Grupo nilpotente

Concepto en la teoría de grupos de las matemáticas

En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , un grupo nilpotente G es un grupo que tiene una serie central superior que termina en G. Equivalentemente, tiene una serie central de longitud finita o su serie central inferior termina en {1}.

Intuitivamente, un grupo nilpotente es un grupo que es "casi abeliano ". Esta idea está motivada por el hecho de que los grupos nilpotentes son resolubles , y para grupos nilpotentes finitos , dos elementos que tienen órdenes relativamente primos deben conmutar . También es cierto que los grupos nilpotentes finitos son supersolubles . El concepto se atribuye a un trabajo de la década de 1930 del matemático ruso Sergei Chernikov . ^[1]

Los grupos nilpotentes surgen en la teoría de Galois , así como en la clasificación de grupos. También aparecen de forma destacada en la clasificación de grupos de Lie .

Se utilizan términos análogos para las álgebras de Lie (utilizando el corchete de Lie ) incluyendo nilpotente , serie central inferior y serie central superior .

Definición

La definición utiliza la idea de una serie central para un grupo. Las siguientes son definiciones equivalentes para un grupo nilpotente G :

• G tiene una serie central de longitud finita, es decir, una serie de subgrupos normales.

  ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G}$

  donde , o equivalentemente . ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}\leq Z(G/G_{i})}$ ${\displaystyle [G,G_{i+1}]\leq G_{i}}$
• G tiene una serie central inferior que termina en el subgrupo trivial después de un número finito de pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales.

  ${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}}$

  dónde . ${\displaystyle G_{i+1}=[G_{i},G]}$
• G tiene una serie central superior que termina en todo el grupo después de un número finito de pasos. Es decir, una serie de subgrupos normales.

  ${\displaystyle \{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G}$

  donde y es el subgrupo tal que . ${\displaystyle Z_{1}=Z(G)}$ ${\displaystyle Z_{i+1}}$ ${\displaystyle Z_{i+1}/Z_{i}=Z(G/Z_{i})}$

Para un grupo nilpotente, el n más pequeño tal que G tiene una serie central de longitud n se llama clase de nilpotencia de G ; y se dice que G es nilpotente de clase n . (Por definición, la longitud es n si hay diferentes subgrupos en la serie, incluido el subgrupo trivial y el grupo completo). ${\displaystyle n+1}$

De manera equivalente, la clase de nilpotencia de G es igual a la longitud de la serie central inferior o de la serie central superior. Si un grupo tiene una clase de nilpotencia como máximo n , a veces se lo denomina grupo nil- n .

De cualquiera de las formas anteriores de la definición de nilpotencia se deduce inmediatamente que el grupo trivial es el único grupo de la clase de nilpotencia  0 , y los grupos de la clase de nilpotencia  1 son exactamente los grupos abelianos no triviales. ^{[2] [3]}

Ejemplos

Una porción del gráfico de Cayley del grupo de Heisenberg discreto , un grupo nilpotente bien conocido.

• Como se señaló anteriormente, cada grupo abeliano es nilpotente. ^{[2] [4]}
• Para un pequeño ejemplo no abeliano, considere el grupo de cuaterniones Q _{8 , que es el} p -grupo no abeliano más pequeño . Tiene centro {1, −1} de orden 2, y su serie central superior es {1}, {1, −1}, Q ₈ ; por lo tanto, es nilpotente de clase 2.
• El producto directo de dos grupos nilpotentes es nilpotente. ^[5]
• De hecho, todos los p -grupos finitos son nilpotentes ( prueba ). Para n > 1, la clase de nilpotencia máxima de un grupo de orden p ⁿ es n - 1 (por ejemplo, un grupo de orden p ² es abeliano). Los 2-grupos de clase máxima son los grupos de cuaterniones generalizados , los grupos diedros y los grupos semidiédricos .
• Además, cada grupo nilpotente finito es el producto directo de p -grupos. ^[5]
• El grupo multiplicativo de matrices unitriangulares superiores n × n sobre cualquier cuerpo F es un grupo nilpotente de clase de nilpotencia n − 1. En particular, tomando n = 3 se obtiene el grupo de Heisenberg H , un ejemplo de un grupo nilpotente infinito no abeliano ^[6] . ^[7] Tiene clase de nilpotencia 2 con serie central 1, Z ( H ), H .
• El grupo multiplicativo de matrices triangulares superiores invertibles n × n sobre un cuerpo F no es en general nilpotente, pero es resoluble .
• Cualquier grupo no abeliano G tal que G / Z ( G ) es abeliano tiene clase de nilpotencia 2, con serie central {1}, Z ( G ), G .

