grupo amigable

En matemáticas , un grupo susceptible es un grupo topológico localmente compacto G que lleva una especie de operación de promedio en funciones acotadas que es invariante bajo traducción por elementos del grupo. La definición original, en términos de una medida (o media) finitamente aditiva en subconjuntos de G , fue introducida por John von Neumann en 1929 bajo el nombre alemán "messbar" ("medible" en inglés) en respuesta a la paradoja de Banach-Tarski. . En 1949, Mahlon M. Day introdujo la traducción al inglés "amenable", aparentemente como un juego de palabras con " mean ". ^[a]

El paso crítico en la construcción de la paradoja de Banach-Tarski es encontrar dentro del grupo de rotación SO(3) un subgrupo libre en dos generadores. Los grupos dóciles no pueden contener a tales grupos y no permiten este tipo de construcción paradójica.

La amabilidad tiene muchas definiciones equivalentes. En el campo del análisis , la definición es en términos de funcionales lineales . Una forma intuitiva de entender esta versión es que el soporte de la representación regular es todo el espacio de representaciones irreductibles .

En teoría de grupos discretos , donde G tiene la topología discreta , se utiliza una definición más simple. En este contexto, un grupo es aceptable si se puede decir qué proporción de G ocupa cualquier subconjunto dado. Por ejemplo, cualquier subgrupo del grupo de números enteros es generado por algún número entero . Si entonces el subgrupo ocupa una proporción 0. En caso contrario, ocupará todo el grupo. Aunque tanto el grupo como el subgrupo tienen infinitos elementos, existe un sentido de proporción bien definido. $(\mathbb {Z},+)$ $p\geq 0$ $p=0$ $1/p$

Si un grupo tiene una secuencia de Følner , automáticamente se acepta.

Definición para grupos localmente compactos

Sea G un grupo de Hausdorff localmente compacto . Entonces es bien sabido que posee una medida de anillo no trivial invariante de traducción izquierda (o derecha) única y de escala completa, la medida de Haar . (Esta es una medida regular de Borel cuando G es contable en segundo lugar ; hay medidas izquierda y derecha cuando G es compacto). Considere el espacio de Banach L ^∞ ( G ) de funciones mensurables esencialmente acotadas dentro de este espacio de medidas (que es claramente independiente de la escala de la medida de Haar).

Definición 1. Se dice que un funcional lineal Λ en Hom( L ^∞ ( G ), R ) es una media si Λ tiene norma 1 y no es negativo, es decir, f ≥ 0 ae implica Λ( f ) ≥ 0.

Definición 2. Se dice que una media Λ en Hom( L ^∞ ( G ), R ) es invariante a la izquierda (respectivamente invariante a la derecha ) si Λ( g · f ) = Λ( f ) para todo g en G , y f en L ^∞ ( G ) con respecto a la acción de desplazamiento hacia la izquierda (respectivamente hacia la derecha) de g · f (x) = f ( g ⁻¹x ) (respectivamente f · g (x) = f ( xg ⁻¹ )).

Definición 3. Un grupo de Hausdorff localmente compacto se denomina dócil si admite una media invariante a la izquierda (o a la derecha).

Ejemplo

Como ejemplo de grupos compactos, considere el grupo circular. La gráfica de una función típica f ≥ 0 parece una curva irregular sobre un círculo, que se puede hacer arrancando el extremo de un tubo de papel. Luego, la función lineal promediaría la curva cortando un poco de papel de un lugar y pegándolo en otro lugar, creando nuevamente una parte superior plana. Esta es la media invariante.

La invariancia hacia la izquierda significaría que girar el tubo no cambia la altura de la parte superior plana en el extremo. Es decir, sólo importa la forma del tubo. Combinado con linealidad, positividad y norma-1, esto es suficiente para demostrar que la media invariante que hemos construido es única.

Como ejemplo de grupos localmente compactos, considere el grupo de números enteros. Una función acotada f es simplemente una función acotada de tipo y su media es el promedio móvil . $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$ $\lim _{n}{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=-n}^{n}f(k)$

Condiciones equivalentes de dócilidad.

