Disipación cuántica

Disipación en sistemas cuánticos

La disipación cuántica es la rama de la física que estudia los análogos cuánticos del proceso de pérdida irreversible de energía observado en el nivel clásico. Su principal objetivo es derivar las leyes de la disipación clásica a partir del marco de la mecánica cuántica . Comparte muchas características con los temas de la decoherencia cuántica y la teoría cuántica de la medición .

Modelos

El enfoque típico para describir la disipación es dividir el sistema total en dos partes: el sistema cuántico donde ocurre la disipación y un llamado entorno o baño en el que fluirá la energía del primero. La forma en que se acoplan ambos sistemas depende de los detalles del modelo microscópico y, por lo tanto, de la descripción del baño. Para incluir un flujo irreversible de energía (es decir, para evitar las recurrencias de Poincaré en las que la energía finalmente fluye de regreso al sistema), se requiere que el baño contenga un número infinito de grados de libertad. Nótese que, en virtud del principio de universalidad , se espera que la descripción particular del baño no afecte las características esenciales del proceso disipativo, siempre que el modelo contenga los ingredientes mínimos para proporcionar el efecto.

La forma más sencilla de modelar el baño fue propuesta por Feynman y Vernon en un artículo seminal de 1963. ^[1] En esta descripción, el baño es una suma de un número infinito de osciladores armónicos, que en mecánica cuántica representa un conjunto de partículas bosónicas libres.

Modelo de baño armónico o Caldeira-Leggett

En 1981, Amir Caldeira y Anthony J. Leggett propusieron un modelo simple para estudiar en detalle la forma en que surge la disipación desde un punto de vista cuántico. ^[2] Describe una partícula cuántica en una dimensión acoplada a un baño. El hamiltoniano dice:

${\displaystyle H={\frac {P^{2}}{2M}}+V(X)+\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)-X\sum _{i}{C_{i}q_{i}}+X^{2}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{2m_{i}\omega _{i}^{2}}}}$,

Los dos primeros términos corresponden al hamiltoniano de una partícula cuántica de masa y momento , en un potencial en la posición . El tercer término describe el baño como una suma infinita de osciladores armónicos con masas y momento , en las posiciones . son las frecuencias de los osciladores armónicos. El siguiente término describe la forma en que el sistema y el baño están acoplados. En el modelo de Caldeira-Leggett, el baño está acoplado a la posición de la partícula. son coeficientes que dependen de los detalles del acoplamiento. El último término es un contratérmino que debe incluirse para garantizar que la disipación sea homogénea en todo el espacio. Como el baño se acopla a la posición, si este término no se incluye, el modelo no es invariante traslacionalmente , en el sentido de que el acoplamiento es diferente dondequiera que se encuentre la partícula cuántica. Esto da lugar a una renormalización no física del potencial, que se puede demostrar que se suprime empleando potenciales reales. ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$

Para proporcionar una buena descripción del mecanismo de disipación, una cantidad relevante es la función espectral del baño, definida de la siguiente manera:

${\displaystyle J(\omega )={\frac {\pi }{2}}\sum _{i}{\frac {C_{i}^{2}}{m_{i}\omega _{i}}}\delta (\omega -\omega _{i})}$

La función espectral del baño proporciona una restricción en la elección de los coeficientes . Cuando esta función tiene la forma , ^{[ aclaración necesaria ]} se puede demostrar que el tipo clásico de disipación correspondiente es óhmico. Una forma más genérica es . En este caso, si la disipación se llama "superóhmica", mientras que si es subóhmica. Un ejemplo de un baño superóhmico es el campo electromagnético en determinadas circunstancias. ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle J(\omega )=\eta \omega }$ ${\displaystyle J(\omega )\propto \omega ^{s}}$ ${\displaystyle s>1}$ ${\displaystyle s<1}$

Como se mencionó, la idea principal en el campo de la disipación cuántica es explicar la forma en que se puede describir la disipación clásica desde el punto de vista de la mecánica cuántica. Para obtener el límite clásico del modelo de Caldeira-Leggett, el baño debe integrarse (o trazarse ), lo que puede entenderse como tomar el promedio de todas las posibles realizaciones del baño y estudiar la dinámica efectiva del sistema cuántico. Como segundo paso, se debe tomar el límite para recuperar la mecánica clásica . Para proceder con esos pasos técnicos matemáticamente, generalmente se emplea la descripción de la mecánica cuántica mediante la integral de trayectorias . Las ecuaciones clásicas de movimiento resultantes son: ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$

${\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\int _{0}^{T}dt'\alpha (t-t')(X(t)-X(t'))}$

dónde:

${\displaystyle \alpha (t-t')={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }J(\omega )e^{-\omega |t-t'|}d\omega }$

es un núcleo que caracteriza la fuerza efectiva que afecta el movimiento de la partícula en presencia de disipación. Para los llamados baños markovianos, que no guardan memoria de la interacción con el sistema, y ​​para la disipación óhmica, las ecuaciones de movimiento se simplifican a las ecuaciones clásicas de movimiento de una partícula con fricción:

${\displaystyle M{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X(t)=-{\frac {\partial V(X)}{\partial X}}-\eta {\frac {dX(t)}{dt}}}$

De este modo, se puede observar cómo el modelo de Caldeira-Leggett cumple el objetivo de obtener la disipación clásica a partir del marco de la mecánica cuántica. El modelo de Caldeira-Leggett se ha utilizado para estudiar problemas de disipación cuántica desde su introducción en 1981, y también se utiliza ampliamente en el campo de la decoherencia cuántica .

