Representación uniformemente acotada

En matemáticas, una representación uniformemente acotada de un grupo localmente compacto en un espacio de Hilbert es un homomorfismo en los operadores invertibles acotados que es continuo para la topología de operadores fuerte y tal que es finito. En 1947, Béla Szőkefalvi-Nagy estableció que cualquier representación uniformemente acotada de los números enteros o los números reales es unitarizable , es decir, conjugada por un operador invertible a una representación unitaria . Para los números enteros, esto da un criterio para que un operador invertible sea similar a un operador unitario: las normas de operador de todas las potencias positivas y negativas deben estar uniformemente acotadas. El resultado sobre la unitarizabilidad de las representaciones uniformemente acotadas fue extendido en 1950 por Dixmier , Day y Nakamura-Takeda a todos los grupos amables localmente compactos , siguiendo esencialmente el método de prueba de Sz-Nagy. Se sabe que el resultado falla para grupos no dóciles como SL(2, R ) y el grupo libre en dos generadores. Dixmier (1950) conjeturó que un grupo localmente compacto es dócil si y solo si cada representación uniformemente acotada es unitarizable. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sup _{g\in G}\|T_{g}\|_{B(H)}}$

Declaración

Sea G un grupo ameno localmente compacto y sea T _g un homomorfismo de G en GL ( H ), el grupo de operadores invertibles en un espacio de Hilbert tal que

• para cada x en H el vector gx en G es continuo;
• Las normas de operador de los operadores T _g están uniformemente acotadas.

Entonces hay un operador invertible positivo S en H tal que S T _g S ⁻¹ es unitario para cada g en G .

En consecuencia, si T es un operador invertible con todas sus potencias positivas y negativas uniformemente acotadas en la norma del operador, entonces T es conjugado por un operador invertible positivo a un unitario.

Prueba

Suponiendo que las funciones son continuas

${\displaystyle \displaystyle {f_{x,y}(g)=(T_{g}^{-1}x,T_{g}^{-1}y),}}$

generar una subálgebra unital C* separable A de las funciones continuas uniformemente acotadas en G . Por construcción, el álgebra es invariante bajo traslación izquierda. Por amenabilidad hay un estado invariante φ en A . Se sigue que

${\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{0}=\varphi (f_{x,y})}}$

es un nuevo producto interno que satisface H

${\displaystyle \displaystyle {M^{-1}\|x\|\leq \|x\|_{0}\leq M\|x\|}}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle {M=\sup _{g}\|T_{g}\|<\infty .}}$

Por lo tanto, existe un operador invertible positivo P tal que

${\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{0}=(Px,y).}}$

Por construcción

${\displaystyle \displaystyle {(T_{g}x,T_{g}y)_{0}=(x,y)_{0}.}}$

Sea S la única raíz cuadrada positiva de P. Entonces

${\displaystyle \displaystyle {(ST_{g}x,ST_{g}y)=(PT_{g}x,T_{g}y)=(Px,y)=(Sx,Sy).}}$

Aplicando S ⁻¹ a x e y , se deduce que

${\displaystyle \displaystyle {(ST_{g}S^{-1}x,ST_{g}S^{-1}y)=(x,y).}}$

Desde los operadores

${\displaystyle \displaystyle {U_{g}=ST_{g}S^{-1}}}$

son invertibles, se deduce que son unitarias.

Ejemplos de representaciones no unitarizables

SL(2,R)

La serie complementaria de representaciones unitarias irreducibles de SL(2,R) fue introducida por Bargmann (1947). Estas representaciones pueden realizarse en funciones sobre el círculo o sobre la línea real: la transformada de Cayley proporciona la equivalencia unitaria entre las dos realizaciones. ^[1]

De hecho, para 0 < σ < 1/2 y f , g funciones continuas en el círculo definen

${\displaystyle \displaystyle {(f,g)_{\sigma }={1 \over 4\pi ^{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(s){\overline {g(t)}}k_{\sigma }(s-t)\,ds\,dt,}}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle {k_{\sigma }(s)=(1-\cos s)^{\sigma -1/2}.}}$

Como la función k _σ es integrable, esta integral converge. De hecho

${\displaystyle \displaystyle {(f,g)_{\sigma }\leq \|f\|\cdot \|g\|,}}$

^{donde las normas son las normas L 2} habituales .

