Secuencia de Mayer-Vietoris

Herramienta algebraica para calcular invariantes de espacios topológicos

En matemáticas , particularmente en topología algebraica y teoría de homología , la sucesión de Mayer-Vietoris es una herramienta algebraica para ayudar a calcular invariantes algebraicos de espacios topológicos . El resultado se debe a dos matemáticos austríacos , Walther Mayer y Leopold Vietoris . El método consiste en dividir un espacio en subespacios , para los cuales los grupos de homología o cohomología pueden ser más fáciles de calcular. La sucesión relaciona los grupos de (co)homología del espacio con los grupos de (co)homología de los subespacios. Es una sucesión natural larga exacta , cuyas entradas son los grupos de (co)homología de todo el espacio, la suma directa de los grupos de (co)homología de los subespacios y los grupos de (co)homología de la intersección de los subespacios.

La secuencia de Mayer-Vietoris es válida para diversas teorías de homología y cohomología , incluidas la homología simplicial y la cohomología singular . En general, la secuencia es válida para aquellas teorías que satisfacen los axiomas de Eilenberg-Steenrod , y tiene variaciones tanto para la (co)homología reducida como para la relativa . Debido a que la (co)homología de la mayoría de los espacios no se puede calcular directamente a partir de sus definiciones, se utilizan herramientas como la secuencia de Mayer-Vietoris con la esperanza de obtener información parcial. Muchos espacios encontrados en topología se construyen juntando parches muy simples. Elegir cuidadosamente los dos subespacios de recubrimiento de modo que, junto con su intersección, tengan una (co)homología más simple que la de todo el espacio puede permitir una deducción completa de la (co)homología del espacio. En ese sentido, la secuencia de Mayer-Vietoris es análoga al teorema de Seifert-van Kampen para el grupo fundamental , y existe una relación precisa para la homología de dimensión uno.

Antecedentes, motivación e historia

De manera similar al grupo fundamental o los grupos de homotopía superiores de un espacio, los grupos de homología son invariantes topológicos importantes. Aunque algunas teorías de (co)homología son computables utilizando herramientas de álgebra lineal , muchas otras teorías de (co)homología importantes, especialmente la (co)homología singular, no son computables directamente a partir de su definición para espacios no triviales. Para la (co)homología singular, los grupos de (co)cadenas y (co)ciclos singulares a menudo son demasiado grandes para manejarlos directamente. Se hacen necesarios enfoques más sutiles e indirectos. La secuencia de Mayer-Vietoris es un enfoque de este tipo, que brinda información parcial sobre los grupos de (co)homología de cualquier espacio al relacionarlo con los grupos de (co)homología de dos de sus subespacios y su intersección.

La forma más natural y conveniente de expresar la relación implica el concepto algebraico de sucesiones exactas : sucesiones de objetos (en este caso grupos ) y morfismos (en este caso homomorfismos de grupo ) entre ellos tales que la imagen de un morfismo es igual al núcleo del siguiente. En general, esto no permite calcular por completo los grupos de (co)homología de un espacio. Sin embargo, debido a que muchos espacios importantes encontrados en topología son variedades topológicas , complejos simpliciales o complejos CW , que se construyen juntando parches muy simples, un teorema como el de Mayer y Vietoris es potencialmente de amplia y profunda aplicabilidad.

Mayer fue introducido a la topología por su colega Vietoris cuando asistió a sus conferencias en 1926 y 1927 en una universidad local en Viena . ^[1] Se le informó sobre el resultado conjeturado y una forma de resolverlo, y resolvió la cuestión para los números de Betti en 1929. ^[2] Aplicó sus resultados al toro considerado como la unión de dos cilindros. ^{[3] [4]} Vietoris demostró más tarde el resultado completo para los grupos de homología en 1930, pero no lo expresó como una secuencia exacta. ^[5] El concepto de una secuencia exacta solo apareció impreso en el libro de 1952 Foundations of Algebraic Topology de Samuel Eilenberg y Norman Steenrod , ^[6] donde los resultados de Mayer y Vietoris se expresaron en la forma moderna. ^[7]

Versiones básicas para homología singular

Sea X un espacio topológico y A , B dos subespacios cuyos interiores cubren X . (Los interiores de A y B no necesitan ser disjuntos.) La secuencia de Mayer–Vietoris en homología singular para la tríada ( X , A , B ) es una secuencia exacta larga que relaciona los grupos de homología singular (con grupo de coeficientes los enteros Z ) de los espacios X , A , B y la intersección A ∩ B . ^[8] Hay una versión no reducida y una versión reducida.

