En matemáticas, un grupo de 3 pasos es un tipo especial de grupo de longitud de ajuste como máximo 3, que se utiliza en la clasificación de grupos CN y en el teorema de Feit-Thompson . La definición de grupo de 3 pasos en estos dos casos es ligeramente diferente.
grupos CN
En la teoría de grupos CN, un grupo de 3 pasos (para algún primo p ) es un grupo tal que:
- GRAMO = O p , p ' , p ( GRAMO )
- O p , p ′ ( G ) es un grupo de Frobenius con núcleo O p ( G )
- G /O p ( G ) es un grupo de Frobenius con núcleo O p , p ′ ( G )/O p ( G )
Cualquier grupo de 3 pasos es un grupo CN soluble y, a la inversa, cualquier grupo CN soluble es nilpotente, un grupo de Frobenius o un grupo de 3 pasos.
Ejemplo: el grupo simétrico S 4 es un grupo de 3 pasos para el primo p = 2 .
Grupos de orden impar
Feit y Thompson (1963, p.780) definieron un grupo de tres pasos como un grupo G que satisface las siguientes condiciones:
- El grupo derivado de G es un subgrupo Hall con complemento cíclico Q.
- Si H es el subgrupo Hall nilpotente normal máximo de G , entonces G ′ ′ ⊆ H C G ( H )⊆ G ′ y H C G es nilpotente y H es no cíclico.
- Para q ∈ Q no trivial, C G ( q ) es cíclico y no trivial e independiente de q .
Referencias
- Feit, Walter ; Thompson, John G. (1963), "Solubilidad de grupos de orden impar", Pacific Journal of Mathematics , 13 : 775–1029, doi : 10.2140/pjm.1963.13.775 , ISSN 0030-8730, MR 0166261
- Feit, Walter ; Thompson, John G .; Hall, Marshall Jr (1960), "Grupos finitos en los que el centralizador de cualquier elemento no identitario es nilpotente", Mathematische Zeitschrift , 74 : 1–17, doi :10.1007/BF01180468, ISSN 0025-5874, MR 0114856
- Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, señor 0569209
