Semigrupo cuántico de Markov

Una especie de estructura matemática que describe la dinámica en un sistema cuántico abierto de Markov.

En mecánica cuántica , un semigrupo cuántico de Markov describe la dinámica en un sistema cuántico abierto de Markov . La definición axiomática del prototipo de semigrupos cuánticos de Markov fue introducida por primera vez por AM Kossakowski ^[1] en 1972, y luego desarrollada por V. Gorini, AM Kossakowski , ECG Sudarshan ^[2] y Göran Lindblad ^[3] en 1976. ^[4]

Motivación

Un sistema cuántico ideal no es realista porque debería estar completamente aislado mientras que, en la práctica, está influenciado por el acoplamiento a un entorno, que normalmente tiene una gran cantidad de grados de libertad (por ejemplo, un átomo que interactúa con el campo de radiación circundante). . Una descripción microscópica completa de los grados de libertad del entorno suele ser demasiado complicada. Por tanto, se buscan descripciones más simples de la dinámica del sistema abierto. En principio, se debería investigar la dinámica unitaria del sistema total, es decir, el sistema y el entorno, para obtener información sobre el sistema reducido de interés promediando los observables apropiados sobre los grados de libertad del entorno. Para modelar los efectos disipativos debidos a la interacción con el medio ambiente, la ecuación de Schrödinger se reemplaza por una ecuación maestra adecuada , como una ecuación de Lindblad o una ecuación estocástica de Schrödinger en la que los infinitos grados de libertad del medio ambiente se "sintetizan" como una Pocos ruidos cuánticos . Matemáticamente, la evolución del tiempo en un sistema cuántico abierto de Markov ya no se describe mediante grupos de mapas unitarios de un solo parámetro , sino que es necesario introducir semigrupos cuánticos de Markov .

Definiciones

Semigrupo dinámico cuántico (QDS)

En general, los semigrupos dinámicos cuánticos se pueden definir en álgebras de von Neumann , por lo que la dimensionalidad del sistema podría ser infinita. Sea un álgebra de von Neumann que actúa sobre el espacio de Hilbert , un semigrupo dinámico cuántico es una colección de operadores acotados en , denotado por , con las siguientes propiedades: ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}:=\left({\mathcal {T}}_{t}\right)_{t\geq 0}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{0}\left(a\right)=a}$, , ${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t+s}\left(a\right)={\mathcal {T}}_{t}\left({\mathcal {T}}_{s}\left(a\right)\right)}$, , , ${\displaystyle \forall s,t\geq 0}$ ${\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$es completamente positivo para todos , ${\displaystyle t\geq 0}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$es un operador débilmente continuo para todos , ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$
5. Para todos , el mapa es continuo con respecto a la topología débil de . ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle t\mapsto {\mathcal {T}}_{t}\left(a\right)}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Bajo la condición de positividad completa, los operadores son débilmente continuos si y sólo si son normales. ^[5] Recuerde que, denotando el cono convexo de elementos positivos en , se dice que un operador positivo es normal si por cada red creciente en con menor límite superior en uno tiene ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle T:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$

${\displaystyle \lim _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\sup _{\alpha }\langle u,(Tx_{\alpha })u\rangle =\langle u,(Tx)u\rangle }$

para cada uno en una subvariedad lineal densa en normas de . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Semigrupo cuántico de Markov (QMS)

Se dice que un semigrupo dinámico cuántico preserva la identidad (o es conservador, o markoviano) si ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

¿Dónde está el elemento de identidad? Por simplicidad, se denomina semigrupo cuántico de Markov. Observe que la propiedad de preservación de la identidad y la positividad de implicar para todos y luego es un semigrupo de contracción . ^[6] ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{t}}$ ${\displaystyle \left\|{\mathcal {T}}_{t}\right\|=1}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

La condición ( 1 ) juega un papel importante no sólo en la prueba de unicidad y unitaridad de la solución de una ecuación diferencial estocástica cuántica de Hudson - Parthasarathy , sino también en la deducción de condiciones de regularidad para las trayectorias de los procesos clásicos de Markov en vista de la teoría del operador . ^[7]

Generador infinitesimal de QDS

El generador infinitesimal de un semigrupo dinámico cuántico es el operador con dominio , donde ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} ({\mathcal {L}})}$

${\displaystyle \operatorname {Dom} \left({\mathcal {L}}\right):=\left\{a\in {\mathcal {A}}~\left\vert ~\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\mathcal {T}}_{t}(a)-a}{t}}=b{\text{ in }}\sigma {\text{-weak topology}}\right.\right\}}$

y . ${\displaystyle {\mathcal {L}}(a):=b}$

Caracterización de generadores de QMS uniformemente continuos.

