Sistema cuántico abierto

Sistema mecánico cuántico que interactúa con un entorno mecánico cuántico

En física , un sistema cuántico abierto es un sistema mecánico cuántico que interactúa con un sistema cuántico externo , que se conoce como entorno o baño . En general, estas interacciones cambian significativamente la dinámica del sistema y dan como resultado una disipación cuántica , de modo que la información contenida en el sistema se pierde en su entorno. Debido a que ningún sistema cuántico está completamente aislado de su entorno, ^[1] es importante desarrollar un marco teórico para tratar estas interacciones con el fin de obtener una comprensión precisa de los sistemas cuánticos.

Las técnicas desarrolladas en el contexto de sistemas cuánticos abiertos han demostrado ser poderosas en campos como la óptica cuántica , la teoría de la medición cuántica , la mecánica estadística cuántica , la ciencia de la información cuántica , la termodinámica cuántica , la cosmología cuántica , la biología cuántica y las aproximaciones semiclásicas.

Sistema cuántico y medio ambiente

Una descripción completa de un sistema cuántico requiere la inclusión del entorno. Describir completamente el sistema combinado resultante requiere entonces la inclusión de su entorno, lo que da como resultado un nuevo sistema que solo puede describirse completamente si se incluye su entorno, y así sucesivamente. El resultado final de este proceso de integración es el estado de todo el universo descrito por una función de onda . El hecho de que cada sistema cuántico tenga cierto grado de apertura también significa que ningún sistema cuántico puede estar nunca en un estado puro . Un estado puro es equivalente unitario a un estado fundamental de temperatura cero , prohibido por la tercera ley de la termodinámica . ${\displaystyle \Psi }$

Sistema de mampara de baño

Incluso si el sistema combinado está en un estado puro y puede describirse mediante una función de onda , un subsistema en general no puede describirse mediante una función de onda. Esta observación motivó el formalismo de las matrices de densidad u operadores de densidad, introducidos por John von Neumann ^[2] en 1927 e independientemente, pero de manera menos sistemática por Lev Landau en 1927 y Felix Bloch en 1946. En general, el estado de un subsistema se describe mediante el operador de densidad y el valor esperado de un observable mediante el producto escalar . No hay forma de saber si el sistema combinado es puro a partir del conocimiento de los observables del subsistema únicamente. En particular, si el sistema combinado tiene entrelazamiento cuántico , el estado del subsistema no es puro. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\rho \cdot A)={\rm {{tr}\{\rho A\}}}}$

Dinámica

En general, la evolución temporal de los sistemas cuánticos cerrados se describe mediante operadores unitarios que actúan sobre el sistema. Sin embargo, en el caso de los sistemas abiertos, las interacciones entre el sistema y su entorno hacen que la dinámica del sistema no pueda describirse con precisión utilizando únicamente operadores unitarios.

La evolución temporal de los sistemas cuánticos se puede determinar resolviendo las ecuaciones efectivas de movimiento, también conocidas como ecuaciones maestras , que gobiernan cómo la matriz de densidad que describe el sistema cambia con el tiempo y la dinámica de los observables que están asociados con el sistema. En general, sin embargo, el entorno que queremos modelar como parte de nuestro sistema es muy grande y complicado, lo que hace que encontrar soluciones exactas a las ecuaciones maestras sea difícil, si no imposible. Como tal, la teoría de sistemas cuánticos abiertos busca un tratamiento económico de la dinámica del sistema y sus observables. Los observables típicos de interés incluyen cosas como la energía y la robustez de la coherencia cuántica (es decir, una medida de la coherencia de un estado). La pérdida de energía hacia el entorno se denomina disipación cuántica , mientras que la pérdida de coherencia se denomina decoherencia cuántica .

Debido a la dificultad de determinar las soluciones de las ecuaciones maestras para un sistema y un entorno en particular, se han desarrollado diversas técnicas y enfoques. Un objetivo común es derivar una descripción reducida en la que se considere explícitamente la dinámica del sistema y se describa implícitamente la dinámica del baño. El supuesto principal es que toda la combinación sistema-entorno es un gran sistema cerrado. Por lo tanto, su evolución temporal está regida por una transformación unitaria generada por un hamiltoniano global . Para el escenario del baño con sistema combinado, el hamiltoniano global se puede descomponer en:

${\displaystyle H=H_{\rm {S}}+H_{\rm {B}}+H_{\rm {SB}}}$

donde es el hamiltoniano del sistema, es el hamiltoniano del baño y es la interacción sistema-baño. El estado del sistema se puede obtener a partir de una traza parcial sobre el sistema y el baño combinados: . ^[3] ${\displaystyle H_{\rm {S}}}$ ${\displaystyle H_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle H_{\rm {SB}}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {S}}(t)={\rm {{tr}_{\rm {B}}\{\rho _{SB}(t)\}}}}$

