Sistema cuántico abierto

Un sistema de mecánica cuántica que interactúa con un entorno de mecánica cuántica.

En física , un sistema cuántico abierto es un sistema mecánico- cuántico que interactúa con un sistema cuántico externo , que se conoce como entorno o baño . En general, estas interacciones cambian significativamente la dinámica del sistema y dan como resultado una disipación cuántica , de modo que la información contenida en el sistema se pierde en su entorno. Dado que ningún sistema cuántico está completamente aislado de su entorno, ^[1] es importante desarrollar un marco teórico para tratar estas interacciones con el fin de obtener una comprensión precisa de los sistemas cuánticos.

Las técnicas desarrolladas en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos han demostrado ser poderosas en campos como la óptica cuántica , la teoría de la medición cuántica , la mecánica estadística cuántica , la ciencia de la información cuántica , la termodinámica cuántica , la cosmología cuántica , la biología cuántica y las aproximaciones semiclásicas.

Sistema cuántico y entorno.

Una descripción completa de un sistema cuántico requiere la inclusión del entorno. Describir completamente el sistema combinado resultante requiere entonces la inclusión de su entorno, lo que da como resultado un nuevo sistema que sólo puede describirse completamente si se incluye su entorno, etc. El resultado final de este proceso de incorporación es el estado de todo el universo descrito por una función de onda . El hecho de que todo sistema cuántico tenga cierto grado de apertura también significa que ningún sistema cuántico puede estar jamás en estado puro . Un estado puro es un equivalente unitario de un estado fundamental de temperatura cero , prohibido por la tercera ley de la termodinámica . ${\displaystyle \Psi }$

Mampara de baño del sistema

Incluso si el sistema combinado está en estado puro y puede describirse mediante una función de onda , un subsistema en general no puede describirse mediante una función de onda. Esta observación motivó el formalismo de las matrices de densidad , u operadores de densidad, introducido por John von Neumann ^[2] en 1927 y de forma independiente, pero menos sistemática, por Lev Landau en 1927 y Felix Bloch en 1946. En general, el estado de un subsistema se describe por el operador de densidad y el valor esperado de un observable por el producto escalar . No hay forma de saber si el sistema combinado es puro a partir del conocimiento de los observables del subsistema únicamente. En particular, si el sistema combinado tiene entrelazamiento cuántico , el estado del subsistema no es puro. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\rho \cdot A)={\rm {{tr}\{\rho A\}}}}$

Dinámica

En general, la evolución temporal de los sistemas cuánticos cerrados se describe mediante operadores unitarios que actúan sobre el sistema. Sin embargo, para los sistemas abiertos, las interacciones entre el sistema y su entorno hacen que la dinámica del sistema no pueda describirse con precisión utilizando únicamente operadores unitarios.

La evolución temporal de los sistemas cuánticos se puede determinar resolviendo las ecuaciones efectivas de movimiento, también conocidas como ecuaciones maestras , que gobiernan cómo la matriz de densidad que describe el sistema cambia con el tiempo y la dinámica de los observables asociados con el sistema. Sin embargo, en general, el entorno que queremos modelar como parte de nuestro sistema es muy grande y complicado, lo que hace que encontrar soluciones exactas a las ecuaciones maestras sea difícil, si no imposible. Como tal, la teoría de sistemas cuánticos abiertos busca un tratamiento económico de la dinámica del sistema y sus observables. Los observables típicos de interés incluyen cosas como la energía y la robustez de la coherencia cuántica (es decir, una medida de la coherencia de un estado). La pérdida de energía al medio ambiente se denomina disipación cuántica , mientras que la pérdida de coherencia se denomina decoherencia cuántica .

Debido a la dificultad de determinar las soluciones de las ecuaciones maestras para un sistema y entorno particular, se han desarrollado una variedad de técnicas y enfoques. Un objetivo común es derivar una descripción reducida en la que la dinámica del sistema se considere explícitamente y la dinámica del baño se describa implícitamente. El supuesto principal es que toda la combinación sistema-entorno es un gran sistema cerrado. Por tanto, su evolución temporal se rige por una transformación unitaria generada por un hamiltoniano global . Para el escenario del baño del sistema combinado, el hamiltoniano global se puede descomponer en:

${\displaystyle H=H_{\rm {S}}+H_{\rm {B}}+H_{\rm {SB}}}$

donde es el hamiltoniano del sistema, es el hamiltoniano del baño y es la interacción sistema-baño. El estado del sistema se puede obtener a partir de un seguimiento parcial del sistema y el baño combinados: . ^[3] ${\displaystyle H_{\rm {S}}}$ ${\displaystyle H_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle H_{\rm {SB}}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {S}}(t)={\rm {{tr}_{\rm {B}}\{\rho _{SB}(t)\}}}}$

