plano de Fano, es decir, líneas con puntos marcados.
El grupo diédrico de orden 2 n con n impar es un grupo de Frobenius con complemento de orden 2. De manera más general, si K es cualquier grupo abeliano de orden impar y H tiene orden 2 y actúa sobre K por inversión, entonces el producto semidirecto K.H es un Grupo Frobenius.
Se pueden generar muchos ejemplos más mediante las siguientes construcciones. Si reemplazamos el complemento de Frobenius de un grupo de Frobenius por un subgrupo no trivial obtenemos otro grupo de Frobenius. Si tenemos dos grupos de Frobenius K 1 . H y K2 . H entonces ( K 1 × K 2 ). H también es un grupo de Frobenius.
Si K es el grupo no abeliano de orden 7 3 con exponente 7, y H es el grupo cíclico de orden 3, entonces existe un grupo de Frobenius G que es una extensión KH de H por K . Esto da un ejemplo de un grupo de Frobenius con núcleo no abeliano. Este fue el primer ejemplo de grupo de Frobenius con núcleo nobeliano (fue construido por Otto Schmidt).
Si H es el grupo SL 2 ( F 5 ) de orden 120, actúa como punto fijo libremente sobre un espacio vectorial bidimensional K sobre el campo con 11 elementos. La extensión KH es el ejemplo más pequeño de un grupo de Frobenius sin solución .
El subgrupo de un grupo de Zassenhaus que fija un punto es un grupo de Frobenius.
Los grupos de Frobenius cuyo subgrupo de ajuste tiene una clase de nilpotencia arbitrariamente grande fueron construidos por Ito: Sea q una potencia prima, d un entero positivo y p un divisor primo de q −1 con d ≤ p . Fijar algún campo F de orden q y algún elemento z de este campo de orden p . El complemento de Frobenius H es el subgrupo cíclico generado por la matriz diagonal cuya i,i'ésima entrada es z i . El núcleo de Frobenius K es el subgrupo Sylow q de GL( d , q ) que consta de matrices triangulares superiores con unos en la diagonal. El núcleo K tiene clase de nilpotencia d −1 y el producto semidirecto KH es un grupo de Frobenius.
Teoría de la representación
Las representaciones complejas irreducibles de un grupo G de Frobenius se pueden leer a partir de las de H y K. Hay dos tipos de representaciones irreducibles de G :
Cualquier representación irreducible R de H da una representación irreducible de G usando el mapa de cociente de G a H. Estos dan las representaciones irreducibles de G con K en su núcleo.
Si S es cualquier representación irreducible no trivial de K , entonces la correspondiente representación inducida de G también es irreducible. Estos dan las representaciones irreductibles de G con K fuera de su núcleo.
Definiciones alternativas
Hay una serie de propiedades teóricas de grupos que son interesantes por derecho propio, pero que resultan ser equivalentes a que el grupo posea una representación de permutación que lo convierte en un grupo de Frobenius.
G es un grupo de Frobenius si y sólo si G tiene un subgrupo H adecuado y sin identidad tal que H ∩ H g es el subgrupo identidad para cada g ∈ G − H , es decir, H es un subgrupo malnormal de G .
Esta definición luego se generaliza al estudio de conjuntos de intersecciones triviales que permitieron que los resultados de los grupos de Frobenius utilizados en la clasificación de los grupos CA se extendieran a los resultados de los grupos CN y finalmente al teorema del orden impar .
Suponiendo que es el producto semidirecto del subgrupo normal K y el complemento H , entonces las siguientes restricciones sobre los centralizadores son equivalentes a que G sea un grupo de Frobenius con complemento de Frobenius H :
El centralizador C G ( k ) es un subgrupo de K para cada no identidad k en K .
C H ( k ) = 1 para cada no identidad k en K .
C G ( h ) ≤ H para cada no identidad h en H.
Referencias
^ Terence Tao sobre el teorema de Frobenius
Frobenius, G. (1901), "Über auflösbare Gruppen. IV.", Berl. Ber. (en alemán): 1216–1230, doi :10.3931/e-rara-18836, JFM 32.0137.01
B. Huppert, Endliche Gruppen I , Springer 1967
IM Isaacs, Teoría del carácter de grupos finitos , AMS Chelsea 1976