Se han caracterizado los números naturales k para los cuales cualquier grupo de orden k es nilpotente (secuencia A056867 en la OEIS ).

Explicación del término

Los grupos nilpotentes se llaman así porque la "acción adjunta" de cualquier elemento es nilpotente , lo que significa que para un grupo nilpotente de grado de nilpotencia y un elemento , la función definida por (donde es el conmutador de y ) es nilpotente en el sentido de que la iteración de la función es trivial: para todo en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}\colon G\to G}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]}$ ${\displaystyle [g,x]=g^{-1}x^{-1}gx}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {ad} _{g}\right)^{n}(x)=e}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

Esta no es una característica definitoria de los grupos nilpotentes: los grupos para los cuales es nilpotente de grado (en el sentido anterior) se denominan - grupos de Engel , ^[8] y no necesitan ser nilpotentes en general. Se demuestra que son nilpotentes si tienen orden finito , y se conjetura que son nilpotentes siempre que sean finitamente generados . ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Un grupo abeliano es precisamente aquel para el cual la acción adjunta no es sólo nilpotente sino trivial (un grupo 1-Engel).

Propiedades

Dado que cada grupo factorial sucesivo Z _{i +1} / Z _i en la serie central superior es abeliano y la serie es finita, cada grupo nilpotente es un grupo resoluble con una estructura relativamente simple.

Todo subgrupo de un grupo nilpotente de clase n es nilpotente de clase como máximo n ; ^[9] además, si f es un homomorfismo de un grupo nilpotente de clase n , entonces la imagen de f es nilpotente ^[9] de clase como máximo n .

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para grupos finitos, ^[10] revelando algunas propiedades útiles de la nilpotencia:

1. G es un grupo nilpotente.
2. Si H es un subgrupo propio de G , entonces H es un subgrupo normal propio de N _G ( H ) (el normalizador de H en G ). Esto se denomina propiedad del normalizador y se puede expresar simplemente como "los normalizadores crecen".
3. Cada subgrupo de Sylow de G es normal.
4. G es el producto directo de sus subgrupos de Sylow.
5. Si d divide el orden de G , entonces G tiene un subgrupo normal de orden d .

Prueba:

(a)→(b)

Por inducción sobre | G |. Si G es abeliano, entonces para cualquier H , N _G ( H ) = G . Si no, si Z ( G ) no está contenido en H , entonces h _Z H _Z ⁻¹ h ⁻¹ = h' H' h ⁻¹ = H , por lo que H · Z ( G ) normaliza H . Si Z ( G ) está contenido en H , entonces H / Z ( G ) está contenido en G / Z ( G ). Nótese que G / Z ( G ) es un grupo nilpotente. Por lo tanto, existe un subgrupo de G / Z ( G ) que normaliza H / Z ( G ) y H / Z ( G ) es un subgrupo propio de él. Por lo tanto, retrocedamos este subgrupo al subgrupo en G y normalizará H . (Esta prueba es el mismo argumento que para los p -grupos: el único hecho que necesitábamos era que si G es nilpotente entonces también lo es G / Z ( G ), por lo que se omiten los detalles).

(b)→(c)

Sean p ₁ , p ₂ ,..., p _s los primos distintos que dividen su orden y sea P _i en Syl _{p i} ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Sea P = P _i para algún i y sea N = N _G ( P ). Como P es un subgrupo normal de Sylow de N , P es característico en N . Como P char N y N es un subgrupo normal de N _G ( N ), obtenemos que P es un subgrupo normal de N _G ( N ). Esto significa que N _G ( N ) es un subgrupo de N y, por lo tanto, N _G ( N ) = N . Por (b) debemos tener, por lo tanto, N = G , lo que da (c).