Otro supuesto común que se utiliza para hacer que los sistemas sean más fáciles de resolver es el supuesto de que el estado del sistema en el momento siguiente depende sólo del estado actual del sistema. en otras palabras, el sistema no tiene memoria de sus estados anteriores. Los sistemas que tienen esta propiedad se conocen como sistemas Markovianos . Esta aproximación se justifica cuando el sistema en cuestión tiene tiempo suficiente para relajarse hasta alcanzar el equilibrio antes de ser perturbado nuevamente por las interacciones con su entorno. Para sistemas que tienen perturbaciones muy rápidas o muy frecuentes debido a su acoplamiento con su entorno, esta aproximación se vuelve mucho menos precisa.

ecuaciones markovianas

Cuando la interacción entre el sistema y el medio ambiente es débil, una teoría de perturbaciones dependiente del tiempo parece apropiada para tratar la evolución del sistema. En otras palabras, si la interacción entre el sistema y su entorno es débil, entonces se puede aproximar que cualquier cambio en el sistema combinado a lo largo del tiempo se origina únicamente en el sistema en cuestión. Otra suposición típica es que el sistema y el baño inicialmente no están correlacionados . Esta idea se originó con Felix Bloch y fue ampliada por Alfred Redfield en su derivación de la ecuación de Redfield . La ecuación de Redfield es una ecuación maestra de Markov que describe la evolución temporal de la matriz de densidad del sistema combinado. El inconveniente de la ecuación de Redfield es que no conserva la positividad del operador de densidad. ${\displaystyle \rho (0)=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}}$

Una construcción formal de una ecuación de movimiento local con una propiedad de Markov es una alternativa a una derivación reducida. La teoría se basa en un enfoque axiomático. El punto de partida básico es un mapa completamente positivo . La suposición es que el estado inicial del sistema-entorno no está correlacionado y la dinámica combinada es generada por un operador unitario . Un mapa de este tipo pertenece a la categoría de operador Kraus . El tipo más general de ecuación maestra homogénea en el tiempo con la propiedad de Markov que describe la evolución no unitaria de la matriz de densidad ρ que conserva la traza y es completamente positiva para cualquier condición inicial es la ecuación de Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad o ecuación GKSL. : ${\displaystyle \rho (0)=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}}$

${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {S}}=-{i \over \hbar }[H_{\rm {S}},\rho _{\rm {S}}]+{\cal {L}}_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})}$

${\displaystyle H_{\rm {S}}}$es una parte hamiltoniana ( hermitiana ) y : ${\displaystyle {\cal {L}}_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})=\sum _{n}\left(V_{n}\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }V_{n}+V_{n}^{\dagger }V_{n}\rho _{\rm {S}}\right)\right)}$

es la parte disipativa que describe implícitamente a través de los operadores del sistema la influencia del baño en el sistema. La propiedad de Markov impone que el sistema y el baño no estén correlacionados en todo momento . La ecuación GKSL es unidireccional y conduce cualquier estado inicial a una solución de estado estacionario que es una invariante de la ecuación de movimiento . La familia de mapas generados por la ecuación GKSL forma un semigrupo dinámico cuántico . En algunos campos, como la óptica cuántica , el término superoperador de Lindblad se utiliza a menudo para expresar la ecuación maestra cuántica de un sistema disipativo. EB Davis derivó el GKSL con ecuaciones maestras de propiedad de Markov utilizando la teoría de la perturbación y aproximaciones adicionales, como la onda rotatoria o la secular, solucionando así los defectos de la ecuación de Redfield . La construcción de Davis es consistente con el criterio de estabilidad de Kubo-Martin-Schwinger para el equilibrio térmico, es decir, el estado KMS . ^[4] J. Thingna, J.-S. Wang y P. Hänggi ^[5] que permite que la interacción sistema-baño desempeñe un papel en el equilibrio que difiere del estado KMS. ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {SB}}=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {S}}}$ ${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {S}}(t\rightarrow \infty )=0}$

En 1981, Amir Caldeira y Anthony J. Leggett propusieron una suposición simplificadora en la que el baño se descompone en modos normales representados como osciladores armónicos acoplados linealmente al sistema. ^[6] Como resultado, la influencia del baño se puede resumir en la función espectral del baño. Este método se conoce como modelo de Caldeira-Leggett , o modelo de baño armónico. Para proceder y obtener soluciones explícitas, normalmente se emplea la descripción de la formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica . Una gran parte del poder detrás de este método es el hecho de que los osciladores armónicos se comprenden relativamente bien en comparación con el verdadero acoplamiento que existe entre el sistema y el baño. Desafortunadamente, si bien el modelo de Caldeira-Leggett conduce a una imagen físicamente consistente de disipación cuántica, sus propiedades ergódicas son demasiado débiles y, por lo tanto, la dinámica del modelo no genera un entrelazamiento cuántico a gran escala entre los modos de baño.

