Forma

Una forma es una representación gráfica de la forma de un objeto o de su límite externo, contorno o superficie externa . Se distingue de otras propiedades del objeto, como el color , la textura o el tipo de material . En geometría , la forma excluye información sobre la posición , el tamaño , la orientación y la quiralidad del objeto . ^[1] Una figura es una representación que incluye tanto la forma como el tamaño (como, por ejemplo, la figura de la Tierra ).

Una forma o figura plana está limitada a estar sobre un plano , a diferencia de las formas sólidas tridimensionales. Una forma o figura bidimensional ( también: forma 2D o figura 2D ) puede estar sobre una superficie curva más general (un espacio bidimensional ).

Clasificación de formas simples

Algunas formas simples se pueden clasificar en categorías amplias. Por ejemplo, los polígonos se clasifican según su número de aristas como triángulos , cuadriláteros , pentágonos , etc. Cada uno de estos se divide en categorías más pequeñas; los triángulos pueden ser equiláteros , isósceles , obtusos , acutángulos , escalenos , etc., mientras que los cuadriláteros pueden ser rectángulos , rombos , trapecios , cuadrados , etc.

Otras formas comunes son puntos , líneas , planos y secciones cónicas como elipses , círculos y parábolas .

Entre las formas tridimensionales más comunes se encuentran los poliedros , que son formas con caras planas; los elipsoides , que son objetos con forma de huevo o de esfera; los cilindros ; y los conos .

Si un objeto entra en una de estas categorías de forma exacta o incluso aproximada, podemos utilizarlo para describir la forma del objeto. Por lo tanto, decimos que la forma de una tapa de alcantarilla es un disco , porque es aproximadamente el mismo objeto geométrico que un disco geométrico real.

En geometría

Un conjunto de formas geométricas en 2 dimensiones: paralelogramo , triángulo y círculo.

Una forma geométrica consiste en la información geométrica que permanece cuando se eliminan la ubicación , la escala , la orientación y la reflexión de la descripción de un objeto geométrico . ^[1] Es decir, el resultado de mover una forma, agrandarla, rotarla o reflejarla en un espejo es la misma forma que la original y no una forma distinta.

Muchas formas geométricas bidimensionales pueden definirse mediante un conjunto de puntos o vértices y líneas que conectan los puntos en una cadena cerrada, así como los puntos interiores resultantes. Dichas formas se denominan polígonos e incluyen triángulos , cuadrados y pentágonos . Otras formas pueden estar limitadas por curvas , como el círculo o la elipse . Muchas formas geométricas tridimensionales pueden definirse mediante un conjunto de vértices, líneas que conectan los vértices y caras bidimensionales encerradas por esas líneas, así como los puntos interiores resultantes. Dichas formas se denominan poliedros e incluyen cubos y pirámides como los tetraedros . Otras formas tridimensionales pueden estar limitadas por superficies curvas, como el elipsoide y la esfera .

Se dice que una forma es convexa si todos los puntos de un segmento de línea entre dos de sus puntos también son parte de la forma.

Propiedades

Hay varias formas de comparar las formas de dos objetos:

Congruencia : Dos objetos son congruentes si uno puede transformarse en otro mediante una secuencia de rotaciones, traslaciones y/o reflexiones.
Similitud : Dos objetos son similares si uno puede transformarse en el otro mediante una escala uniforme, junto con una secuencia de rotaciones, traslaciones y/o reflexiones.
Isotopía : Dos objetos son isotópicos si uno puede transformarse en otro mediante una secuencia de deformaciones que no desgarran el objeto ni le producen agujeros.

Las figuras que se muestran en el mismo color tienen la misma forma entre sí y se dice que son similares.

En ocasiones, dos objetos similares o congruentes pueden considerarse de forma diferente si se requiere una reflexión para transformar uno en el otro. Por ejemplo, las letras " b " y " d " son un reflejo entre sí y, por lo tanto, son congruentes y similares, pero en algunos contextos no se considera que tengan la misma forma. En ocasiones, solo se considera el contorno o el límite externo del objeto para determinar su forma. Por ejemplo, se puede considerar que una esfera hueca tiene la misma forma que una esfera sólida. El análisis de Procrustes se utiliza en muchas ciencias para determinar si dos objetos tienen o no la misma forma, o para medir la diferencia entre dos formas. En matemáticas avanzadas, la cuasi-isometría se puede utilizar como criterio para afirmar que dos formas son aproximadamente iguales.