Pier (1984) contiene una descripción exhaustiva de las condiciones de un segundo grupo G contable localmente compacto que son equivalentes a la adaptabilidad: ^[2]

Existencia de una media invariante izquierda (o derecha) en L ^∞ ( G ). La definición original, que depende del axioma de elección .
Existencia de estados invariantes de izquierda. Hay un estado invariante a la izquierda en cualquier subálgebra C* unital invariante a la izquierda separable de las funciones continuas acotadas en G .
Propiedad de punto fijo. Cualquier acción del grupo mediante transformaciones afines continuas sobre un subconjunto convexo compacto de un espacio vectorial topológico localmente convexo (separable) tiene un punto fijo. Para grupos abelianos localmente compactos, esta propiedad se satisface como resultado del teorema del punto fijo de Markov-Kakutani .
Doble irreductible. Todas las representaciones irreductibles están débilmente contenidas en la representación regular izquierda λ en L ² ( G ).
Representación trivial. La representación trivial de G está débilmente contenida en la representación regular de la izquierda.
Condición divina. Toda medida definida positiva acotada μ sobre G satisface μ (1) ≥ 0. Valette mejoró este criterio demostrando que es suficiente preguntar que, para toda función continua positiva definida compactamente apoyada f sobre G , la función Δ ^–½f tiene una integral no negativa con respecto a la medida de Haar, donde Δ denota la función modular. ^[3]
Condición de invariancia asintótica de Day. Hay una secuencia de funciones integrables no negativas φ _n con integral 1 en G tal que λ( g )φ _n − φ _n tiende a 0 en la topología débil en L ¹ ( G ).
La condición de Reiter. Para cada subconjunto finito (o compacto) F de G hay una función integrable no negativa φ con integral 1 tal que λ( g )φ − φ es arbitrariamente pequeña en L ¹ ( G ) para g en F .
La condición de Dixmier. Para cada subconjunto finito (o compacto) F de G hay un vector unitario f en L ² ( G ) tal que λ( g ) f − f es arbitrariamente pequeño en L ² ( G ) para g en F .
Condición de Glicksberg-Reiter. Para cualquier f en L ¹ ( G ), la distancia entre 0 y el casco convexo cerrado en L ¹ ( G ) de la izquierda se traduce λ( g ) f es igual |∫ f |.
Condición de Følner . Para cada subconjunto finito (o compacto) F de G hay un subconjunto U medible de G con medida de Haar positiva finita tal que m ( U Δ gU )/m( U ) es arbitrariamente pequeño para g en F .
Condición de leptina. Para cada subconjunto finito (o compacto) F de G hay un subconjunto U medible de G con medida de Haar positiva finita tal que m ( FU Δ U )/m( U ) es arbitrariamente pequeño.
La condición de Kesten . La convolución izquierda en L ² ( G ) mediante una medida de probabilidad simétrica en G da un operador de norma de operador 1.
Condición cohomológica de Johnson. El álgebra de Banach A = L ¹ ( G ) se puede considerar como un álgebra de Banach , es decir, cualquier derivación acotada de A en el dual de un bimódulo A de Banach es interna.

Caso de grupos discretos

La definición de adaptabilidad es más simple en el caso de un grupo discreto , ^[4] es decir, un grupo equipado con topología discreta. ^[5]

Definición. Un grupo discreto G es factible si existe una medida finitamente aditiva (también llamada media), una función que asigna a cada subconjunto de G un número de 0 a 1, tal que

La medida es una medida de probabilidad : la medida de todo el grupo G es 1.
La medida es finitamente aditiva : dados un número finito de subconjuntos disjuntos de G , la medida de la unión de los conjuntos es la suma de las medidas.
La medida es invariante a la izquierda : dado un subconjunto A y un elemento g de G , la medida de A es igual a la medida de gA . ( gA denota el conjunto de elementos ga para cada elemento a en A. Es decir, cada elemento de A se traduce a la izquierda por g ).