Otro supuesto común que se utiliza para facilitar la resolución de los sistemas es el supuesto de que el estado del sistema en el momento siguiente depende únicamente del estado actual del sistema. En otras palabras, el sistema no tiene memoria de sus estados anteriores. Los sistemas que tienen esta propiedad se conocen como sistemas markovianos . Esta aproximación se justifica cuando el sistema en cuestión tiene tiempo suficiente para relajarse hasta alcanzar el equilibrio antes de volver a verse perturbado por las interacciones con su entorno. Para los sistemas que tienen perturbaciones muy rápidas o muy frecuentes derivadas de su acoplamiento con su entorno, esta aproximación se vuelve mucho menos precisa.

Ecuaciones markovianas

Cuando la interacción entre el sistema y el entorno es débil, una teoría de perturbación dependiente del tiempo parece apropiada para tratar la evolución del sistema. En otras palabras, si la interacción entre el sistema y su entorno es débil, entonces cualquier cambio en el sistema combinado a lo largo del tiempo puede aproximarse como originado solo por el sistema en cuestión. Otro supuesto típico es que el sistema y el baño inicialmente no están correlacionados . Esta idea se originó con Felix Bloch y fue ampliada por Alfred Redfield en su derivación de la ecuación de Redfield . La ecuación de Redfield es una ecuación maestra markoviana que describe la evolución temporal de la matriz de densidad del sistema combinado. El inconveniente de la ecuación de Redfield es que no conserva la positividad del operador de densidad. ${\displaystyle \rho (0)=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}}$

Una construcción formal de una ecuación local de movimiento con una propiedad markoviana es una alternativa a una derivación reducida. La teoría se basa en un enfoque axiomático. El punto de partida básico es una función completamente positiva . Se supone que el estado inicial del sistema y el entorno no está correlacionado y que la dinámica combinada se genera mediante un operador unitario . Una función de este tipo cae dentro de la categoría de operador de Kraus . El tipo más general de una ecuación maestra homogénea en el tiempo con la propiedad markoviana que describe la evolución no unitaria de la matriz de densidad ρ que preserva las trazas y es completamente positiva para cualquier condición inicial es la ecuación de Gorini–Kossakowski–Sudarshan– Lindblad o ecuación GKSL: ${\displaystyle \rho (0)=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}}$

${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {S}}=-{i \over \hbar }[H_{\rm {S}},\rho _{\rm {S}}]+{\cal {L}}_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})}$

${\displaystyle H_{\rm {S}}}$es una parte hamiltoniana ( hermítica ) y : ${\displaystyle {\cal {L}}_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{\rm {D}}(\rho _{\rm {S}})=\sum _{n}\left(V_{n}\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho _{\rm {S}}V_{n}^{\dagger }V_{n}+V_{n}^{\dagger }V_{n}\rho _{\rm {S}}\right)\right)}$

es la parte disipativa que describe implícitamente a través de operadores del sistema la influencia del baño en el sistema. La propiedad de Markov impone que el sistema y el baño no estén correlacionados en todo momento . La ecuación GKSL es unidireccional y lleva a cualquier estado inicial a una solución de estado estable que es un invariante de la ecuación de movimiento . La familia de mapas generados por la ecuación GKSL forma un semigrupo dinámico cuántico . En algunos campos, como la óptica cuántica , el término superoperador de Lindblad se utiliza a menudo para expresar la ecuación maestra cuántica para un sistema disipativo. EB Davis derivó la GKSL con ecuaciones maestras de propiedad markoviana utilizando la teoría de perturbaciones y aproximaciones adicionales, como la onda rotatoria o secular, corrigiendo así los defectos de la ecuación de Redfield . La construcción de Davis es consistente con el criterio de estabilidad de Kubo-Martin-Schwinger para el equilibrio térmico, es decir, el estado KMS . ^[4] J. Thingna, J.-S. Wang y P. Hänggi ^[5] que permite que la interacción sistema-baño desempeñe un papel en el equilibrio diferente del estado KMS. ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {SB}}=\rho _{\rm {S}}\otimes \rho _{\rm {B}}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {S}}}$ ${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {S}}(t\rightarrow \infty )=0}$

En 1981, Amir Caldeira y Anthony J. Leggett propusieron una suposición simplificadora en la que el baño se descompone en modos normales representados como osciladores armónicos acoplados linealmente al sistema. ^[6] Como resultado, la influencia del baño se puede resumir mediante la función espectral del baño. Este método se conoce como el modelo de Caldeira-Leggett o modelo de baño armónico. Para proceder y obtener soluciones explícitas, se emplea típicamente la descripción de la formulación de integral de trayectoria de la mecánica cuántica . Una gran parte del poder detrás de este método es el hecho de que los osciladores armónicos son relativamente bien entendidos en comparación con el verdadero acoplamiento que existe entre el sistema y el baño. Desafortunadamente, mientras que el modelo de Caldeira-Leggett es uno que conduce a una imagen físicamente consistente de la disipación cuántica, sus propiedades ergódicas son demasiado débiles y, por lo tanto, la dinámica del modelo no genera un entrelazamiento cuántico a gran escala entre los modos del baño.