Las formas simples a menudo se pueden clasificar en objetos geométricos básicos , como una línea , una curva , un plano , una figura plana (por ejemplo, un cuadrado o un círculo ) o una figura sólida (por ejemplo, un cubo o una esfera ). Sin embargo, la mayoría de las formas que aparecen en el mundo físico son complejas. Algunas, como las estructuras de las plantas y las líneas costeras, pueden ser tan complicadas que desafían la descripción matemática tradicional, en cuyo caso se pueden analizar mediante geometría diferencial o como fractales .

Algunas formas comunes incluyen: Círculo , Cuadrado , Triángulo , Rectángulo , Óvalo , Estrella (polígono) , Rombo , Semicírculo . Los polígonos regulares que comienzan con pentágono siguen la convención de nombres del prefijo derivado del griego con el sufijo '-gon': Pentágono, Hexágono, Heptágono, Octágono, Nonágono, Decágono... Ver polígono

Equivalencia de formas

En geometría, dos subconjuntos de un espacio euclidiano tienen la misma forma si uno puede transformarse en el otro mediante una combinación de traslaciones , rotaciones (también llamadas en conjunto transformaciones rígidas ) y escalas uniformes . En otras palabras, la forma de un conjunto de puntos es toda la información geométrica que es invariante a las traslaciones, rotaciones y cambios de tamaño. Tener la misma forma es una relación de equivalencia y, en consecuencia, se puede dar una definición matemática precisa de la noción de forma como una clase de equivalencia de subconjuntos de un espacio euclidiano que tienen la misma forma.

El matemático y estadístico David George Kendall escribe: ^[2]

En este artículo, el término "forma" se utiliza en el sentido vulgar y significa lo que uno normalmente esperaría que significara. [...] Aquí definimos "forma" de manera informal como "toda la información geométrica que queda cuando se filtran los efectos de ubicación, escala ^{[3] y rotación de un objeto".}

Las formas de los objetos físicos son iguales si los subconjuntos del espacio que ocupan estos objetos satisfacen la definición anterior. En particular, la forma no depende del tamaño y la ubicación en el espacio del objeto. Por ejemplo, una " d " y una " p " tienen la misma forma, ya que pueden superponerse perfectamente si la " d " se traslada a la derecha una distancia dada, se gira al revés y se amplía con un factor dado (consulte la superposición de Procrustes para obtener más detalles). Sin embargo, una imagen especular podría considerarse una forma diferente. Por ejemplo, una " b " y una " p " tienen una forma diferente, al menos cuando se les obliga a moverse dentro de un espacio bidimensional como la página en la que están escritas. Aunque tengan el mismo tamaño, no hay forma de superponerlas perfectamente trasladándolas y girándolas a lo largo de la página. De manera similar, dentro de un espacio tridimensional, una mano derecha y una mano izquierda tienen una forma diferente, incluso si son imágenes especulares una de la otra. Las formas pueden cambiar si el objeto se escala de manera no uniforme. Por ejemplo, una esfera se convierte en un elipsoide cuando se escala de forma diferente en las direcciones vertical y horizontal. En otras palabras, preservar los ejes de simetría (si existen) es importante para preservar las formas. Además, la forma está determinada únicamente por el límite exterior de un objeto.

Congruencia y semejanza

Los objetos que pueden transformarse entre sí mediante transformaciones rígidas y simetría (pero no escala) son congruentes . Por lo tanto, un objeto es congruente con su imagen especular (incluso si no es simétrico), pero no con una versión escalada. Dos objetos congruentes siempre tienen la misma forma o formas de imagen especular, y tienen el mismo tamaño.