Esta definición se puede resumir así: G es factible si tiene una medida de probabilidad invariante por la izquierda finitamente aditiva. Dado un subconjunto A de G , se puede considerar que la medida responde a la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que un elemento aleatorio de G esté en A ?

Es un hecho que esta definición es equivalente a la definición en términos de L ^∞ ( G ).

Tener una medida μ en G nos permite definir la integración de funciones acotadas en G. Dada una función acotada f : G → R , la integral

\int _ {G}f\,d\mu

Se define como en la integración de Lebesgue . (Tenga en cuenta que algunas de las propiedades de la integral de Lebesgue fallan aquí, ya que nuestra medida es sólo finitamente aditiva).

Si un grupo tiene una medida invariante a la izquierda, automáticamente tiene una bi-invariante. Dada una medida invariante a la izquierda μ , la función μ ⁻ ( A ) = μ ( A ⁻¹ ) es una medida invariante a la derecha. La combinación de estos dos da una medida biinvariante:

\nu (A)=\int _{g\in G}\mu \left(Ag^{-1}\right)\,d\mu ^{-}.

Las condiciones equivalentes de adaptabilidad también se vuelven más simples en el caso de un grupo discreto contable Γ. Para tal grupo las siguientes condiciones son equivalentes: ^[2]

Γ es susceptible.
Si Γ actúa por isometrías en un espacio de Banach (separable) E , dejando un subconjunto convexo débilmente cerrado C de la bola unitaria cerrada de E * invariante, entonces Γ tiene un punto fijo en C.
Hay una norma continua invariante a la izquierda μ funcional en ℓ ^∞ (Γ) con μ (1) = 1 (esto requiere el axioma de elección ).
Hay un estado invariante a la izquierda μ en cualquier subálgebra C* unital separable invariante a la izquierda de ℓ ^∞ (Γ).
Existe un conjunto de medidas de probabilidad μ _n en Γ tales que || gramo · μ _norte − μ _norte || ₁ tiende a 0 por cada g en Γ (MM Día).
Hay vectores unitarios x _n en ℓ ² (Γ) tales que || gramo · x _norte − x _norte || ₂ tiende a 0 por cada g en Γ (J. Dixmier).
Hay subconjuntos finitos S _n de Γ tales que | gramo · S _norte Δ S _norte | / | S _norte | tiende a 0 para cada g en Γ (Følner).
Si μ es una medida de probabilidad simétrica en Γ con soporte que genera Γ, entonces la convolución por μ define un operador de norma 1 en ℓ ² (Γ) (Kesten).
Si Γ actúa por isometrías en un espacio de Banach (separable) E y f en ℓ ^∞ (Γ, E *) es un 1-cociclo acotado, es decir, f ( gh ) = f ( g ) + g · f ( h ), entonces f es un 1-colímite, es decir, f ( g ) = g ·φ − φ para algunos φ en E * (BE Johnson).
El grupo reducido C*-álgebra (ver el grupo reducido C*-álgebra C _r * ( G ) ) es nuclear .
El álgebra C* del grupo reducido es cuasidiagonal (J. Rosenberg, A. Tikuisis, S. White, W. Winter).
El álgebra de grupos de von Neumann (ver álgebras de von Neumann asociadas a grupos ) de Γ es hiperfinita (A. Connes).

Tenga en cuenta que A. Connes también demostró que el álgebra de grupos de von Neumann de cualquier grupo localmente compacto conexo es hiperfinito , por lo que la última condición ya no se aplica en el caso de grupos conexos.