Las funciones

${\displaystyle \displaystyle {f_{m}(t)=e^{imt}}}$

son ortogonales con

${\displaystyle \displaystyle {(f_{m},f_{m})_{\sigma }=\prod _{i=1}^{|m|}{i-1/2-\sigma \over i-1/2+\sigma }={\Gamma (1/2+\sigma )\Gamma (|m|+1/2-\sigma ) \over \Gamma (1/2-\sigma )\Gamma (m+1/2+\sigma )}.}}$

Como estas cantidades son positivas, ( f , g ) _σ define un producto interno. La completitud del espacio de Hilbert se denota por H _σ .

Para F , G funciones continuas de soporte compacto en R , definamos

${\displaystyle \displaystyle {(F,G)_{\sigma }^{\prime }=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }F(x){\overline {G(y)}}|x-y|^{2\sigma -1}\,dx\,dy.}}$

Dado que, consideradas como distribuciones, la transformada de Fourier de | x | ^{2σ – 1} es C _σ | t | ^−2σ para alguna constante positiva C _σ , la expresión anterior se puede reescribir:

${\displaystyle \displaystyle {(F,G)_{\sigma }^{\prime }=C_{\sigma }\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {F}}(t){\overline {{\widehat {G}}(t)}}|t|^{-2\sigma }\,dt.}}$

Por lo tanto, es un producto interno. Sea H' _σ su completitud en el espacio de Hilbert.

La transformada de Cayley da lugar a un operador U :

${\displaystyle \displaystyle {Uf(x)=2^{\sigma /2-3/4}\pi ^{-1}|x+i|^{1-2\sigma }f\left({x-i \over x+i}\right).}}$

U se extiende a una isometría de H _σ sobre H ' _σ . Su adjunto está dado por

${\displaystyle \displaystyle {U^{*}F(e^{it})=2^{3/4-\sigma /2}\pi |1-e^{it}|^{1-2\sigma }F\left({1+e^{it} \over 1-e^{it}}\right).}}$

La transformada de Cayley intercambia las acciones de las transformaciones de Möbius de SU(1,1) en S ¹ y de SL(2, R ) en R .

El operador U entrelaza acciones correspondientes de SU(1,1) en H _σ y SL(2, R ) en H ' _σ .

Para g en SU(1,1) dado por

${\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},}}$

con

${\displaystyle \displaystyle {|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1,}}$

y f continua, conjunto

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{\sigma }(g^{-1})f(z)=|{\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}|^{1-2\sigma }f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}}\right).}}$

Para g' en SL(2, R ) dado por

${\displaystyle \displaystyle {g^{\prime }={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}}$

con ad – bc = 1, establece

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{\sigma }^{\prime }((g^{\prime })^{-1})F(x)=|cx+d|^{1-2\sigma }F\left({ax+b \over cx+d}\right).}}$

Si g ' corresponde a g bajo la transformada de Cayley entonces

${\displaystyle \displaystyle {U\pi _{\sigma }(g)U^{*}=\pi _{\sigma }^{\prime }(g^{\prime }).}}$

La descomposición polar muestra que SL(2,R) = KAK con K = SO(2) y A el subgrupo de matrices diagonales positivas. K corresponde a las matrices diagonales en SU(1,1). Puesto que evidentemente K actúa unitariamente sobre H _σ y A actúa unitariamente sobre H ' _σ , ambas representaciones son unitarias. Las representaciones son irreducibles porque la acción del álgebra de Lie sobre los vectores base f _m es irreducible. Esta familia de representaciones unitarias irreducibles se denomina serie complementaria .

