Continuo (teoría de conjuntos)

Los números reales o su cardinalidad

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , el continuo significa los números reales , o el número cardinal (infinito) correspondiente , denotado por . ^{[1] [2]} Georg Cantor demostró que la cardinalidad es mayor que el infinito más pequeño, es decir, . También demostró que es igual a , la cardinalidad del conjunto potencia de los números naturales . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\!}$

La cardinalidad del continuo es el tamaño del conjunto de números reales. La hipótesis del continuo se enuncia a veces diciendo que no existe ninguna cardinalidad entre la del continuo y la de los números naturales , , o alternativamente, que . ^[1] ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$

Continuo lineal

Según Raymond Wilder (1965), hay cuatro axiomas que convierten un conjunto C y la relación < en un continuo lineal :

• C simplemente se ordena con respecto a <.
• Si [ A,B ] es un corte de C , entonces A tiene un último elemento o B tiene un primer elemento. (compara el corte de Dedekind )
• Existe un subconjunto numerable no vacío S de C tal que, si x,y ∈ C tal que x < y , entonces existe z ∈ S tal que x < z < y . ( axioma de separabilidad )
• C no tiene primer ni último elemento. ( Axioma de ilimitación )

Estos axiomas caracterizan el tipo de orden de la recta de números reales .

Véase también

• Aleph nulo
• El problema de Suslin
• Número transfinito

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Continuum". mathworld.wolfram.com . Consultado el 12 de agosto de 2020 .
2. "Número transfinito | Matemáticas". Enciclopedia Británica . Consultado el 12 de agosto de 2020 .

Bibliografía

• Raymond L. Wilder (1965) Los fundamentos de las matemáticas , 2.ª ed., página 150, John Wiley & Sons .