Si el semigrupo cuántico de Markov es uniformemente continuo además, lo que significa , entonces ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0^{+}}\left\|{\mathcal {T}}_{t}-{\mathcal {T}}_{0}\right\|=0}$

• el generador infinitesimal será un operador acotado en el álgebra de von Neumann con dominio , ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Dom} ({\mathcal {L}})={\mathcal {A}}}$
• el mapa será automáticamente continuo para cada , ^[8] ${\displaystyle t\mapsto {\mathcal {T}}_{t}a}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$
• el generador infinitesimal también será débilmente continuo. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Bajo tal supuesto, el generador infinitesimal tiene la caracterización ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(a\right)=i\left[H,a\right]+\sum _{j}\left(V_{j}^{\dagger }aV_{j}-{\frac {1}{2}}\left\{V_{j}^{\dagger }V_{j},a\right\}\right)}$

donde , , y es autoadjunto . Además, arriba denota el conmutador y el anticonmutador . ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle V_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \sum _{j}V_{j}^{\dagger }V_{j}\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]}$ ${\displaystyle \left\{\cdot ,\cdot \right\}}$

Publicaciones recientes seleccionadas

• Chebotarev, AM; Fagnola, F (marzo de 1998). "Condiciones suficientes para la conservación de semigrupos dinámicos cuánticos mínimos". Revista de análisis funcional . 153 (2): 382–404. arXiv : funct-an/9711006 . doi :10.1006/jfan.1997.3189. S2CID  18823390.
• Fagnola, Franco; Rebolledo, Rolando (1 de junio de 2003). "Transiencia y recurrencia de semigrupos cuánticos de Markov". Teoría de la probabilidad y campos relacionados . 126 (2): 289–306. doi : 10.1007/s00440-003-0268-0 . S2CID  123052568.
• Rebolledo, R (mayo de 2005). "Decoherencia de semigrupos cuánticos de Markov". Anales del Instituto Henri Poincaré B. 41 (3): 349–373. Código Bib : 2005AIHPB..41..349R. doi :10.1016/j.anihpb.2004.12.003.
• Umanità, Verónica (abril de 2006). "Clasificación y descomposición de semigrupos cuánticos de Markov". Teoría de la probabilidad y campos relacionados . 134 (4): 603–623. doi : 10.1007/s00440-005-0450-7 . S2CID  119409078.
• Fagnola, Franco; Umanità, Verónica (1 de septiembre de 2007). "Generadores de semigrupos de Markov cuánticos de equilibrio detallado". Análisis de dimensiones infinitas, probabilidad cuántica y temas relacionados . 10 (3): 335–363. arXiv : 0707.2147 . doi :10.1142/S0219025707002762. S2CID  16690012.
• Carlen, Eric A.; Maas, Jan (septiembre de 2017). "Desigualdades de flujo de gradiente y entropía para semigrupos cuánticos de Markov con equilibrio detallado". Revista de análisis funcional . 273 (5): 1810–1869. arXiv : 1609.01254 . doi :10.1016/j.jfa.2017.05.003. S2CID  119734534.

Ver también

• Topologías de operadores  : topologías en el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
• Álgebra de von Neumann  - * -álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert
• Semigrupo C0  – Generalización de la función exponencialPages displaying short descriptions of redirect targets
• Semigrupo de contracción  – Generalización de la función exponencialPages displaying short descriptions of redirect targets
• Lindbladian  : ecuación maestra cuántica de Markov para matrices de densidad (estados mixtos)
• Cadena de Markov  : proceso aleatorio independiente de la historia pasada
• Mecánica cuántica  : descripción de propiedades físicas a escala atómica y subatómica.
• Sistema cuántico abierto  : un sistema mecánico cuántico que interactúa con un entorno mecánico cuántico.

Referencias

1. Kossakowski, A. (diciembre de 1972). "Sobre la mecánica estadística cuántica de sistemas no hamiltonianos". Informes de Física Matemática . 3 (4): 247–274. Código Bib : 1972RpMP....3..247K. doi :10.1016/0034-4877(72)90010-9.
2. Gorini, Vittorio; Kossakowski, Andrzej; Sudarshan, Ennackal Chandy George (1976). "Semigrupos dinámicos completamente positivos de sistemas de nivel N". Revista de Física Matemática . 17 (5): 821. Código bibliográfico : 1976JMP....17..821G. doi : 10.1063/1.522979.
3. Lindblad, Goran (1976). "Sobre los generadores de semigrupos dinámicos cuánticos". Comunicaciones en Física Matemática . 48 (2): 119-130. Código bibliográfico : 1976CMaPh..48..119L. doi :10.1007/BF01608499. S2CID  55220796.
4. Chruściński, Dariusz; Pascazio, Saverio (septiembre de 2017). "Una breve historia de la ecuación GKLS". Sistemas abiertos y dinámica de la información . 24 (3): 1740001. arXiv : 1710.05993 . Código Bib : 2017OSID...2440001C. doi :10.1142/S1230161217400017. S2CID  90357.
5. Fagnola, Franco (1999). "Semigrupos cuánticos de Markov y flujos cuánticos". Proyecciones . 18 (3): 1–144. doi : 10.22199/S07160917.1999.0003.00002 .
6. Bratteli, Ola; Robinson, Derek William (1987). Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-17093-6.
7. Chebotarev, AM; Fagnola, F (marzo de 1998). "Condiciones suficientes para la conservación de semigrupos dinámicos cuánticos mínimos". Revista de análisis funcional . 153 (2): 382–404. arXiv : funct-an/9711006 . doi :10.1006/jfan.1997.3189. S2CID  18823390.
8. Rudin, Walter (1991). Análisis funcional (Segunda ed.). Nueva York: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas. ISBN 978-0070542365.
9. Dixmier, Jacques (1957). "Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien". Revisiones matemáticas (MathSciNet) .