Un modelo de baño alternativo es el baño de centrifugación. ^[7] A bajas temperaturas y con un acoplamiento débil entre el sistema y el baño, los modelos de baño de centrifugación y de Caldeira-Leggett son equivalentes. Pero para temperaturas más altas o con un acoplamiento fuerte entre el sistema y el baño, el modelo de baño de centrifugación tiene propiedades ergódicas fuertes. Una vez que el sistema está acoplado, se genera un entrelazamiento significativo entre todos los modos. En otras palabras, el modelo de baño de centrifugación puede simular el modelo de Caldeira-Leggett, pero lo contrario no es cierto.

Un ejemplo de un sistema natural acoplado a un baño de centrifugación es un centro de nitrógeno-vacante (NV) en diamantes. En este ejemplo, el centro de color es el sistema y el baño está formado por impurezas de carbono-13 ( ¹³ C) que interactúan con el sistema a través de la interacción magnética dipolo-dipolo.

En el caso de sistemas cuánticos abiertos en los que el baño presenta oscilaciones especialmente rápidas, es posible calcular el promedio de las mismas observando cambios suficientemente grandes en el tiempo. Esto es posible porque la amplitud promedio de las oscilaciones rápidas en una escala de tiempo grande es igual al valor central, que siempre se puede elegir como cero con un pequeño desplazamiento a lo largo del eje vertical. Este método de simplificación de problemas se conoce como aproximación secular.

Ecuaciones no markovianas

Los sistemas cuánticos abiertos que no tienen la propiedad markoviana son generalmente mucho más difíciles de resolver. Esto se debe en gran medida al hecho de que el siguiente estado de un sistema no markoviano está determinado por cada uno de sus estados anteriores, lo que aumenta rápidamente los requisitos de memoria para calcular la evolución del sistema. Actualmente, los métodos para tratar estos sistemas emplean lo que se conoce como técnicas de operador de proyección . Estas técnicas emplean un operador de proyección , que aplica efectivamente el rastro sobre el entorno como se describió anteriormente. El resultado de aplicar a (es decir, calcular ) se llama la parte relevante de . Para completar, se define otro operador para que donde sea la matriz identidad. El resultado de aplicar a (es decir, calcular ) se llama la parte irrelevante de . El objetivo principal de estos métodos es luego derivar una ecuación maestra que defina la evolución de . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}+{\mathcal {Q}}={\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}\rho }$

Una de esas derivaciones que utiliza la técnica del operador de proyección da como resultado lo que se conoce como ecuación de Nakajima-Zwanzig . Esta derivación resalta el problema de que la dinámica reducida no es local en el tiempo:

${\displaystyle \partial _{t}{\rho }_{\mathrm {S} }={\mathcal {P}}{\cal {L}}{{\rho }_{\mathrm {S} }}+\int _{0}^{t}{dt'{\mathcal {K}}({t}'){{\rho }_{\mathrm {S} }}(t-{t}')}.}$

Aquí, el efecto del baño a lo largo de la evolución temporal del sistema está oculto en el núcleo de memoria . Si bien la ecuación de Nakajima-Zwanzig es una ecuación exacta que se cumple para casi todos los sistemas y entornos cuánticos abiertos, puede ser muy difícil de resolver. Esto significa que, por lo general, es necesario introducir aproximaciones para reducir la complejidad del problema a algo más manejable. Como ejemplo, se requiere la suposición de un baño rápido para llegar a una ecuación local en el tiempo: . Otros ejemplos de aproximaciones válidas incluyen la aproximación de acoplamiento débil y la aproximación de acoplamiento simple. ${\displaystyle \kappa (\tau )}$ ${\displaystyle \partial _{t}\rho _{S}={\cal {L}}\rho _{S}}$

En algunos casos, la técnica del operador de proyección se puede utilizar para reducir la dependencia del siguiente estado del sistema respecto de todos sus estados anteriores. Este método de aproximación a los sistemas cuánticos abiertos se conoce como la técnica del operador de proyección sin convolución temporal, y se utiliza para generar ecuaciones maestras que son inherentemente locales en el tiempo. Debido a que estas ecuaciones pueden ignorar una mayor parte de la historia del sistema, suelen ser más fáciles de resolver que cuestiones como la ecuación de Nakajima-Zwanzig.