Versión sin reducir

Para la homología no reducida, la secuencia de Mayer-Vietoris establece que la siguiente secuencia es exacta: ^[9]

${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}i_{*}\\j_{*}\end{smallmatrix}}\right)} \,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow {k_{*}-l_{*}} \,H_{n}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots }$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.}$

Aquí , y son mapas de inclusión y denota la suma directa de los grupos abelianos . ${\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,j:A\cap B\hookrightarrow B,k:A\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle l:B\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle \oplus }$

Mapa de límites

Ilustración del mapa de límites ∂ _∗ en el toro donde el 1-ciclo x = u + v es la suma de dos 1-cadenas cuyo límite se encuentra en la intersección de A y B.

Las aplicaciones de contorno ∂ _∗ que reducen la dimensión se pueden definir de la siguiente manera. ^[10] Un elemento en H _n ( X ) es la clase de homología de un n -ciclo x que, por subdivisión baricéntrica por ejemplo, se puede escribir como la suma de dos n -cadenas u y v cuyas imágenes se encuentran completamente en A y B , respectivamente. Por lo tanto ∂ x = ∂( u + v ) = ∂ u + ∂ v . Como x es un ciclo, ∂x = 0, entonces ∂ u = −∂ v . Esto implica que las imágenes de ambos ( n − 1)-ciclos de contorno están contenidos en la intersección A ∩ B . Entonces ∂ _∗ ([ x ]) se puede definir como la clase de ∂ u en H _{n −1} ( A ∩ B ). Elegir otra descomposición x = u′ + v′ no afecta a [∂ u ], ya que ∂ u + ∂ v = ∂ x = ∂ u′ + ∂ v′ , lo que implica ∂ u − ∂ u′ = ∂( v′ − v ), y por lo tanto ∂ u y ∂ u′ se encuentran en la misma clase de homología; tampoco lo hace elegir un representante x′ diferente , ya que entonces x′ - x = ∂ φ para algún φ en H _{n +1} ( X ). Nótese que las funciones en la secuencia de Mayer–Vietoris dependen de elegir un orden para A y B . En particular, la función de contorno cambia de signo si A y B se intercambian.

Versión reducida

Para una homología reducida también existe una secuencia de Mayer-Vietoris, bajo el supuesto de que A y B tienen una intersección no vacía . ^[11] La secuencia es idéntica para dimensiones positivas y termina como:

${\displaystyle \cdots \to {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\to 0.}$

Analogía con el teorema de Seifert-van Kampen

Existe una analogía entre la secuencia de Mayer-Vietoris (especialmente para grupos de homología de dimensión 1) y el teorema de Seifert-van Kampen . ^{[10] [12]} Siempre que esté conexo por trayectorias , la secuencia reducida de Mayer-Vietoris produce el isomorfismo ${\displaystyle A\cap B}$

${\displaystyle H_{1}(X)\cong (H_{1}(A)\oplus H_{1}(B))/{\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})}$

donde, por exactitud,

${\displaystyle {\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})\cong {\text{Im}}(i_{*},j_{*}).}$

Esta es precisamente la afirmación abelianizada del teorema de Seifert-van Kampen. Compárese con el hecho de que es la abelianización del grupo fundamental cuando está conexo por trayectorias. ^[13] ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$

Aplicaciones básicas

a-esfera

La descomposición para X = S ²

Para calcular completamente la homología de la k -esfera X = S ^k , sean A y B dos hemisferios de X con homotopía de intersección equivalente a una esfera ecuatorial de dimensión ( k − 1) . Dado que los hemisferios de dimensión k son homeomorfos a los k -discos, que son contráctiles , los grupos de homología para A y B son triviales . La secuencia de Mayer–Vietoris para grupos de homología reducidos produce entonces