Los objetos que tienen la misma forma o formas reflejadas se denominan geométricamente similares , tengan o no el mismo tamaño. Por lo tanto, los objetos que pueden transformarse entre sí mediante transformaciones rígidas, reflejo y escalado uniforme son similares. La similitud se conserva cuando uno de los objetos tiene una escala uniforme, mientras que la congruencia no. Por lo tanto, los objetos congruentes son siempre geométricamente similares, pero los objetos similares pueden no ser congruentes, ya que pueden tener diferentes tamaños.

Homeomorfismo

Una definición más flexible de forma tiene en cuenta el hecho de que las formas realistas a menudo son deformables, por ejemplo, una persona en diferentes posturas, un árbol doblado por el viento o una mano con diferentes posiciones de los dedos.

Una forma de modelar los movimientos no rígidos es mediante homeomorfismos . En términos generales, un homeomorfismo es un estiramiento y flexión continuos de un objeto hasta darle una nueva forma. Por lo tanto, un cuadrado y un círculo son homeomorfos entre sí, pero una esfera y una rosquilla no lo son. Una broma matemática que se repite a menudo es que los topólogos no pueden distinguir su taza de café de su rosquilla, ^[4] ya que una rosquilla suficientemente flexible podría remodelarse para darle la forma de una taza de café creando un hoyuelo y agrandándolo progresivamente, mientras se conserva el agujero de la rosquilla en el asa de una taza.

Una forma descrita tiene líneas externas que puedes ver y que forman la forma. Si estuvieras poniendo tus coordenadas en un gráfico de coordenadas, podrías dibujar líneas para mostrar dónde puedes ver una forma, sin embargo, no siempre que pones coordenadas en un gráfico como tal puedes formar una forma. Esta forma tiene un contorno y un límite para que puedas verla y no son solo puntos regulares en un papel normal.

Análisis de forma

Las definiciones matemáticas mencionadas anteriormente de forma rígida y no rígida han surgido en el campo del análisis estadístico de la forma . En particular, el análisis de Procrustes es una técnica utilizada para comparar formas de objetos similares (por ejemplo, huesos de diferentes animales) o para medir la deformación de un objeto deformable. Otros métodos están diseñados para trabajar con objetos no rígidos (flexibles), por ejemplo, para la recuperación de la forma independiente de la postura (véase, por ejemplo, el análisis de la forma espectral ).

Clases de similitud

Todos los triángulos semejantes tienen la misma forma. Estas formas se pueden clasificar utilizando números complejos $u$ , $v$ , $w$ para los vértices, en un método propuesto por JA Lester ^[5] y Rafael Artzy . Por ejemplo, un triángulo equilátero se puede expresar con los números complejos 0, 1, (1 + i√3)/2 que representan sus vértices. Lester y Artzy llaman a la razón la forma del triángulo $($ $u$ $,$ $v$ $,$ $w$ $)$ . Entonces la forma del triángulo equilátero es Para cualquier transformación afín del plano complejo , un triángulo se transforma pero no cambia su forma. Por lo tanto, la forma es un invariante de la geometría afín . La forma $p$ $= S($ $u$ $,$ $v$ $,$ $w$ $)$ depende del orden de los argumentos de la función S, pero las permutaciones conducen a valores relacionados. Por ejemplo, También la combinación de estas permutaciones da Además, Estas relaciones son "reglas de conversión" para la forma de un triángulo. $S(u,v,w)={\frac {uw}{uv}}$ ${\frac {0-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}}{0-1}}={\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}=\cos(60^{\circ })+i\sin(60^{\circ })=e^{i\pi /3}.$ $z\mapsto az+b,\quad a\neq 0,$ $1-p=1-{\frac {uw}{uv}}={\frac {wv}{uv}}={\frac {vw}{vu}}=S(v,u,w) .$ $p^{-1}=S(u,w,v).$ $S(v,w,u)=(1-p)^{-1}.$ $p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)={\frac {uw}{vw}}=S(w,v,u ).$

La forma de un cuadrilátero está asociada a dos números complejos $p$ , $q$ . Si el cuadrilátero tiene vértices $u$ , $v$ , $w$ , $x$ , entonces $p = S(u, v, w)$ y $q = S(v, w, x)$ . Artzy demuestra estas proposiciones sobre las formas de los cuadriláteros:

Si entonces el cuadrilátero es un paralelogramo . $p=(1-q)^{-1},$
Si un paralelogramo tiene $| arg p | = | arg q |$ , entonces es un rombo .
Cuando $p = 1 + i$ y $q = (1 + i)/2$ , entonces el cuadrilátero es cuadrado .
Si y $sgn$ $r$ $= sgn(Im$ $p$ $)$ , entonces el cuadrilátero es un trapezoide . $p=r(1-q^{-1})$

Un polígono tiene una forma definida por n − 2 números complejos. El polígono limita un conjunto convexo cuando todos estos componentes de forma tienen componentes imaginarios del mismo signo. ^[6] $(z_{1},z_{2},...z_{n})$ $S(z_{j},z_{j+1},z_{j+2}),\ j=1,...,n-2.$

Percepción humana de las formas

La visión humana se basa en una amplia gama de representaciones de formas. ^[7]^[8] Algunos psicólogos han teorizado que los humanos descomponen mentalmente las imágenes en formas geométricas simples (por ejemplo, conos y esferas) llamadas geones . ^[9] Mientras tanto, otros han sugerido que las formas se descomponen en características o dimensiones que describen la forma en que las formas tienden a variar, como su segmentabilidad , compacidad y puntiagudez . ^[10] Sin embargo, al comparar la similitud de formas, se necesitan al menos 22 dimensiones independientes para explicar la forma en que varían las formas naturales. ^[7]

También hay evidencia clara de que las formas guían la atención humana . ^[11]

Véase también

Referencias

^ ab Kendall, DG (1984). "Variedades de formas, métricas procrustinas y espacios proyectivos complejos". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 16 (2): 81–121. doi :10.1112/blms/16.2.81.
^ Kendall, DG (1984). "Variedades de formas, métricas procrustinas y espacios proyectivos complejos" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 16 (2): 81–121. doi :10.1112/blms/16.2.81.
^ Aquí, escala significa solo escala uniforme , ya que una escala no uniforme cambiaría la forma del objeto (por ejemplo, convertiría un cuadrado en un rectángulo).
^ Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Ecuaciones diferenciales: un enfoque de sistemas dinámicos. Parte II: Sistemas de dimensiones superiores. Textos de matemáticas aplicadas. Vol. 18. Springer. pág. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
^ JA Lester (1996) "Triángulos I: Formas", Aequationes Mathematicae 52:30–54
^ Rafael Artzy (1994) "Formas de polígonos", Journal of Geometry 50(1–2):11–15
^ ab Morgenstern, Yaniv; Hartmann, Frieder; Schmidt, Filipp; Tiedemann, Henning; Prokott, Eugen; Maiello, Guido; Fleming, Roland (2021). "Un modelo computable por imágenes de similitud de formas visuales". PLOS Biología Computacional . 17 (6): 34. doi : 10.1371/journal.pcbi.1008981 . PMC 8195351 . PMID 34061825.
^ Andreopoulos, Alexander; Tsotsos, John K. (2013). "50 años de reconocimiento de objetos: direcciones futuras". Visión artificial y comprensión de imágenes . 117 (8): 827–891. doi :10.1016/j.cviu.2013.04.005.
^ Marr, D. y Nishihara, H. (1978). Representación y reconocimiento de la organización espacial de formas tridimensionales. Actas de la Royal Society de Londres, 200, 269–294.
^ Huang, Liqiang (2020). "Espacio de características de forma preatentivas". Journal of Vision . 20 (4): 10. doi : 10.1167/jov.20.4.10 . PMC 7405702 . PMID 32315405.
^ Alexander, RG; Schmidt, J.; Zelinsky, GZ (2014). "¿Son suficientes las estadísticas de resumen? Evidencia de la importancia de la forma para guiar la búsqueda visual". Visual Cognition . 22 (3–4): 595–609. doi :10.1080/13506285.2014.890989. PMC 4500174 . PMID 26180505.

Enlaces externos

La definición del diccionario de forma en Wikcionario