Tipo de grupo infinito en teoría de grupos.
En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , un grupo de monstruos de Tarski , llamado así por Alfred Tarski , es un grupo infinito G , tal que todo subgrupo propio H de G , distinto del subgrupo identidad, es un grupo cíclico de orden fijo. número primo p . Un grupo de monstruos Tarski es necesariamente simple . Fue mostrado por Alexander Yu. Olshanskii en 1979 que existen grupos de Tarski y que hay un grupo p de Tarski para cada primo p > 10 75 . Son una fuente de contraejemplos de conjeturas en teoría de grupos , sobre todo del problema de Burnside y la conjetura de von Neumann .
Definición
Sea un número primo fijo. Un grupo infinito se llama grupo de monstruos de Tarski si cada subgrupo no trivial (es decir, cada subgrupo distinto de 1 y G) tiene elementos.
Propiedades
- es necesariamente generado de forma finita. De hecho, es generado por cada dos elementos no conmutantes.
- es sencillo. Si y es algún subgrupo distinto del subgrupo tendría elementos.
- La construcción de Olshanskii muestra de hecho que hay un continuo: muchos grupos de monstruos de Tarski no isomorfos para cada primo .
- Los grupos de monstruos de Tarski son ejemplos de grupos no susceptibles que no contienen subgrupos libres .
Referencias
- A. Yu. Olshanskii , Un grupo infinito con subgrupos de órdenes primos, Math. URSS Izv. 16 (1981), 279–289; traducción de Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980), 309–321.
- A. Yu. Olshanskii , Grupos de período acotado con subgrupos de orden primo, Algebra and Logic 21 (1983), 369–418; traducción de Álgebra i Logika 21 (1982), 553–618.
- Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991), Geometría de la definición de relaciones en grupos , Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética), vol. 70, Dordrecht: Grupo de editores académicos de Kluwer, ISBN 978-0-7923-1394-6