${\displaystyle \cdots \longrightarrow 0\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\,{\xrightarrow {\overset {}{\partial _{*}}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots }$

La exactitud implica inmediatamente que la función ∂ _* es un isomorfismo. Utilizando la homología reducida de la esfera 0 (dos puntos) como caso base , se deduce ^[14]

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\cong \delta _{kn}\,\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=k,\\0&{\mbox{if }}n\neq k,\end{cases}}}$

donde δ es el delta de Kronecker . Una comprensión tan completa de los grupos de homología para esferas contrasta marcadamente con el conocimiento actual de los grupos de homotopía de esferas , especialmente para el caso n > k sobre el cual se sabe poco. ^[15]

Botella Klein

La botella de Klein ( polígono fundamental con identificaciones de bordes apropiadas) descompuesta en dos tiras de Möbius A (en azul) y B (en rojo).

Una aplicación ligeramente más difícil de la secuencia de Mayer-Vietoris es el cálculo de los grupos de homología de la botella de Klein X . Se utiliza la descomposición de X como la unión de dos bandas de Möbius A y B pegadas a lo largo de su círculo límite (ver la ilustración de la derecha). Entonces A , B y su intersección A ∩ B son homotópicamente equivalentes a círculos, por lo que la parte no trivial de la secuencia produce ^[16]

${\displaystyle 0\rightarrow {\tilde {H}}_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\overset {}{\alpha }}}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,{\tilde {H}}_{1}(X)\rightarrow 0}$

y la parte trivial implica homología que se desvanece para dimensiones mayores que 2. La función central α envía 1 a (2, −2) ya que el círculo límite de una banda de Möbius envuelve dos veces el círculo central. En particular, α es inyectiva , por lo que la homología de dimensión 2 también se desvanece. Finalmente, eligiendo (1, 0) y (1, −1) como base para Z ² , se sigue

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\left(X\right)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&{\mbox{if }}n=1,\\0&{\mbox{if }}n\neq 1.\end{cases}}}$

Sumas en cuña

Esta descomposición de la suma de cuña X de dos 2-esferas K y L produce todos los grupos de homología de X.

Sea X la suma de cuñas de dos espacios K y L , y supongamos además que el punto base identificado es un retracto de deformación de los vecindarios abiertos U ⊆ K y V ⊆ L . Si A = K ∪ V y B = U ∪ L , se deduce que A ∪ B = X y A ∩ B = U ∪ V , que es contráctil por construcción. La versión reducida de la secuencia produce entonces (por exactitud) ^[17]

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)}$

para todas las dimensiones n . La ilustración de la derecha muestra X como la suma de dos 2-esferas K y L . Para este caso específico, utilizando el resultado anterior para 2-esferas, se tiene

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\left(S^{2}\vee S^{2}\right)\cong \delta _{2n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} )=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=2,\\0&{\mbox{if }}n\neq 2.\end{matrix}}\right.}$

Suspensiones

Esta descomposición de la suspensión X de la 0-esfera Y produce todos los grupos de homología de X.

Si X es la suspensión SY de un espacio Y , sean A y B los complementos en X de los 'vértices' superior e inferior del doble cono, respectivamente. Entonces X es la unión A ∪ B , con A y B contráctiles. Además, la intersección A ∩ B es homotópicamente equivalente a Y . Por lo tanto, la sucesión de Mayer-Vietoris produce, para todo n , ^[18]

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(SY)\cong {\tilde {H}}_{n-1}(Y).}$

La ilustración de la derecha muestra la 1-esfera X como la suspensión de la 0-esfera Y. Observando en general que la k -esfera es la suspensión de la ( k − 1)-esfera, es fácil derivar los grupos de homología de la k -esfera por inducción, como se indicó anteriormente.