La amabilidad está relacionada con la teoría espectral de ciertos operadores. Por ejemplo, el grupo fundamental de una variedad de Riemann cerrada es susceptible si y sólo si la parte inferior del espectro del laplaciano en el espacio L2 de la cubierta universal de la variedad es 0. ^[6]

Propiedades

Cada subgrupo (cerrado) de un grupo susceptible es susceptible.
Todo cociente de un grupo susceptible es susceptible.
Una extensión de grupo de un grupo dócil por un grupo dócil es nuevamente dócil. En particular, los productos directos finitos de grupos susceptibles son susceptibles, aunque los productos infinitos no tienen por qué serlo.
Los límites directos de los grupos susceptibles son susceptibles. En particular, si un grupo puede escribirse como una unión dirigida de subgrupos adaptables, entonces es adaptable.
Los grupos susceptibles son unitarizables ; lo contrario es un problema abierto.
Los grupos susceptibles discretos contables obedecen al teorema del isomorfismo de Ornstein . ^[7]^[8]

Ejemplos

Los grupos finitos son susceptibles. Utilice la medida de conteo con la definición discreta. En términos más generales, los grupos compactos son dóciles. La medida de Haar es una media invariante (única tomando la medida total 1).
El grupo de números enteros es susceptible (una secuencia de intervalos de longitud que tiende al infinito es una secuencia de Følner). La existencia de una medida de probabilidad finitamente aditiva y invariante por desplazamiento en el grupo Z también se deriva fácilmente del teorema de Hahn-Banach de esta manera. Sea S el operador de desplazamiento en el espacio de secuencia ℓ ^∞ ( Z ), que está definido por ( Sx ) _i = x _{i +1} para todo x ∈ ℓ ^∞ ( Z ), y sea u ∈ ℓ ^∞ ( Z ) el secuencia constante u _i = 1 para todo i ∈ Z . Cualquier elemento y ∈ Y :=range( S − I ) tiene una distancia mayor o igual a 1 desde u (de lo contrario y _i = x _i+1 - x _i sería positivo y acotado desde cero, de donde x _i no podría estar acotado). Esto implica que existe una forma lineal de norma uno bien definida en el subespacio R u + Y tomando de tu + y a t . Según el teorema de Hahn-Banach, este último admite una extensión lineal de norma uno en ℓ ^∞ ( Z ), que es, por construcción, una medida de probabilidad finitamente aditiva de cambio invariante en Z .
Si cada clase de conjugación en un grupo localmente compacto tiene cierre compacto, entonces el grupo es compatible. Ejemplos de grupos con esta propiedad incluyen grupos compactos, grupos abelianos localmente compactos y grupos discretos con clases de conjugación finitas . ^[9]
Según la propiedad de límite directo anterior, un grupo es dócil si todos sus subgrupos generados finitamente lo son. Es decir, los grupos localmente dóciles lo son.
- Por el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente , se deduce que los grupos abelianos son susceptibles.
De la propiedad de extensión anterior se deduce que un grupo es responsable si tiene un subgrupo susceptible de índice finito . Es decir, los grupos virtualmente dóciles son dóciles.
Además, se deduce que todos los grupos solubles son susceptibles.

Todos los ejemplos anteriores son elementales . La primera clase de ejemplos a continuación se puede utilizar para exhibir ejemplos susceptibles no elementales gracias a la existencia de grupos de crecimiento intermedio .

Los grupos finitamente generados de crecimiento subexponencial son susceptibles. Una subsecuencia adecuada de bolas proporcionará una secuencia de Følner. ^[10]
Los grupos simples infinitos generados de forma finita no se pueden obtener mediante construcciones bootstrap como se utilizan para construir grupos elementales susceptibles. Dado que existen grupos tan simples que son dóciles, debido a Juschenko y Monod , ^[11] esto proporciona nuevamente ejemplos no elementales de dóciles.

No ejemplos

Si un grupo discreto contable contiene un subgrupo libre (no abeliano) en dos generadores, entonces no es compatible. Lo contrario a esta afirmación es la llamada conjetura de von Neumann , que fue refutada por Olshanskii en 1980 utilizando sus monstruos de Tarski . Posteriormente, Adyan demostró que los grupos libres de Burnside no son susceptibles: dado que son periódicos , no pueden contener el grupo libre en dos generadores. Estos grupos se generan de forma finita, pero no se presentan de forma finita. Sin embargo, en 2002 Sapir y Olshanskii encontraron contraejemplos presentados finitamente : grupos presentados finitamente no susceptibles que tienen un subgrupo normal periódico con cociente de los números enteros. ^[12]