Otro enfoque surge como análogo de la teoría clásica de disipación desarrollada por Ryogo Kubo e Y. Tanimura. Este enfoque está conectado con ecuaciones jerárquicas de movimiento que incorporan el operador de densidad en un espacio mayor de operadores auxiliares, de modo que se obtiene una ecuación local temporal para todo el conjunto y su memoria está contenida en los operadores auxiliares.

Véase también

• Ecuación de Lindblad
• Propiedad de Markov
• Ecuación maestra
• Termodinámica cuántica

Referencias

1. Breuer, H.-P.; Petruccione, F. (2007). La teoría de los sistemas cuánticos abiertos . Oxford University Press. pág. vii. Los sistemas mecánicos cuánticos deben considerarse sistemas abiertos.
2. von Neumann, John (1927), "Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik", Göttinger Nachrichten , 1 : 245–272
3. Kosloff, Ronnie (2013). "Termodinámica cuántica: un punto de vista dinámico". Entropía . 15 (6): 2100–2128. arXiv : 1305.2268 . Código Bibliográfico :2013Entrp..15.2100K. doi : 10.3390/e15062100 . ISSN  1099-4300. Este artículo contiene citas de esta fuente, que está disponible bajo la licencia Creative Commons Atribución 4.0 Internacional (CC BY 4.0).
4. Breuer, Heinz-Peter; F. Petruccione (2007). La teoría de los sistemas cuánticos abiertos . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921390-0.
5. Thingna, Juzar; Wang, Jian-Sheng; Hänggi, Peter (21 de mayo de 2012). "Estado de Gibbs generalizado con solución de Redfield modificada: acuerdo exacto hasta el segundo orden". The Journal of Chemical Physics . 136 (19): 194110. arXiv : 1203.6207 . Código Bibliográfico :2012JChPh.136s4110T. doi :10.1063/1.4718706. ISSN  0021-9606. PMID  22612083. S2CID  7014354.
6. A. Caldeira y AJ Leggett, Influencia de la disipación en el efecto túnel cuántico en sistemas macroscópicos , Physical Review Letters, vol. 46, pág. 211, 1981.
7. Prokof'ev, NV; Stamp, PCE (2000). "Teoría del baño de centrifugado". Informes sobre el progreso en física . 63 (4): 669. arXiv : cond-mat/0001080 . Bibcode :2000RPPh...63..669P. doi :10.1088/0034-4885/63/4/204. ISSN  0034-4885. S2CID  55075035.

Referencias no clasificadas

• Accardi, Luigi; Lu, Yun Gang; Volovich, IV (2002). Teoría cuántica y su límite estocástico . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 978-3-540-41928-0.
• Alicki, Robert; Lendi, Karl (1987). Semigrupos y aplicaciones de dinámica cuántica . Berlín: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-18276-6.
• Attal, Stéphane; Joye, Alain; Pillet, Claude-Alain (2006). Sistemas cuánticos abiertos II: el enfoque markoviano . Saltador. ISBN 978-3-540-30992-5.
• Davies, Edward Brian (1976). Teoría cuántica de sistemas abiertos . Londres: Academic Press. ISBN. 978-0-12-206150-9.
• Ingarden, Roman S.; Kossakowski, A.; Ohya, M. (1997). Dinámica de la información y sistemas abiertos: enfoque clásico y cuántico . Nueva York: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5.
• Lindblad, G. (1983). Entropía de no equilibrio e irreversibilidad. Dordrecht: Delta Reidel. ISBN 978-1-4020-0320-2.
• Okolowicz, J.; Płoszajczak, M.; Nazarewicz, W. (2012). "Sobre el origen del agrupamiento nuclear". Suplemento de Progress of Theoretical Physics . 196 : 230–243. arXiv : 1202.6290 . Código Bibliográfico :2012PThPS.196..230O. doi :10.1143/PTPS.196.230. S2CID  119109268.
• Tarasov, Vasily E. (2008). Mecánica cuántica de sistemas no hamiltonianos y disipativos . Ámsterdam, Boston, Londres, Nueva York: Elsevier Science. ISBN 978-0-08-055971-1.
• Weiss, Ulrich (2012). Sistemas disipativos cuánticos (4.ª ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4374-91-0.
• Wiseman, Howard M.; Milburn, Gerard J. (2010). Medición y control cuánticos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80442-4.

Enlaces externos

• Materiales de aprendizaje relacionados con los sistemas cuánticos abiertos en Wikiversidad