Más discusión

Forma relativa

También existe una forma relativa de la sucesión de Mayer-Vietoris. Si Y ⊂ X y es la unión de los interiores de C ⊂ A y D ⊂ B , entonces la sucesión exacta es: ^[19]

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\to \cdots }$

Naturalidad

Los grupos de homología son naturales en el sentido de que si es un mapa continuo , entonces hay un mapa de grupos de homología de empuje hacia adelante canónico tal que la composición de empujes hacia adelante es el empuje hacia adelante de una composición: es decir, La secuencia de Mayer-Vietoris también es natural en el sentido de que si ${\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle f_{*}:H_{k}(X_{1})\to H_{k}(X_{2})}$ ${\displaystyle (g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}.}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{1}=A_{1}\cup B_{1}\\X_{2}=A_{2}\cup B_{2}\end{matrix}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{matrix}f(A_{1})\subset A_{2}\\f(B_{1})\subset B_{2}\end{matrix}}}$,

entonces el morfismo de conexión de la secuencia de Mayer–Vietoris, conmuta con . ^[20] Es decir, el siguiente diagrama conmuta ^[21] (las aplicaciones horizontales son las habituales): ${\displaystyle \partial _{*},}$ ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &H_{n+1}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1})\oplus H_{n}(B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &\cdots \\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }\\\cdots &H_{n+1}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2})\oplus H_{n}(B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &\cdots \\\end{matrix}}}$

Versiones cohomológicas

La secuencia exacta larga de Mayer-Vietoris para grupos de cohomología singulares con grupo de coeficientes G es dual a la versión homológica. Es la siguiente: ^[22]

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X;G)\to H^{n}(A;G)\oplus H^{n}(B;G)\to H^{n}(A\cap B;G)\to H^{n+1}(X;G)\to \cdots }$

donde los mapas que preservan la dimensión son mapas de restricción inducidos a partir de inclusiones, y los mapas de (co-)límite se definen de manera similar a la versión homológica. También existe una formulación relativa.

Como un caso especial importante cuando G es el grupo de números reales R y el espacio topológico subyacente tiene la estructura adicional de una variedad suave , la secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de De Rham es

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\,{\xrightarrow {\rho }}\,H^{n}(U)\oplus H^{n}(V)\,{\xrightarrow {\Delta }}\,H^{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {d^{*}}}\,H^{n+1}(X)\to \cdots }$

donde { U , V } es una cubierta abierta de X, ρ denota la función de restricción y Δ es la diferencia. La función se define de manera similar a la función anterior. Se puede describir brevemente de la siguiente manera. Para una clase de cohomología [ ω ] representada por la forma cerrada ω en U ∩ V , exprese ω como una diferencia de formas a través de una partición de la unidad subordinada a la cubierta abierta { U , V } , por ejemplo. La derivada exterior dω _U y dω _V concuerdan en U ∩ V y, por lo tanto, definen juntas una forma n + 1 σ en X . Entonces, se tiene d ^∗ ([ ω ]) = [ σ ] . ${\displaystyle d^{*}}$ ${\displaystyle \partial _{*}}$ ${\displaystyle \omega _{U}-\omega _{V}}$

Para la cohomología de De Rham con soportes compactos, existe una versión "invertida" de la secuencia anterior:

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{n}(U\cap V)\,\xrightarrow {\delta } \,H_{c}^{n}(U)\oplus H_{c}^{n}(V)\,\xrightarrow {\Sigma } \,H_{c}^{n}(X)\,\xrightarrow {d^{*}} \,H_{c}^{n+1}(U\cap V)\to \cdots }$

donde , , son como arriba, es el mapa de inclusión firmado donde extiende una forma con soporte compacto a una forma en por cero, y es la suma. ^[23] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta :\omega \mapsto (i_{*}^{U}\omega ,-i_{*}^{V}\omega )}$ ${\displaystyle i^{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Derivación

Considere la secuencia exacta larga asociada a las secuencias exactas cortas de grupos de cadenas (grupos constituyentes de complejos de cadenas )

${\displaystyle 0\to C_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {\alpha }}\,C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\,{\xrightarrow {\beta }}\,C_{n}(A+B)\to 0}$,

donde α( x ) = ( x , − x ), β( x , y ) = x + y , y C _n ( A + B ) es el grupo de cadenas que consiste en sumas de cadenas en A y cadenas en B . ^[9] Es un hecho que los n -símplices singulares de X cuyas imágenes están contenidas en A o B generan todo el grupo de homología H _n ( X ). ^[24] En otras palabras, H _n ( A + B ) es isomorfo a H _n ( X ). Esto da la secuencia de Mayer–Vietoris para homología singular.