Ehrenpreis y Mautner (1955) construyeron una continuación analítica de esta familia de representaciones de la siguiente manera. ^[2] Si s = σ + iτ, g se encuentra en SU(1,1) y f en H _σ , defina

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}(g^{-1})f(z)=|{\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}|^{1-2s}f\left({\alpha z+\beta \over {\overline {\beta }}z+{\overline {\alpha }}}\right).}}$

De manera similar, si g ' se encuentra en SL(2, R ) y F en H ' _σ , defina

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}^{\prime }((g^{\prime })^{-1})F(x)=|cx+d|^{1-2s}F\left({ax+b \over cx+d}\right).}}$

Como antes, la U unitaria entrelaza estas dos acciones. K actúa unitariamente sobre H _σ y A mediante una representación uniformemente acotada sobre H ' _σ . La acción de la base estándar del álgebra de Lie de complejización sobre esta base se puede calcular: ^[3]

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{s}(L_{0})f_{m}=mf_{m},\,\,\pi _{s}(L_{-1})f_{m}=-(m+1/2+s)f_{m+1},\,\,\pi _{s}(L_{1})f_{m}=-(m-1/2-s)f_{m-1}.}}$

Si la representación fuera unitarizable para τ ≠ 0, entonces el operador de similitud T sobre H _σ tendría que conmutar con K , ya que K conserva el producto interno original. Por lo tanto, los vectores Tf _m seguirían siendo ortogonales para el nuevo producto interno y los operadores

${\displaystyle \displaystyle {L_{i}^{\prime }=TL_{i}T^{-1}}}$

satisfarían las mismas relaciones para

${\displaystyle \displaystyle {f_{m}^{\prime }=Tf_{m}=\lambda _{m}f_{m}.}}$

En este caso

${\displaystyle \displaystyle {[L_{m}^{\prime },L_{n}^{\prime }]=(m-n)L_{m+n}^{\prime },\,\,(L_{i}^{\prime })^{*}=L_{-i}^{\prime }.}}$

Es elemental verificar que infinitesimalmente tal representación no puede existir si τ ≠ 0. ^[4]

De hecho, sea v ₀ = f ' ₀ y establezcamos

${\displaystyle \displaystyle {v_{1}=L_{-1}^{\prime }v_{0}.}}$

Entonces

${\displaystyle \displaystyle {L_{1}^{\prime }v_{1}=cv_{0}}}$

para alguna constante c . Por otra parte,

${\displaystyle \displaystyle {\|v_{1}\|^{2}=(L_{-1}^{\prime }v_{0},v_{1})=(v_{0},L_{1}^{\prime }v_{1})={\overline {c}}\|v_{0}\|^{2}.}}$

Por lo tanto, c debe ser real y positivo. Las fórmulas anteriores muestran que

${\displaystyle \displaystyle {c={1 \over 4}-s^{2}={1 \over 4}-\sigma ^{2}+\tau ^{2}-2i\sigma \tau ,}}$

Por lo tanto, la representación π _s es unitarizable sólo si τ = 0.

Grupo libre en dos generadores

El grupo G = SL(2, R ) contiene al grupo discreto Γ = SL(2, Z ) como un subgrupo cerrado de covolumen finito, ya que este subgrupo actúa en el semiplano superior con un dominio fundamental de área hiperbólica finita. ^[5] El grupo SL(2, Z ) contiene un subgrupo de índice 12 isomorfo a F ₂ el grupo libre en dos generadores. ^[6] Por lo tanto G tiene un subgrupo Γ ₁ de covolumen finito, isomorfo a F ₂ . Si L es un subgrupo cerrado de covolumen finito en un grupo localmente compacto G , y π es una representación uniformemente acotada no unitarizable de G en un espacio de Hilbert L , entonces su restricción a L es uniformemente acotada y no unitarizable. Porque si no, aplicando un operador invertible acotado, el producto interno puede hacerse invariante bajo L ; y luego a su vez invariante bajo G redefiniendo