(c)→(d)

Sean p ₁ , p ₂ ,..., p _s los primos distintos que dividen su orden y sea P _i en Syl _{p i} ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Para cualquier t , 1 ≤ t ≤ s demostramos inductivamente que P ₁ P ₂ ··· P _t es isomorfo a P ₁ × P ₂ ×···× P _t .

Nótese primero que cada P _i es normal en G, por lo que P ₁ P ₂ ··· P _t es un subgrupo de G . Sea H el producto P ₁ P ₂ ··· P _{t −1} y sea K = P _t , por lo que por inducción H es isomorfo a P ₁ × P ₂ ×···× P _{t −1} . En particular, | H | = | P ₁ |⋅| P ₂ |⋅···⋅| P _{t −1} |. Dado que | K | = | P _t |, los órdenes de H y K son primos entre sí. El teorema de Lagrange implica que la intersección de H y K es igual a 1. Por definición, P ₁ P ₂ ··· P _t = HK , por lo tanto HK es isomorfo a H × K que es igual a P ₁ × P ₂ ×···× P _t . Esto completa la inducción. Ahora tomemos t = s para obtener (d).

(d)→(e)

Nótese que un p-grupo de orden p ^k tiene un subgrupo normal de orden p ^m para todo 1≤ m ≤ k . Puesto que G es un producto directo de sus subgrupos de Sylow, y la normalidad se conserva en el producto directo de grupos, G tiene un subgrupo normal de orden d para cada divisor d de | G |.

(e)→(a)

Para cualquier primo p que divida a | G |, el subgrupo p de Sylow es normal. Por lo tanto, podemos aplicar (c) (ya que ya hemos demostrado (c)→(e)).

La afirmación (d) se puede extender a grupos infinitos: si G es un grupo nilpotente, entonces cada subgrupo de Sylow G _p de G es normal, y el producto directo de estos subgrupos de Sylow es el subgrupo de todos los elementos de orden finito en G (véase subgrupo de torsión ).

Muchas propiedades de los grupos nilpotentes son compartidas por los grupos hipercentrales .

Notas

1. Dixon, MR; Kirichenko, VV; Kurdachenko, LA; Otal, J.; Semko, NN; Shemetkov, LA; Subbotin, I. Ya. (2012). "SN Chernikov y el desarrollo de la teoría de grupos infinitos". Álgebra y Matemáticas Discretas . 13 (2): 169–208.
2. Suprunenko (1976). Grupos matriciales. pág. 205.
3. Tabachnikova y Smith (2000). Temas de teoría de grupos (Springer Undergraduate Mathematics Series). pág. 169.
4. Hungerford (1974). Álgebra. pág. 100.
5. Zassenhaus (1999). La teoría de grupos. p. 143.
6. Haeseler (2002). Secuencias automáticas (Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas, 36). pag. 15.
7. Palmer (2001). Álgebras de Banach y teoría general de las *-álgebras. pág. 1283.
8. Para el término, compárese el teorema de Engel , también sobre nilpotencia.
9. Bechtell (1971), pág. 51, Teorema 5.1.3
10. Isaacs (2008), Teoría 1.26

Referencias

• Bechtell, Homer (1971). La teoría de grupos . Addison-Wesley .
• Von Haeseler, Friedrich (2002). Secuencias Automáticas . Exposiciones de De Gruyter en Matemáticas. vol. 36. Berlín: Walter de Gruyter . ISBN 3-11-015629-6.
• Hungerford, Thomas W. (1974). Álgebra . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
• Isaacs, I. Martin (2008). Teoría de grupos finitos . Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-4344-4.
• Palmer, Theodore W. (1994). Álgebras de Banach y teoría general de las *-álgebras . Cambridge University Press . ISBN 0-521-36638-0.
• Stammbach, Urs (1973). Homología en la teoría de grupos . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 359. Springer-Verlag.revisar
• Suprunenko, DA (1976). Grupos de matrices . Providence, Rhode Island: Sociedad Americana de Matemáticas . ISBN 0-8218-1341-2.
• Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Temas de teoría de grupos . Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. ISBN 1-85233-235-2.
• Zassenhaus, Hans (1999). La teoría de grupos . Nueva York: Dover Publications . ISBN. 0-486-40922-8.