El mismo cálculo se aplicó a las secuencias exactas cortas de espacios vectoriales de formas diferenciales.

${\displaystyle 0\to \Omega ^{n}(X)\to \Omega ^{n}(U)\oplus \Omega ^{n}(V)\to \Omega ^{n}(U\cap V)\to 0}$

produce la secuencia de Mayer-Vietoris para la cohomología de De Rham. ^[25]

Desde un punto de vista formal, la secuencia de Mayer-Vietoris se puede derivar de los axiomas de Eilenberg-Steenrod para teorías de homología utilizando la secuencia exacta larga en homología . ^[26]

Otras teorías de homología

La derivación de la secuencia de Mayer-Vietoris a partir de los axiomas de Eilenberg-Steenrod no requiere el axioma de dimensión , ^[27] por lo que además de existir en las teorías de cohomología ordinarias , se cumple en las teorías de cohomología extraordinarias (como la teoría K topológica y el cobordismo ).

Cohomología de gavillas

Desde el punto de vista de la cohomología de haces , la secuencia de Mayer–Vietoris está relacionada con la cohomología de Čech . Específicamente, surge de la degeneración de la secuencia espectral que relaciona la cohomología de Čech con la cohomología de haces (a veces llamada secuencia espectral de Mayer–Vietoris) en el caso en que la cubierta abierta utilizada para calcular la cohomología de Čech consiste en dos conjuntos abiertos. ^{[28] Esta secuencia espectral existe en} topos arbitrarios . ^[29]

Véase también

• Teorema de escisión
• Lema en zigzag

Notas

1. Hirzebruch 1999
2. Mayer 1929
3. Dieudonné 1989, pág. 39
4. Mayer 1929, pág. 41
5. Vietoris 1930
6. Corry 2004, pág. 345
7. Eilenberg y Steenrod 1952, Teorema 15.3
8. Eilenberg y Steenrod 1952, §15
9. Hatcher 2002, pág. 149
10. Hatcher 2002, pág. 150
11. Spanier 1966, pág. 187
12. Massey 1984, pág. 240
13. Hatcher 2002, Teorema 2A.1, pág. 166
14. Hatcher 2002, Ejemplo 2.46, pág. 150
15. Hatcher 2002, pág. 384
16. Hatcher 2002, pág. 151
17. Hatcher 2002, Ejercicio 31 en la página 158
18. Hatcher 2002, Ejercicio 32 en la página 158
19. Hatcher 2002, pág. 152
20. Massey 1984, pág. 208
21. Eilenberg y Steenrod 1952, Teorema 15.4
22. Hatcher 2002, pág. 203
23. Bott, Raoul (16 de mayo de 1995). Formas diferenciales en topología algebraica. Tu, Loring W. Nueva York. ISBN 978-0-387-90613-3.OCLC 7597142  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
24. Hatcher 2002, Proposición 2.21, pág. 119
25. Bott y Tu 1982, §I.2
26. Hatcher 2002, pág. 162
27. Kōno y Tamaki 2006, págs. 25-26
28. Dimca 2004, págs. 35-36
29. Verdier 1972 (SGA 4.V.3)

Referencias

• Bott, Raoul ; Tu, Loring W. (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3.
• Corry, Leo (2004), Álgebra moderna y el surgimiento de las estructuras matemáticas , Birkhäuser, pág. 345, ISBN 3-7643-7002-5.
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• Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman (1952), Fundamentos de topología algebraica , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07965-3.
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• Massey, William (1984), Topología algebraica: una introducción , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90271-5.
• Mayer, Walther (1929), "Über abstrakte Topologie", Monatshefte für Mathematik , 36 (1): 1–42, doi :10.1007/BF02307601, ISSN  0026-9255, S2CID  120803366. (en alemán)
• Spanier, Edwin (1966), Topología algebraica , Springer-Verlag , ISBN 0-387-94426-5.
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Lectura adicional

• Reitberger, Heinrich (2002), "Leopold Vietoris (1891–2002)" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 49 (20), ISSN  0002-9920.