Un modelo de baño alternativo es el baño de centrifugado. ^[7] A bajas temperaturas y débil acoplamiento sistema-baño, los modelos Caldeira-Leggett y baño de centrifugado son equivalentes. Pero para temperaturas más altas o un fuerte acoplamiento entre el sistema y el baño, el modelo de baño giratorio tiene fuertes propiedades ergódicas. Una vez que el sistema está acoplado, se genera un entrelazamiento significativo entre todos los modos. En otras palabras, el modelo del baño de centrifugado puede simular el modelo de Caldeira-Leggett, pero no ocurre lo contrario.

Un ejemplo de sistema natural acoplado a un baño de centrifugado es un centro de nitrógeno vacante (NV) en diamantes. En este ejemplo, el centro de color es el sistema y el baño consta de impurezas de carbono-13 ( ¹³ C) que interactúan con el sistema a través de la interacción dipolo-dipolo magnético.

Para los sistemas cuánticos abiertos donde el baño tiene oscilaciones que son particularmente rápidas, es posible promediarlas observando cambios en el tiempo suficientemente grandes. Esto es posible porque la amplitud promedio de las oscilaciones rápidas en una escala de tiempo grande es igual al valor central, que siempre se puede elegir como cero con un desplazamiento menor a lo largo del eje vertical. Este método de simplificar problemas se conoce como aproximación secular.

Ecuaciones no markovianas

Los sistemas cuánticos abiertos que no tienen la propiedad de Markov son generalmente mucho más difíciles de resolver. Esto se debe en gran medida al hecho de que el siguiente estado de un sistema no Markoviano está determinado por cada uno de sus estados anteriores, lo que aumenta rápidamente los requisitos de memoria para calcular la evolución del sistema. Actualmente, los métodos de tratamiento de estos sistemas emplean las conocidas como técnicas de operador de proyección . Estas técnicas emplean un operador de proyección , que aplica efectivamente la traza sobre el entorno como se describió anteriormente. El resultado de aplicar a (es decir, calcular ) se denomina parte relevante de . Para completar, se define otro operador de modo que donde esté la matriz de identidad. El resultado de aplicar a (es decir, calcular ) se denomina parte irrelevante de . El objetivo principal de estos métodos es luego derivar una ecuación maestra que defina la evolución de . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}+{\mathcal {Q}}={\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}\rho }$

Una de esas derivaciones utilizando la técnica del operador de proyección da como resultado lo que se conoce como ecuación de Nakajima-Zwanzig . Esta derivación resalta el problema de que la dinámica reducida no es local en el tiempo:

${\displaystyle \partial _{t}{\rho }_{\mathrm {S} }={\mathcal {P}}{\cal {L}}{{\rho }_{\mathrm {S} }}+\int _{0}^{t}{dt'{\mathcal {K}}({t}'){{\rho }_{\mathrm {S} }}(t-{t}')}.}$

Aquí el efecto del baño a lo largo de la evolución temporal del sistema queda oculto en el núcleo de memoria . Si bien la ecuación de Nakajima-Zwanzig es una ecuación exacta que se aplica a casi todos los sistemas y entornos cuánticos abiertos, puede ser muy difícil de resolver. Esto significa que generalmente es necesario introducir aproximaciones para reducir la complejidad del problema a algo más manejable. Como ejemplo, se requiere el supuesto de un baño rápido para conducir a una ecuación local de tiempo: . Otros ejemplos de aproximaciones válidas incluyen la aproximación de acoplamiento débil y la aproximación de acoplamiento simple. ${\displaystyle \kappa (\tau )}$ ${\displaystyle \partial _{t}\rho _{S}={\cal {L}}\rho _{S}}$

En algunos casos, la técnica del operador de proyección se puede utilizar para reducir la dependencia del siguiente estado del sistema de todos sus estados anteriores. Este método de aproximación a sistemas cuánticos abiertos se conoce como técnica del operador de proyección sin convolución en el tiempo y se utiliza para generar ecuaciones maestras que son inherentemente locales en el tiempo. Debido a que estas ecuaciones pueden ignorar una mayor parte de la historia del sistema, a menudo son más fáciles de resolver que cosas como la ecuación de Nakajima-Zwanzig.

