En matemáticas , en el ámbito de la teoría de grupos , se dice que un grupo es un grupo CA o un grupo abeliano centralizador si el centralizador de cualquier elemento sin identidad es un subgrupo abeliano . Los grupos CA finitos son de importancia histórica como un ejemplo temprano del tipo de clasificaciones que se usarían en el teorema de Feit-Thompson y la clasificación de grupos finitos simples . Varios grupos infinitos importantes son grupos CA, como los grupos libres , los monstruos de Tarski y algunos grupos Burnside , y los grupos CA localmente finitos se han clasificado explícitamente. Los grupos CA también se denominan grupos conmutativo-transitivos (o grupos CT para abreviar) porque la conmutatividad es una relación transitiva entre los elementos no identitarios de un grupo si y sólo si el grupo es un grupo CA.
Varios matemáticos clasificaron grupos CA localmente finitos entre 1925 y 1998. En primer lugar, se demostró que los grupos CA finitos eran simples o resolubles (Weisner 1925). Luego, en el teorema de Brauer-Suzuki-Wall (Brauer, Suzuki y Wall 1958), se demostró que los grupos CA finitos de orden par eran grupos de Frobenius , grupos abelianos o grupos lineales especiales proyectivos bidimensionales sobre un campo finito de orden par, PSL(2, 2 f ) para f ≥ 2. Finalmente, se demostró que los grupos CA finitos de orden impar son grupos de Frobenius o grupos abelianos en (Suzuki 1957) y, por lo tanto, en particular, nunca son simples no abelianos.
Los grupos CA eran importantes en el contexto de la clasificación de grupos finitos simples . Michio Suzuki demostró que todo grupo CA finito , simple y no abeliano es de orden par . Este resultado se extendió primero al teorema de Feit-Hall-Thompson que muestra que los grupos CN finitos, simples y no abelianos tenían orden par, y luego al teorema de Feit-Thompson que establece que todo grupo finito, simple y no abeliano es de orden par. En los ejemplos 1 y 2 se ofrece una exposición de libro de texto sobre la clasificación de grupos CA finitos (Suzuki 1986, págs. 291-305). Se incluye una descripción más detallada de los grupos de Frobenius que aparecen en (Wu 1998), donde se muestra que un grupo CA finito y soluble es un producto semidirecto de un grupo abeliano y un automorfismo libre de punto fijo, y que a la inversa, cada dicho producto semidirecto es un grupo CA finito y soluble. Wu también amplió la clasificación de Suzuki et al. a grupos localmente finitos .
Todo grupo abeliano es un grupo CA, y un grupo con un centro no trivial es un grupo CA si y sólo si es abeliano. Los grupos finitos CA se clasifican: los solubles son productos semidirectos de grupos abelianos por grupos cíclicos de modo que cada elemento no trivial actúa libremente en punto fijo e incluyen grupos como los grupos diédricos de orden 4 k +2, y los grupo alterno en 4 puntos de orden 12, mientras que los que no tienen solución son todos simples y son los grupos lineales especiales proyectivos bidimensionales PSL(2, 2 n ) para n ≥ 2. Los grupos CA infinitos incluyen grupos libres , PSL(2, R ) y grupos de Burnside de gran exponente primo (Lyndon & Schupp 2001, p. 10). Algunos resultados más recientes en el caso infinito se incluyen en (Wu 1998), incluida una clasificación de grupos CA localmente finitos . Wu también observa que los monstruos de Tarski son ejemplos obvios de infinitos grupos CA simples.