Para grupos lineales generados finitamente , sin embargo, la conjetura de von Neumann es verdadera según la alternativa de Tit : ^[13] cada subgrupo de GL ( n , k ) con k un campo tiene un subgrupo normal resoluble de índice finito (y por lo tanto es susceptible) o contiene el grupo libre en dos generadores. Aunque la prueba de Tit utilizó geometría algebraica , Guivarc'h encontró más tarde una prueba analítica basada en el teorema ergódico multiplicativo de V. Oseledets . ^[14] Se han demostrado análogos de la alternativa de Tit para muchas otras clases de grupos, como los grupos fundamentales de complejos simpliciales bidimensionales de curvatura no positiva . ^[15]

Ver también

Notas

↑ El primer uso publicado de la palabra por parte de Day se encuentra en su resumen de una reunión de verano de AMS en 1949. ^[1] Muchos libros de texto sobre amabilidad, como el de Volker Runde, sugieren que Day eligió la palabra como un juego de palabras.

Citas

^ Día de 1949, págs. 1054-1055.
^ ab Muelle 1984.
^ Valeta 1998.
^
Ver:
- Hoja verde 1969
- Muelle 1984
- Takesaki 2001
- Takesaki 2002
^ Weisstein, Eric W. "Grupo discreto". MundoMatemático .
^ Brooks 1981, págs. 581–598.
^ Ornstein y Weiss 1987, págs. 1-141.
^ Bowen 2012.
^ Leptina 1968.
^
Ver:
- Hoja verde 1969
- Muelle 1984
- Takesaki 2001
- Takesaki 2002
^ Juschenko y Monod 2013, págs. 775–787.
^ Olshanskii y Sapir 2002, págs. 43-169.
^ Tetas 1972, págs. 250-270.
^ Guivarc'h 1990, págs. 483–512.
^ Ballmann y Brin 1995, págs. 169-209.

Fuentes

Este artículo incorpora material del grupo Amenable en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Ballmann, Werner; Brin, Michael (1995), "Orbihedra of nonpositive curvature", Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 82 : 169–209, CiteSeerX 10.1.1.30.8282 , doi : 10.1007/BF02698640
Bowen, Lewis (2012). "Todo grupo contablemente infinito es casi Ornstein". Sistemas Dinámicos y Acciones Grupales . Matemáticas Contemporáneas. vol. 567, págs. 67–78. arXiv : 1103.4424 . doi :10.1090/conm/567.
Brooks, Robert (1981). "El grupo fundamental y el espectro del laplaciano". Comentario. Matemáticas. Helv. 56 : 581–598. doi :10.1007/bf02566228.
Día, MM (1949). "Medios sobre semigrupos y grupos". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 55 (11): 1054-1055.
Dixmier, Jacques (1977), C*-álgebras (traducido del francés por Francis Jellett) , Biblioteca Matemática de Holanda Septentrional, vol. 15, Holanda Septentrional
Greenleaf, FP (1969), Medios invariantes en grupos topológicos y sus aplicaciones , Van Nostrand Reinhold
Guivarc'h, Yves (1990), "Produits de matrices aléatoires et apps aux propriétés géometriques des sous-groupes du groupes linéaire", Teoría ergódica y sistemas dinámicos (en francés), 10 (3): 483–512, doi : 10.1017 /S0143385700005708
Juschenko, Kate; Monod, Nicolas (2013), "Sistemas Cantor, traducciones por partes y grupos simples susceptibles", Annals of Mathematics , 178 (2): 775–787, arXiv : 1204.2132 , doi :10.4007/annals.2013.178.2.7
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Valette, Alain (1998), "Sobre la caracterización de la dócilidad de Godement" (PDF) , Bull. Austral. Matemáticas. Soc. , 57 : 153–158, doi : 10.1017/s0004972700031506

enlaces externos

Algunas notas sobre la amabilidad de Terry Tao
Garrido, Alejandra. Una introducción a los grupos amigables