${\displaystyle \displaystyle {(x,y)_{1}=\int _{H\backslash G}(gx,gy)\,dg.}}$

Como en la prueba anterior, la acotación uniforme garantiza que la norma definida por este producto interno es equivalente al producto interno original. Pero entonces la representación original sería unitarizable en G , una contradicción. El mismo argumento funciona para cualquier subgrupo discreto de G de covolumen finito. En particular, los grupos de superficies , que son subgrupos cocompactos, tienen representaciones uniformemente acotadas que no son unitarizables.

Existen construcciones más directas de representaciones uniformemente acotadas de grupos libres que no son unitarizables: éstas se examinan en Pisier (2001). Los primeros ejemplos de este tipo se describen en Figà-Talamanca y Picardello (1983), donde se construye un análogo de la serie complementaria.

Más tarde, Szwarc (1988) dio una construcción relacionada pero más simple, en el espacio de Hilbert H = ² ( F ₂ ), de una familia holomorfa de representaciones uniformemente acotadas π _z de F ₂ para |z| < 1; estas no son unitarizables cuando 1/√3 < | z | < 1 y z no es real. Sea L ( g ) la longitud de palabra reducida en F ₂ para un conjunto dado de generadores a , b . Sea T el operador acotado definido sobre elementos base por ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \displaystyle {Te_{1}=0,\,\,Te_{g}=e_{g^{\prime }},}}$

donde g ' se obtiene borrando la última letra en la expresión de g como palabra reducida; identificando F ₂ con los vértices de su grafo de Cayley , un árbol con raíz, ^[7] esto corresponde a pasar de un vértice al siguiente vértice más cercano al origen o raíz. Para |z| < 1

${\displaystyle \displaystyle {\pi _{z}(g)=(I-zT)^{-1}\lambda (g)(I-zT)}}$

está bien definida en funciones finitamente soportadas. Pytlik y Szwarc (1986) habían demostrado anteriormente que se extiende a una representación uniformemente acotada en H que satisface

${\displaystyle \displaystyle {\|\pi _{z}(g)\|\leq {1+|z| \over 1-|z|}.}}$

De hecho, es fácil comprobar que el operador λ( g ) T λ( g ) ⁻¹ – T tiene rango finito, con rango V _g , el espacio de dimensión finita de funciones soportadas en el conjunto de vértices que unen g al origen. Pues en cualquier función que se anule en este conjunto finito, T y λ( g ) T λ( g ) ⁻¹ son iguales; y ambos dejan invariante V _g , en el que actúan como contracciones y adjuntos entre sí. Por tanto, si f tiene soporte finito y norma 1,

${\displaystyle \displaystyle {\|\pi _{z}(g)f\|=\|\lambda (g)f+\sum _{n=0}^{\infty }z^{n+1}T^{n}[T,\lambda (g)]f\|\leq 1+2\sum _{n=0}^{n}|z|^{n+1}={1+|z| \over 1-|z|}.}}$

Para |z| < 1/√3, estas representaciones son todas similares a la representación regular λ. Si, por el contrario, 1/√3 < |z| <1, entonces el operador

${\displaystyle \displaystyle {D=\pi _{z}(a)+\pi _{z}(a^{-1})+\pi _{z}(b)+\pi _{z}(b^{-1})}}$

satisface

${\displaystyle \displaystyle {Df=(3z+z^{-1})f}}$

donde f en H se define por

${\displaystyle \displaystyle {f(1)=1,\,\,f(g)={3 \over 4}(3z)^{-L(g)}\,\,(g\neq 1).}}$

Por lo tanto, si z no es real, D tiene un valor propio que no es real. Pero entonces π _z no puede ser unitarizable, ya que de lo contrario D sería similar a un operador autoadjunto.