Sistema disipativo de dos niveles

El sistema disipativo de dos niveles es una realización particular del modelo de Caldeira-Leggett que merece especial atención debido a su interés en el campo de la computación cuántica . El objetivo del modelo es estudiar los efectos de la disipación en la dinámica de una partícula que puede saltar entre dos posiciones diferentes en lugar de un grado de libertad continuo. Este espacio de Hilbert reducido permite describir el problema en términos de ⁠1/2⁠ - operadores de espín . En la literatura, a veces se hace referencia a esto como el modelo de bosón de espín y está estrechamente relacionado con el modelo de Jaynes-Cummings .

El hamiltoniano para el sistema disipativo de dos niveles se lee:

${\displaystyle H=\Delta {\frac {\sigma _{x}}{2}}+\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+{\frac {1}{2}}m_{i}\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)+{\frac {\sigma _{z}}{2}}\sum _{i}{C_{i}q_{i}}}$,

donde y son las matrices de Pauli y es la amplitud del salto entre las dos posiciones posibles. Nótese que en este modelo el contratérmino ya no es necesario, ya que el acoplamiento a da una disipación ya homogénea. ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S_{z}}$

El modelo tiene muchas aplicaciones. En disipación cuántica, se utiliza como un modelo simple para estudiar la dinámica de una partícula disipativa confinada en un potencial de doble pozo. En el contexto de la computación cuántica, representa un cúbit acoplado a un entorno, que puede producir decoherencia . En el estudio de sólidos amorfos , proporciona la base de la teoría estándar para describir sus propiedades termodinámicas.

El sistema disipativo de dos niveles representa también un paradigma en el estudio de las transiciones de fase cuánticas . Para un valor crítico del acoplamiento al baño muestra una transición de fase desde un régimen en el que la partícula está deslocalizada entre las dos posiciones a otro en el que se localiza sólo en una de ellas. La transición es de tipo Kosterlitz-Thouless , como se puede ver derivando las ecuaciones de flujo del grupo de renormalización para el término de salto.

Disipación de energía en el formalismo hamiltoniano

Un enfoque diferente para describir la disipación de energía es considerar los hamiltonianos dependientes del tiempo. Contra un malentendido común, la dinámica unitaria resultante puede describir la disipación de energía, ya que ciertos grados de libertad pierden energía y otros ganan energía. ^[4] Sin embargo, el estado mecánico cuántico del sistema permanece puro , por lo que un enfoque de este tipo no puede describir el desfase a menos que se elija un subsistema y se analice la matriz de densidad reducida de este sistema cuántico abierto. ^[5] El desfase conduce a la decoherencia cuántica o disipación de información y, a menudo, es importante al describir sistemas cuánticos abiertos . Sin embargo, este enfoque se utiliza típicamente, por ejemplo, en la descripción de experimentos ópticos. Allí, un pulso de luz (descrito por un hamiltoniano semiclásico dependiente del tiempo) puede cambiar la energía en el sistema mediante absorción o emisión estimulada. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Modelo de disipación para un entorno extendido
• Modelo de Jaynes-Cummings
• Sistema cuántico abierto
• Ecuación de Lindblad
• Decoherencia cuántica
• Desfasaje

Referencias

1. Feynman, RP; Vernon, FL (1963). "La teoría de un sistema cuántico general que interactúa con un sistema disipativo lineal" (PDF) . Anales de Física . 24 : 118–173. Bibcode :1963AnPhy..24..118F. doi :10.1016/0003-4916(63)90068-X. ISSN  0003-4916.
2. Caldeira, AO; Leggett, AJ (1981). "Influencia de la disipación en el efecto túnel cuántico en sistemas macroscópicos". Physical Review Letters . 46 (4): 211–214. Código Bibliográfico :1981PhRvL..46..211C. doi :10.1103/PhysRevLett.46.211. ISSN  0031-9007.
3. Tsekov, R.; Ruckenstein, E. (1994). "Dinámica estocástica de un subsistema que interactúa con un cuerpo sólido con aplicación a procesos difusivos en sólidos". J. Chem. Phys . 100 (2): 1450–1455. Código Bibliográfico :1994JChPh.100.1450T. doi :10.1063/1.466623.
4. Gruebele, M.; Wong, V. (2002). "Decoherencia subexponencial de bosones de espín en un baño finito". Química Física . 284 (1–2): 29–44. Bibcode :2002CP....284...29W. doi :10.1016/S0301-0104(02)00534-7.
5. Gruebele, M.; Wong, V. (2001). "Desfase no exponencial en un modelo de matriz aleatoria local". Physical Review A . 63 (2): 22502. Bibcode :2001PhRvA..63b2502W. doi :10.1103/PhysRevA.63.022502.

Fuentes

• U. Weiss, Sistemas disipativos cuánticos (1992), World Scientific.
• Leggett, AJ; Chakravarty, S.; Dorsey, AT; Fisher, Matthew PA; Garg, Anupam; Zwerger, W. (1 de diciembre de 1986). "Dinámica del sistema disipativo de dos estados". Reseñas de física moderna . 59 (1). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1–85. doi :10.1103/revmodphys.59.1. hdl : 2142/94708 . ISSN  0034-6861.
• P. Hänggi y GL Ingold, Aspectos fundamentales del movimiento browniano cuántico , Chaos, vol. 15, ARTN 026105 (2005); http://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/Papers/378.pdf

Enlaces externos

• Visualizando la dinámica cuántica: el hamiltoniano spin-bosón Archivado el 13 de febrero de 2015 en Wayback Machine , Jared Ostmeyer y Julio Gea-Banacloche, Universidad de Arkansas.
• Visualizando la dinámica cuántica: el modelo Jaynes-Cummings Archivado el 1 de julio de 2014 en Wayback Machine ., Jared Ostmeyer y Julio Gea-Banacloche, Universidad de Arkansas.