Otro enfoque surge como análogo de la teoría clásica de la disipación desarrollada por Ryogo Kubo e Y. Tanimura. Este enfoque está conectado a ecuaciones jerárquicas de movimiento que incorporan el operador de densidad en un espacio mayor de operadores auxiliares, de modo que se obtiene una ecuación local de tiempo para todo el conjunto y su memoria está contenida en los operadores auxiliares.

Ver también

• ecuación de Lindblad
• propiedad de markov
• ecuación maestra
• Termodinámica cuántica

Referencias

1. Breuer, HP; Petruccione, F. (2007). La teoría de los sistemas cuánticos abiertos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. vii. Los sistemas mecánicos cuánticos deben considerarse sistemas abiertos.
2. von Neumann, John (1927), "Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik", Göttinger Nachrichten , 1 : 245–272
3. Kosloff, Ronnie (2013). "Termodinámica cuántica: un punto de vista dinámico". Entropía . 15 (6): 2100–2128. arXiv : 1305.2268 . Código Bib : 2013Entrp..15.2100K. doi : 10.3390/e15062100 . ISSN  1099-4300. Este artículo contiene citas de esta fuente, que está disponible bajo la licencia Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).
4. Breuer, Heinz-Peter; F. Petruccione (2007). La teoría de los sistemas cuánticos abiertos . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-921390-0.
5. Thingna, Juzar; Wang, Jian-Sheng; Hanggi, Peter (21 de mayo de 2012). "Estado de Gibbs generalizado con solución de Redfield modificada: acuerdo exacto hasta segundo orden". La Revista de Física Química . 136 (19): 194110. arXiv : 1203.6207 . Código Bib :2012JChPh.136s4110T. doi : 10.1063/1.4718706. ISSN  0021-9606. PMID  22612083. S2CID  7014354.
6. A. Caldeira y AJ Leggett, Influencia de la disipación en los túneles cuánticos en sistemas macroscópicos , Physical Review Letters, vol. 46, pág. 211, 1981.
7. Prokof'ev, NV; Sello, PCE (2000). "Teoría del baño de centrifugado". Informes sobre los avances en física . 63 (4): 669. arXiv : cond-mat/0001080 . Código Bib : 2000RPPh...63..669P. doi :10.1088/0034-4885/63/4/204. ISSN  0034-4885. S2CID  55075035.

Referencias no clasificadas

• Accardi, Luigi; Lu, Yun Gang; Vólovich, IV (2002). Teoría cuántica y su límite estocástico . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 978-3-540-41928-0.
• Alicki, Robert; Lendi, Karl (1987). Semigrupos y aplicaciones de dinámica cuántica . Berlín: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-18276-6.
• Attal, Stéphane; Joye, Alain; Pillet, Claude-Alain (2006). Sistemas cuánticos abiertos II: el enfoque markoviano . Saltador. ISBN 978-3-540-30992-5.
• Davies, Edward Brian (1976). Teoría cuántica de sistemas abiertos . Londres: Academic Press. ISBN 978-0-12-206150-9.
• Ingarden, Roman S.; Kossakowski, A.; Ohya, M. (1997). Dinámica de la información y sistemas abiertos: enfoque clásico y cuántico . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5.
• Lindblad, G. (1983). Entropía e irreversibilidad del desequilibrio. Dordrecht: Delta Reidel. ISBN 978-1-4020-0320-2.
• Okolowicz, J.; Ploszajczak, M.; Nazarewicz, W. (2012). "Sobre el origen de la agrupación nuclear". Suplemento Avances de Física Teórica . 196 : 230–243. arXiv : 1202.6290 . Código Bib : 2012PThPS.196..230O. doi :10.1143/PTPS.196.230. S2CID  119109268.
• Tarasov, Vasily E. (2008). Mecánica cuántica de sistemas disipativos y no hamiltonianos . Ámsterdam, Boston, Londres, Nueva York: Elsevier Science. ISBN 978-0-08-055971-1.
• Weiss, Ulrich (2012). Quantum Dissipative Systems (4th ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4374-91-0.
• Wiseman, Howard M.; Milburn, Gerard J. (2010). Quantum Measurement and Control. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80442-4.

External links

• Learning materials related to Open Quantum Systems at Wikiversity