Problema de Dixmier

Jacques Dixmier se preguntó en 1950 si los grupos amables se caracterizan por la unitarizabilidad , es decir, la propiedad de que todas sus representaciones uniformemente acotadas son unitarizables. Este problema sigue abierto hasta el día de hoy.

Un argumento de inducción elemental muestra que un subgrupo de un grupo unitarizable sigue siendo unitarizable. Por lo tanto, la conjetura de von Neumann habría implicado una respuesta positiva al problema de Dixmier, de haber sido cierta. En cualquier caso, se deduce que un contraejemplo a la conjetura de Dixmier solo podría ser un grupo no dócil sin subgrupos libres. En particular, la conjetura de Dixmier es cierta para todos los grupos lineales por la alternativa de Tits .

Un criterio debido a Epstein y Monod muestra que también hay grupos no unitarizables sin subgrupos libres. ^[8] De hecho, incluso algunos grupos de Burnside no son unitarizables, como lo demostraron Monod y Ozawa. ^[9]

Pisier realizó un progreso considerable al vincular la unitarizabilidad a una noción de longitud de factorización, lo que le permitió resolver una forma modificada del problema de Dixmier.

La brecha potencial entre unitarizabilidad y adecuabilidad puede ilustrarse aún más con los siguientes problemas abiertos, todos los cuales se vuelven elementales si se reemplaza "unitarizable" por "adecuable":

• ¿El producto directo de dos grupos unitarizables es unitarizable?
• ¿Es unitarizable una unión dirigida de grupos unitarizables?
• Si contiene un subgrupo normal susceptible tal que es unitarizable, ¿se sigue que es unitarizable? (Es elemental que es unitarizable si es así y es susceptible.) ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Notas

1. Sugiura 1990, págs. 391–393
2. Lohoué 1980
3. Bargmann 1947, pág. 613
4. Ver:
   • Bargman 1947
   • Howe y Tan 1992
   • Lang 1985, págs. 122-123
5. Ver:
   • Serre 1977
   • Gelfand, Graev y Pyatetskii-Shapiro 1969
6. Ver:
   • Magnus, Karrass y Solitario 1976
   • Serre 1980
7. Serre 1980.
8. Epstein y Monod 2009
9. Monod y Ozawa 2010

Referencias

• Sz-Nagy, Béla (1947), "Sobre transformaciones lineales uniformemente acotadas en el espacio de Hilbert", Acta Univ. Szeged. Secta. Ciencia. Matemáticas. , 11 : 152-157
• Dixmier, Jacques (1950), "Les moyennes invariantes dans les semi-groupes et leurs application", Acta Sci. Matemáticas. Szeged , 12 : 213–227
• Day, Mahlon M. (1950), "Medias para las funciones acotadas y ergodicidad de las representaciones acotadas de semigrupos", Trans. Amer. Math. Soc. , 69 (2): 276–291, doi : 10.1090/s0002-9947-1950-0044031-5 , JSTOR  1990358
• Epstein, Inessa; Monod, Nicolas (2009), "Representaciones no unitarias y bosques aleatorios", International Mathematics Research Notices (22): 4336–4353, arXiv : 0811.3422 , doi :10.1093/imrn/rnp090, S2CID  14254765
• Nakamura, Masahiro; Takeda, Ziro (1951), "Representación de grupo y límite de Banach", Tôhoku Mathematical Journal , 3 (2): 132–135, doi : 10.2748/tmj/1178245513
• Pisier, Gilles (2001), Problemas de similitud y mapas completamente acotados , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1618 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3540415244
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• Monod, Nicolas ; Ozawa, Narutaka (2010), "El problema de Dixmier, los faroleros y los grupos de Burnside", Journal of Functional Analysis , 258 : 255–259, arXiv : 0902.4585 , doi : 10.1016/j.jfa.2009.06.029 , S2CID  17844080
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